耦合演化动态网络的稳定效率与反选举人模型

朱陈平 1,2 ，孔辉 1 ，李莉 3 ，古志鸣 1 ， 熊诗杰 4

1. 南京航空航天大学应用物理系2. 上海理工大学复杂系统科学研究中心

3. 上海师范大学教育学院4. 南京大学物理系

Outline

• 1.Motivations

• 2.A coevolutionary voter model

• 3.Our inverse voter model(IVM)

• 4.Results and the physical meanings

• 5.Possible applications

• 6.Conclusions

Motivations

1. 物理学界的同行们大多已经习惯于采用图论的变量描写复杂网络。自变量数目在增加。但是，哪些是互相独立的，哪些是互相交叠甚至不必要采用的，并不清楚。特别地，任何复杂网络都会涉及的全局效率，一直简单地普遍采用最短路径长度（ SPL ）倒数描写，而与网络功能无关、与网络节点状态无关，这不是统计物理的正常思路。

• 复杂网络的全局效率定义

2 1

( 1)globi j ij

EN N l

Motivations

• 基于任意两点间最短路径倒数的全局效率定义对许多耦合演化的动态网络不能适用。比如：网络上的 SIR 传染病问题，具有一定通讯半径而在MAC （媒体接入控制）或节能静息机制下工作的移动 ad hoc 通讯网络和具有突触可塑性和不应期的神经元网络。因为由于两态节点状态翻转会造成 SPL 时断时连，或者在耦合演化中重连。然而，基于 SPL 的 在不少动态网络问题中被长期滥用。

globE

Motivations

• 网络中节点之间的边表示它们之间的相互关系或者相互作用，从实现网络功能的视角来看，有些关系是有效的，有些是无效的。当节点状态随时间变化，边的有效性也相应变化，甚至会重连。网络的全局效率应当与实现有效功能的连边的密度有关，即为收益 / 支出，它是随时间变化的，可以在一定条件下达到动态平衡。

Motivations

• 普遍存在一类可以由两态节点描写的实际网络：如 SIS 传染病网络，买 - 卖网络，抽象为放电 - 静息的神经元网络，和发射 - 接收节点构成的通讯网络。广义的信息流仅仅会发生在任意两个不同状态的节点之间，我们称这样的对象为流网络。它们的功能是产生流，其中不同状态之间的连边才是有效的。

Motivations

• 大多数实际网络都是稀疏的，

很少有文章解释它的原因。注意，稀疏性与小的 SPL 之间是矛盾的。

ln

:

ln

k N N

k N N

或

2.A coevolutionary voter model

2.A coevolutionary Voter model

2.A coevolutionary Voter model

3.Our inverse voter model(IVM)

• Flow of generalized message• Flow networks: SIS epidemics, stock market

s, neural networks, MANET• Nodes with binary states( )• Effctive links:• The flow-producing efficiency of dynamic net

works with binary node states: •

1E

定义：流网络的效率

3.Our inverse voter model(IVM)

3.Our inverse voter model(IVM)

• 设 表示网络中同状态连边的比例 ,则其非平衡演化的主方程可以表示为 :

•

• • (1)

• 其中 n 和 k 表示任意节点的同状态连边数和度， 为网络在度分布 p(k) 下的平均度， 为二项分布， 为可调参数，实际上它控制节点的平均重连概率，反映除了最近邻作用以外的节点互作用的无序程度。

Nenke

k

nB

N

kp

dt

d k

n

k

n

kn

k

nk 2

])2)(1[(/1

)(,

01

,n kB )1,0(

3.Our inverse voter model(IVM)

3.Our inverse voter model(IVM)

• 平均场近似

3.Our inverse voter model(IVM)

• 令主方程中 ，求得 的稳定解 0dt

d )(t

3.Our inverse voter model(IVM

• 从 到 两个网络状态之间有一个连续相变，它们分别对应于网络全局效率

• 与

两个相（ ）。

• 为网络演化的吸收态。

1

0

0 0

1

0

1

4.Results and physical meanings

• 数值模拟验证了序参量 表征的连续相变 长程序与短程序

4.Results and physical meanings

4.Results and physical meanings

• 序参量 标度关系， RG 采用 IVM 演化

~ ( / ), 0f k

1.27, 0.15

4.Results and physical meanings

4.Results and physical meanings

~ ( / ), 0g k

•序参量 标度关系， SW 采用 IVM 演化

0.92

4.Results and physical meanings

• 结果表明，在耦合演化的两态网络中， IVM 的重连和状态翻转机制可以提高网络全局效率，存在临界平均度 。

• 当 有 。• 仅当 的情况，效率 才与 无关。 实际网络的稀疏性！

对 情况，无论从 RG还是 SW 出发耦合演化，都不会有 。

)(ck

)(ck)0(,0 但 E

0

1E

4.Results and physical meanings

4.Results and physical meanings

• 当 ， SW 的耦合演化给出另一个标度关系：• ， (4)

• 其中 ， c 为常数 -0.5 ， ，而 为临界平均度， h 为普适函数。它反映了从不同初始重连概率（正比于有效维数）出发的 SW 演化过程之间序参量的关联。

1

~ ( ) /c h k

c

c

k

kk

05.0 ck

4.Results and physical meanings

• 在相同的耦合演化中计算基于 SPL 的全局效率 ，则给出了截然相反的结果：

•

• 与实际复杂网络的稀疏性质相悖。这显然是错误的，它反证了重新定义新的测度衡量网络效率的必要性。

globE

globglob EkEk ,;,

5.Possible applications

• 我们提出的 IVM 在原理上可以推广运用于传染病，股市网络，移动 ad hoc 网络，传感器网络，神经元网络，博弈问题，一致性问题以及其它任意的两态节点网络。

5.Possible applications

• 结合网络的长程序（ ，即“自旋”向上状态的节点比例）， IVM 可以定量描写社会经济网络中的直接摩擦与间接摩擦：

N

NLRO

df

2

2

/

/(1 )

id

id

f LRO

f LRO

moment closure approximation

或,

5.Discussion and conclusions

• 被广泛滥用的网络全局效率不适用于耦合演化的动态网络，它仅仅是描写静态网络连通性的拓扑量。

• 网络效率必须为节点之间相互作用的成功（产生功能）的比率。

• 第一次提出物理学界的 IVM ，用来描写一类两态节点网络。定义了序参量 , 即短程序 SRO 和长程序 LRO. 不同于前人的选举人模型，我们发现了新的网络吸收态、连续相变与标度关系。

• 对于存在相互作用无序的两态节点网络给出了拓扑结构稀疏性的可能来源，即 小是耦合演化达到的高效率状态。此外，如果定义 n/k 为赝能量，则可以定义网络基态为效率 的状态，激发态效率 。

k

1 下降。

感谢

• 国家自然科学基金：

70471084 ， 10775071 ， 10635040 ， 10874071

• 973 项目： 2006CB705500

• Thanks for your attention!