简单几何体——旋转体

旋转体的特征

例：下列表述中正确的是（ ）

A. 直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥

B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线

例：圆台的所有母线的位置关系是（ ）

A. 平行 B. 在同一平面内

C. 延长后交于一点 D. 垂直

答案: C

例：圆锥的侧面展开图的形状是（ ）

A. 三角形 B. 四边形

C. 圆 D. 扇形

答案:D

有关几何体的计算问题

例：如图所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积

之比为 1：16，截去的圆锥的母线长是 3cm，求圆台 OO’的母线长。

答案:9

例：边长为 4 的等边三角形 ABC 绕∠BAC 的平分线所在的直线旋转所得的圆锥的高

h=____________，底面半径 r=_____________

答

案:h=2√3 r=2

例：一个圆台的母线长为 12cm，两底面面积分别为 4πcm²和 25πcm² 。求：

（1）圆台的高；

（2）截得此圆台的圆锥的母线长

答案:9

例：已知 A，B，C 是球面上的三点，弦（连接球面上两点的线段）AB=18cm，BC=24cm，

AC=30cm，平面 ABC 与球心的距离恰好为球半径 R 的一半，求球的半径 R。

答案:R=2√3

例：在半径为 25cm 的球内有一个截面，它的面积是 49πcm²，求球心到这个截面的距离。

答案:24

简单几何体——多面体

棱柱的结构特征(选择题)

例：一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到

的最大球的半径等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案: B

例：纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方

体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

( )

A.南 B.北 C.西 D.下

答案: B

例：给出下列几个结论：

①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

②多面体至少有四个面；

③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点。

其中，错误的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案: A

空间几何体的三视图——基础篇

知识讲解：三视图

(1)特点：主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应。

(2)注意：在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视

图中，分界线和可见轮廓线用_ 实线____画出，不可见轮廓线用__虚线 ___画出。

画出几何体的三视图

△

上 东

例：画出如图所示物体的三视图

例：一几何体的直观图如图，下列各项的四个俯视图中正确的是( )

答案: B

例：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )

①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A.①② B.①③ C.①④ D.②④

答案: D

例：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体为_______。

答案: 正四棱锥

由三视图还原几何体

例：如图，网格纸的各小格是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体

是( )

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

例：如图，网格纸的各小格是边长为 1 的正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，

则这个多面体最长的一条棱长为______。

答案: 2√3

例：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )

答案: D

空间几何体的表面积

知识讲解：圆柱、圆锥、圆台的侧面积

（1）圆柱的侧面展开图是____矩形____，如图①所示，这个矩形的一边长为母线长，另一边

长为圆柱底面圆的周长，则圆柱的侧面积=___2πr·l_____，

其中 r 为圆柱的底面半径，l 为圆柱的母线长.

（2）圆锥的侧面展开图是___扇形_____，如图②所示，此扇形的半径为圆锥的母线长，扇形

的弧长是圆锥底面圆的周长，则圆锥的侧面积𝑆圆锥侧

=___πr·l______，其中 r 为圆锥的底面半

径，l 为圆锥的母线长.

（3）圆台的侧面展开图是___扇环___，如图③所示，则圆台的侧面积𝑆圆台侧

=______π

（r1+r2）·l________，其中 r1，r2 分别为圆台的上、下底面半径，l 为圆台的母线长.

②

l r

2 r

③

l

22 r12 r

2r

1r

多面体的面积

例：一个六棱锥的体积为 2√3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥

的侧面积为__________.

答案：12

例：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4√3π， 则该正方体的表面

积为__________.

答案：24

例：已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α， H 为垂足， α截球

O 所得截面的面积为π 则球 O 的表面积为_____.

答案：3

2𝜋

空间几何体的体积

知识讲解

1. 棱柱和圆柱的体积

2. 棱锥和圆锥的体积

多面体的体积

例：正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为√3，

D 为 BC 中点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为（ ）

A. 3 B. 3

2 C. 1 D.

√3

2

答案：C

例：三棱锥 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为

V1，P-ABC 的体积为 V2，则 𝑉1

𝑉2 =__________.

答案：1

4

旋转体的体积

例：设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相

等，且𝑆1

𝑆2=

9

4，则

𝑉1

𝑉2 的值是__________.

答案：3

2

例：已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底

面面积是这个球面面积的 3

16 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值

为__________.

答案：1

3

球的体积

例：已知底面边长为 1，侧棱长为√2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体

积为（ ）

A. 32𝜋

3 B. 4π C. 2π D.

4𝜋

3

答案：D

例：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，

再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm， 如果不计

容器的厚度，则球的体积为（ ）

A. 500𝜋

3cm³ B.

866𝜋

3cm³

C. 1372𝜋

3cm³ D.

