第一章 随机向量

§3 矩 一、数学期望

1 、定义

pqpp

q

q

xxx

xxx

xxx

21

22212

12111

X

是有随机变量构成的随机矩阵，定义 X的数学期望为

)()()(

)()()(

)()()(

)(

21

22212

12111

pqpp

q

q

xExExE

xExExE

xExExE

E

X

特别当时 ，便可得到随机向量 的数学期望为

1q ),,,( 21 pxxx x

))(,),(),(()( 21 pxExExEE x

2 、性质

1 ）  设为常数，则 ； )()( XX aEaE

2 ）设 分别为常数矩阵，则CBA ,,

CBXACAXB )()( EE

3 ）设 为 个同阶矩阵，则n21 XXX ,,, n

)( n21 XXX E n21 XXX EEE

二、协方差矩阵

1 、定义：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为

),,,( 21 pxxx x ),,,( 21 qyyy y

p q

)()()(

)(

)(

)(

2211

22

11

qq

pp

yEyyEyyEy

xEx

xEx

xEx

E

),cov(

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

21

22212

12111

YX

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

qppp

q

q

的协方差矩阵为),,,( 21 pxxx x

)var(),cov(),cov(

),cov()var(),cov(

),cov(),cov()var(

)(

21

2212

1211

ppp

p

p

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Var

x

2 、性质

1 ）若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp) 相互独立。则

0

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

),cov(),cov(),cov(

21

22212

12111

qppp

q

q

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

若 (x1,x2,… ， xp)’ 的分量相互独立 , 则协方差矩阵， 除主对角线上的元素外均为零，即

)var(00

0)var(0

00)var(

)(2

1

px

x

x

Var

x

2 ）随机向量 X 的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设 a 为任意与 X 有相同维数的常数向量，则

axxEaaa ]))(([

]))(([ axxaE 0)]([ 2 xaE

3 ）设 A 是常数矩阵， b 为常数向量，则V(AX+b)=AV(X)A’ ；

)( bAX V

)]))[( bAbAX E ])))[( bAbAX

AxxA ]))([( E AxA )(V

4 、若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp) 分别是 p 和 q 维随机向量， A 和 B 为常数矩阵，则

ByxAByAx ),(),( CovCov

),( ByAxCov证

}])()][(({[( xBBxxAAx EEE

BxxA ]))([( E

5 、若 (k1,k2,… ， kp) 是 n 个不全为零的常数， (x1,x2,… ， xp) 是相互独立的 p 维随机向量，则

)( 21 n21 xxx nkkkV

)()()( 222

21 n21 xxx VkVkVk n

三、相关系数矩阵 若 (x1,x2,… ， xp)’ 和 (y1,y2,… ， yp) 分别是 p和 q 维随机向量，则其相关系数矩阵为

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

),(

21

22212

12111

qppp

q

q

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

yx

。，两随机向量相互独立若 0yx ),(

§4 随机向量的变换 一、一元随机变量的变换

设 x 具有概率密度函数 fx(x) ，函数 y=(x) 严格单调，其反函数 x=(x) 有连续导数，则 y 的概率密度函数为

|)(|))(()( yyfyf xy

其中 y 的取值范围与 x 的取值范围相对应。

例 设随机变量 x 服从均匀分布 U(0,1), 即密度函数

其他0

101)(

xxf x

的密度函数。求 )0(ln1

xy

yeyx )(解

y 的取值范围为 (0,), 则|)(|))(()( yyfyf xy

|)(|1|)(|))( yyyx eeef

ye

二、多元随机向量的变换 若 (x1,x2,…,xp)’ 有密度函数 f (x1,x2,…,xp), 有函数组

),,,( 21 pii xxxy pi ,,2,1

其逆变换存在 ),,,( 21 pjj yyyx pj ,,2,1

则 的概率密度函数为),,,( 21 pyyy y

||)),,,(,),,,((

),,,(

21211

21

J ppp

p

yyyyyyf

yyyg

p

ppp

p

p

p

p

y

x

y

x

y

x

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yyy

xxx

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

21

21

),,,(

),,,(J

特别：若 ，其中 为 阶可逆常数矩阵， 为 维常数向量，则

bAxy A

pb

p

1||)( AAyxJ 1