Простые делители оберквадратов

Унтерквадраты

0, 3, 8, 15, 24, 35 и т.д

Оберквадраты

2, 5, 10, 17, 26 и т.д.

n2 – 1

n2 — 1 = (n — 1)(n + 1)

n2 + 1

Общая формула простых делителей оберквадратов

Задача 1.

Какие простые числа могут быть делителями оберквадратов?

Разложение оберквадратов на множители

2 = 2,5 = 5,10 = 2 · 5,17 = 17,26 = 2 · 13,37 = 37,50 = 2 · 5 · 5,65 = 5 · 13,82 = 2 · 41.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 47, 53, ...

2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, ... — хорошие,

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, ... — плохие.

Скачки для хороших чисел:

3 8 4 12 8 4 12

2 5 13 17 29 37 41 53

Теперь скачки для плохих чисел:

4 4 8 4 8 12 4

3 7 11 19 23 31 43 47

2 = 0 · 4 + 2, 5 = 4 · 1 + 1, 13 = 4 · 3 + 1, 17 = 4 · 4 + 1, . . . . . . . . . . . . . . . 3 = 0 · 4 + 3, 7 = 4 · 1 + 3, 11 = 4 · 2 + 3, 19 = 4 · 4 + 3, . . . . . . . . . . . . . . .

Предположение 1.

Хорошие числа — это 2 и числа вида 4n + 1, а плохие — это числа вида

4n + 3, где n € N .

1 000 001 = 101 · 9901, а 20072 + 1 =

= 2 · 52 · 13 · 6197.

+ Ч Н

Ч Ч Н

Н Н Ч

*Ч Н

Ч Ч Ч

Н Ч Н

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

* 0 1

0 0 0

1 0 1

Таблица сложения

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

Таблица умножения

* 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Утверждение «x2 + 1 делится на p» равносильно такому:

x2 = –1 в Fp .

Задача 2.

Для каких простых p уравнение x2 = –1 имеет решение в поле Fp?

1,

2, 4, 3, 1,

3, 4, 2, 1,

4,1*.

1,

2, 4, 1,

3, 2, 6, 4, 5, 1,

4, 2, 1,

5, 4, 6, 2, 3, 1,

6, 1.

Построим таблицу для поля F13:

1,

2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1,

3, 9, 1,

4, 3, 12, 9, 10, 1,

5, 12, 8, 1,

6, 10, 8, 9, 2, 12, 7, 3, 5, 4, 11, 1,

. . . . . . . . . . . .

1…………

a2

a

3

a