2048𝜋

3cm³

答案：A

例：已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心 O 在 AB 上，SO⊥底面

ABC，AC=√2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）

A. π B. 2π C.3π D.4π

三视图与表面积、体积综合问题

三视图与体积综合

例：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）

A. 23

3 B.

17

6 C. 6 D. 7

答案：A

例：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 12 B. 18 C. 24 D. 30

答案：C

例：已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 8𝜋

3 B. 3π C.

10𝜋

3 D. 6π

5

4

2

正（主）视图

3 侧（左）视图 俯视图

答案：B

例：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）

A. 2+√3 B. 18+√3 C. 21 D. 18

答案：A

例：某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. 54 B. 60 C. 66 D. 72

答案：B

例：一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm²）为（ ）

A. 48+12√2cm² B. 48+24√2cm²

C. 36+12√2cm² D. 36+24√2cm²

答案：A

空间点、直线、平面之间的位置关系——基础篇

知识讲解：空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有三种：

（1）平行直线：如果直线 a 和 b 在同一个平面内，

但没有__交点____，这样的两条直线叫做平行直线，记作 a∥b，如图所示.

（2）相交直线：如果直线 a 和 b 有且只有___一个____公共点 B，这样的两条直线叫做相交

直线，记作 a∩b=B，如图所示.

（3）异面直线：如果直线 a 和 b 不同在___任何一个___平面内，这样的两条直线叫做异面

直线，如图①②③所示.

知识讲解：直线与平面的位置关系

空间直线与平面的位置关系有三种：

（1）直线在平面内：如果直线 a 与平面α有__无数__个 公共点，我们称直线 a 在平面α内，

记作 a∈α，如图①所示.

a

b

B

a

b

α a

b

α

β

a

b

（2）直线与平面相交：如果直线 a 与平面α有且只有___一个__公共点 P，我们称直线 a 与

平面α相交于点 P，记作 a∩α=P，如图②所示.

（3）直线与平面平行：如果直线 a 与平面α没有____公共点___，我们称直线 a 与平面α平

行，记作 a∥α，如图③所示.

知识讲解：空间平面与平面的位置关系

空间平面与平面的位置关系有两种：

（1）平行平面：如果平面α与平面β没有___公共点____，我们称平面α与平面β是平行平面，

记作α ∥ β ，如图①所示.

α a

α

a

β

α

（2）相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有___公共点___，我们称平面α与平面β相交

于直线 l，记作α∩β =l，如图②所示.

证明线共面问题

例：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.

例：如图所示，在空间四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB 的中点，F 在 CD 上，H 在

AD 上，且有 DF : FC=DH：HA=2：3，求证：EF、GH 、BD 交于一点.

①

②

平行关系的判定与性质——基础篇

知识讲解

1. 直线与平面平行的判定定理

文字语言：若__平面外___一条直线与此平面内的一条直线__平行_，则该直线与此平面平行。

2. 平面与平面平行的判定定理

文字语言：如果一个平面内有两条__相交__直线都___平行___于另一个平面，那么这两个平

面平行。

证明直线与直线平行

例：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2√17 。点 G，

E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面

GEFH。

证明：GH∥EF

证明直线与平面平行

例：如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2 , BC=1，

E，F 分别是 A1C1，BC 的中点。

求证：C1F∥平面 ABE

例：如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别 是 AB，BB1 的中点。

证明： BC1 ∥平面 A1CD

例：如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC=90°，

AB=AC=√2，AA`=1。点 M，N 分别为 A`B 和 B`C`的中点。证明： MN∥平面 AA`CC`

B

A C E

1A 1C

D

B

A

C

M

N

A

BC

垂直关系的判定

证明直线与平面平行

例：有下列说法：

①如果直线 l 与平面α内的无数条直线垂直，则 l⊥α；

②如果直线 l 不垂直于平面α，则平面α内没有与 l 垂直的直线；

③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；

④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；

⑤如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任一直线。

其中正确的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：B

例：设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面 . 下列命题中正确的是( )

A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n

B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n

C.若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若 m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案：D

直线与平面垂直的判定

例：如图所示，已知四面体 ABCD 的棱 BC=AC，AD=BD，BE⊥CD 于 E . AH⊥BE 于 H，

求证：AH⊥平面 BCD .

例：如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2， ∠ABC=∠DBC=120°，

E，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点 .求证：EF⊥平面 BCG .

例：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱 AB，AD，DD1，

BB1，A1B1，A1D1 的中点，求证：直线 AC1⊥PQMN

1A

1D

1C

1B

N

M P

Q

A

F

EB

平行与垂直关系的综合应用

平行关系的综合应用

例：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱均为 2√17. 点 G，E ，

F ，H 分别是棱长 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥ 平面

GEFH.

（1）证明：GH ∥ EF；（2）若 EB=2，求四边形 GEFH 的面积.

例：在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形.设 D，E 分别是线段

BC，CC1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE∥ 平面 A1MC?

请证明你的结论

C D

垂直关系的综合应用

例：如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（1）证明：AB⊥A1C

（2）若 AB=CB=2，A1C=√6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.