Практически Практически приложения на приложения на числови редицичислови редици

Пример 1 Пример 1 За да избегнат За да избегнат

вредните последствия вредните последствия от безтегловносттаот безтегловността, , космонавтите в космонавтите в орбиталната станция орбиталната станция се упражняват на се упражняват на специални специални тренажоритренажори, , като като времето за времето за упражнение трябва упражнение трябва да се увеличава всяка да се увеличава всяка седмица с 6 минседмица с 6 мин..Ако Ако времето за времето за упражнение първата упражнение първата седмица е 30 минседмица е 30 мин, , колко часа трябва да колко часа трябва да се упражняват се упражняват космонавтите след 24 космонавтите след 24 седмициседмици??

РешениеРешение:: Тъй като времето за упражнение всяка Тъй като времето за упражнение всяка

седмицаседмица се увеличава с постоянно число се увеличава с постоянно число (6 (6 минмин),), то стойностите му са членове на то стойностите му са членове на аритметична прогресия с първи член а аритметична прогресия с първи член а = = 3030 и разлика и разлика d = 6.d = 6.Общия член на тази прогресия е Общия член на тази прогресия е

ааnn = = 30 30 + 6 ( n – 1).+ 6 ( n – 1).Търсим аТърсим аnn при при n = 24.n = 24. Така получаваме аТака получаваме а2424 = 30 + 6 (24 -1 ) = 168.= 30 + 6 (24 -1 ) = 168.

Следователно времето за упражнение Следователно времето за упражнение след 24 седмици е 2след 24 седмици е 2 ч ч 48 48 минмин..

Пример 2Пример 2 Огледалата на Огледалата на

големите телескопи големите телескопи ги изливат от ги изливат от специално стъклоспециално стъкло, , което трябва да се което трябва да се охлажда много охлажда много бавнобавно, , за да не се за да не се получат пукнатиниполучат пукнатини.. Стъклото се излива Стъклото се излива при температура при температура 14001400°° и се охлажда с и се охлажда с 11,3° ,3° на денна ден..

Колко дни са Колко дни са необходиминеобходими,, за да се за да се охлади огледалото охлади огледалото до 22до 22°° ??

РешениеРешение:: Тъй като началната температура от 1400Тъй като началната температура от 1400°°

намалява всеки ден с 1намалява всеки ден с 1,,33°° , , то то последователните стойности на последователните стойности на температурата образуват аритметична температурата образуват аритметична прогресия с първи член апрогресия с първи член а11 = = 1400 и разлика 1400 и разлика d = -1,3.d = -1,3. Общия член на тази прогресия е Общия член на тази прогресия е aann = 1400 – 1,3 ( n – 1). = 1400 – 1,3 ( n – 1). В задачата аВ задачата аnn = 22 = 22 и и трябва да намерим трябва да намерим n. n. От уравнението 22 От уравнението 22 = = 1400 – 1,3 ( n – 1) 1400 – 1,3 ( n – 1) получавамеполучаваме

n = 1061. n = 1061. Следователно за охлаждането са Следователно за охлаждането са необходими 1061 днинеобходими 1061 дни..

Известна е следната Известна е следната история за история за гениалния гениалния математик Гаус. математик Гаус. Когато бил в Когато бил в началното училище, началното училище, учителят е поставил учителят е поставил на учениците задача на учениците задача да намерят сбора на да намерят сбора на числата от 1 до 100, числата от 1 до 100, очаквайки, че те ще очаквайки, че те ще смятат цял час. смятат цял час. ВместоВместо да събирада събира последователно последователно числата, Гаус числата, Гаус постъпил по друг постъпил по друг начин.начин.

Карл Фригрих Гаус

Да запишем сбора по два начина - в Да запишем сбора по два начина - в нарастващнарастващ ред и в намаляващ ред:ред и в намаляващ ред:

1+2+3+...+98+99+1001+2+3+...+98+99+100 100+99+98+...+3+2+1100+99+98+...+3+2+1

Можем да забележем, че 1+100=101, Можем да забележем, че 1+100=101, 2+99=101, 2+99=101, 3+98=101, ..., 99+2=101, 3+98=101, ..., 99+2=101,

100+1=101.100+1=101. Оттук е ясно, че 2(1+2+3+...+100)=100*101.Оттук е ясно, че 2(1+2+3+...+100)=100*101.

Следователно 1+2+3+...+100=50*101=5050Следователно 1+2+3+...+100=50*101=5050

aa11+a+ann

2Sn= n= (1+100)100

=5050 2

50

SSnn=a=a11

qn - 1q - 1

Формула за сбора на първите n члена на

геометричната прогресия.

Пример 1

Според една известна легенда владетелят на Индия, очарован от шахматната игра, попитал какво възнаграждение иска изобретателят й. Той поискал да му се заплати със зърно, като за първото квадратче на шахматната дъска му се даде едно зърно, а за второто две, и така за всяко следващо квадратче- два пъти повече.Владетелят отвърнал, че това е твърде скромно искане. Успял ли е той да се разплати?

