工 程 力 学

直播课堂 11

安徽电大：姚志刚

第九章 梁的应力• 一、本章知识点：• 1 ．平面弯曲的概念；• 2 ．常用截面的静矩、惯性矩及组合截面惯

性矩计算；• 3 ．梁的正应力强度条件及强度计算；

二、教学要求• 1 ．平面弯曲的概念及实例

了解弯曲、平面弯曲的概念• 2．梁的正应力• （ 1）了解梁的纯弯曲与非纯弯曲的概念；• （ 2）了解梁在纯弯曲情况下的变形现象；• （ 3）掌握梁横截面上的正应力计算公式及其应用条件。

• 3．常用截面的惯性矩、平行移轴公式• （ 1）掌握简单截面的惯性矩计算；• （ 2）掌握组合截面的惯性矩计算。

4．梁的剪应力（ 1）掌握矩心截面的剪应力计算公式及静矩的概念；（ 2）了解工字形及 T形截面梁的剪应力计算公式。

5．梁的强度条件（ 1）掌握梁的正应力强度条件及抗弯截面模量；（ 2）能够利用强度条件公式解决三种不同类型的强度计算问题：强度校核，选择截面，确定容许荷载；（ 3）掌握梁的剪应力强度条件并能利用该公式进行剪应力的强度校核。

6．提高梁弯曲强度的主要途径（ 1）掌握提高梁弯曲强度的三种途径：选择合理的截面形状，变截面梁，合理安排梁的受力。

三、基本内容• （一）基本概念及公式• 1 ．弯曲变形――构件基本变形之一• 弯曲内力弯矩、剪力对应正应力、剪应力。• 2 ．正应力公式

• （ 1 ）公式由纯弯推导，但对非纯弯曲也适用。• 其中 M— 横截面上的弯矩；• IZ －截面对中性轴的惯性矩；• y －所求应力点至中性轴的距离， Z 轴为通过形心

的轴。

yI

M

Z

＝

• （ 2 ）简单截面的惯性矩

矩形截面对 Z 轴的惯性矩：

圆形截面对通过圆心的 Z 轴的惯性矩：

12

bh 3ZI

64

4dI Z

（ 3 ）常用的一些组合截面，其惯性矩可以用简单截面惯性矩，通过平行移轴公式换算得到。

惯性矩平行移轴公式：

组合截面的惯性矩：

AaII ZZ2

1

ni

iziZ II

1

• 例 9 － 2 （ P147 ，图 9 － 14 ）• 图示长为 L 的 T 形截面悬臂梁，自由端受

集中力 P 的作用。已知 • 试求截面 A 上 1 、 2 、 3 点的正应力。

,1,k15 mlNP

lz

y

20

20

120

2

1120

yc

y33

• 解：• （ 1 ）确定 T 形截面的形心 O

• 通过二个面积对 Z1 轴的面积矩去除二个面积的和可得 yc→ 确定 E 轴

z

y

20

20

120

2

1120

yc

y33

oz

y

20

20

120

1120

yc

y3

• （ 2 ）计算截面对形心轴 E 的惯性矩• 根据矩形惯性矩，通过平行移轴公式计算

出 T 形截面对形心轴 E 的惯性矩。• (3) 计算截面 A 上 1 、 2 、 3 的正应力

• 4 ．矩形剪应力计算公式•

•

• ① 其中： Q －剪力，• JZ －横截面对中性轴惯性矩，• b －横截面宽度，• SZ －应力点以外面积到中性轴

的静面矩；

bJ

QS

Z

Z

• ② 当 y ＝ 0 时 SZ 最大，则有 τmax ，最大剪应力发生在中性轴上。

• 5 ．工字形及 T 形截面梁的剪应力

• b1 －为腹板宽度，其余同矩形截面，• Q －为截面的剪力，• JZ －为工字形截面对中性轴的惯性矩，• Sz －为所求应力点外的面积对中性轴的静

面矩；

1bJ

QS

Z

Z

• 从应力分布规律可知：最大弯曲正应力发生在矩中性轴最远的位置；最大弯曲剪切应力发生在中性轴处。

• （二）梁的强度条件• 1 ．正应力强度条件•

• WZ －抗弯截面模量。 ；• 矩形截面 ymax=h/2 ；圆形截面 ymax=d/2

• 代入公式即得：矩心截面 ；• 圆形截面

ZW

M maxmax＝

maxyZ

Z

IW

6

bh 2ZW

32

d 2ZW

• 2 ．三种强度的计算问题

• 即强度条件不等式的不同应用方式：已知三项，即校核不等式是否成立；或已知其中二项可求第三项（范围）。

• （ 1 ）已知 Mmax ， WZ ， , 校核强度条件。

• (2) 已知 Mmax ， ；确定截面尺寸• （ 3 ）已知 WZ ， ；确定 Mmax

ZW

M maxmax＝

• 3 ．剪应力强度条件：• 梁的强度计算，应同时满足正应力强度条

件和剪应力强度条件，但一般情况下正应力强度条件起主导作用。

• 以正应力强度计算为例，主要是 Wz ， Mm

ax 的计算。

bJ

SQ

Z

Z maxmaxmax

• 以教材例 9－ 5为例 (P152)：• 一槽形截面外伸梁。梁上受均布荷载 q 和

集中荷载 P 作用，已知 q = 10kN / m ， P = 20kN ，材料的容许应力，容许压应力。试按正应力强度条件校核梁的强度。

• 4 ．弯曲强度计算的步骤：（ 1 ）梁的受力分析，弯矩图；（ 2 ）确定可能的危险截面―― Mmax ；简单

矩形截面的危险点，是离中性轴最远的点。（ 3 ）根据应力分布和材料力学性能，确定

危险点即求 WZ 。（ 4 ）利用公式计算。

• 5 ．常用矩形截面的几何性质计算• 静面矩 S＝面积 A×形心对某轴的标

矩；• 组合面积的形心；•

• 中性轴位置 i

i

A

S

＝cy

组合截面计算：相对于中性轴的惯性矩 IZ ，

（ 1）已知Mmax，求最大拉应力及最大压应力

（ 2）已知任一点的 M,求该点最大压应力及最大拉应力

四、本章教学要求• 1 ．了解平面弯曲的概念；• 2 ．掌握梁的正应力强度条件及强度计算；• 3 ．会简单图形惯性矩的计算、简单组合截

面惯性矩的计算；•  

五、例题分析

9-3(P150)9-4 （ P151 ）9-6 （ P153 ）