Решение:Решение:

Трябва да намерим сбора на първите 64 Трябва да намерим сбора на първите 64 члена на геометричната прогресия с члена на геометричната прогресия с частно 2 и първи член 1. По частно 2 и първи член 1. По формулата за сбора на на геометричната прогресия имаме

SS6464==1 =21 =264 64 – 1. С помощта на компютър – 1. С помощта на компютър можем да пресметнем това число можем да пресметнем това число

SS6464=18 446 744 073 709 551 615.=18 446 744 073 709 551 615. Като вземем Като вземем предвид, че средно 20 пшенични зърна предвид, че средно 20 пшенични зърна тежат около 1г, то изобретателят на шахмата тежат около 1г, то изобретателят на шахмата е поискал приблизително 900 млрд. тона е поискал приблизително 900 млрд. тона зърно, което е 1500 пъти повече от зърно, което е 1500 пъти повече от произвежданото количество пшеница в света произвежданото количество пшеница в света сега. Ясно е, че владетеля, който не е знаел сега. Ясно е, че владетеля, който не е знаел математика силно е подценил искането.математика силно е подценил искането.

264 - 12 - 1

Формула за сложна лихваФормула за сложна лихва

KKnn=Kq=Kqnn=K 1=K 1 ++p

100

n

( )Пример 1Родители внесли за десетия рожден ден на Родители внесли за десетия рожден ден на детето си 4000 лева при сложна годишна детето си 4000 лева при сложна годишна лихва 4%. Каква ще бъде сумата когато лихва 4%. Каква ще бъде сумата когато детето навърши 18 години?детето навърши 18 години?Решение:Решение:В тази задача К = 4000, В тази задача К = 4000, nn = 18 – 10 = = 18 – 10 = 8 и р 8 и р = 4. По формулата за сложна лихва = 4. По формулата за сложна лихва получаваме:получаваме:

KK88==4000 4000 1+1+ =4000(1,04) =4000(1,04)88 ≈5474,276.≈5474,276.

Следователно когато детето навърши 18 години Следователно когато детето навърши 18 години ще разполага със сумата 5474,28 лв.ще разполага със сумата 5474,28 лв.

4100( )

8

Пример 2

Каква сума трябва да внесем при 5% сложна лихва, за да имаме след 5 години 10 000 лева?

Решение:Решение:

В този случай имаме К5=10000, р=5, т.е. В този случай имаме К5=10000, р=5, т.е. qq=1.054 и търсим К. От формулата за сложна =1.054 и търсим К. От формулата за сложна лихва имаме:лихва имаме:

К=К= = ≈7835,262 = ≈7835,262 Кn

qn

100001,055

Следователно трябва да внесем 7835,26 лв. за да можем да изтеглим след 5 години 10000 лв.

Пример3Пример3В банка са вложени 1500 лева на срочен В банка са вложени 1500 лева на срочен месечен депозит при годишен лихвен процент месечен депозит при годишен лихвен процент 3,6. Каква ще бъде сумата след 18 месеца?3,6. Каква ще бъде сумата след 18 месеца?

Решение:Решение: В тази задача К = 1500, В тази задача К = 1500, n n = 18 и месечния = 18 и месечния

лихвен процент елихвен процент е рр == 3,6:123,6:12 == 0,3%. По формулата за сложна 0,3%. По формулата за сложна

лихва получавамелихва получаваме::

KK1818=1500=1500 1+ =1500(1,003)1+ =1500(1,003)1818 ≈ 1583,098. ≈ 1583,098.0,3100( )

18

Следователно след 18 месеца сумата ще бъде 1583 лева и 10 ст.

V=KV=K

Формула за погасителна вноскаФормула за погасителна вноска

qn(q - 1)qn - 1

Пример 1

Фирма е взела заем от 10000 лева при годишна лихва от 6% за срок от 5 години, който ще излпаща на равни месечни вноски. Да се намери:

а) размерът на месечната вноска

б) каква лихва ще е изплатила фирмата след погасяването на заема.

Решение:Решение:

а) Тъй като заемът ще се изплаща на а) Тъй като заемът ще се изплаща на месечни вноски, то месечната лихва е 6:12 месечни вноски, то месечната лихва е 6:12 = 0,5% и заемът трябва да бъде изплатен = 0,5% и заемът трябва да бъде изплатен за 5*12 = 60 месеца. От формулата за за 5*12 = 60 месеца. От формулата за размера на месечната вноска намираме:размера на месечната вноска намираме:

V=1000 V=1000 ≈ 193,328.≈ 193,328.1,00560(1,005 - 1)

1,00560 - 1

Следователно месечната вноска е 193 лв. и 33 ст.

б) Размерът на лихвата е: 60*193,33 - 10000= 1599,8

Следователно платената лихва е 1599 лeва. и 80 ст.

Изготвили:Милен Минев и Тихомир Желев 11 А класСОУ” Железник “2010 годинаУчител по математикаГ-жа Малинова