Простые числа

Презентация к реферату ученика 6в класса

МОУ СОШ № 27 г.ТвериМаслова Фёдора.

Руководитель учитель математики МОУ СОШ № 27 Иванова О.В.

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая популярная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе" остальных чисел.

"Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением простых чисел - непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться ни на какие числа, кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может и ребёнок. Тем не менее они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще не разрешимыми. Мартин Гарднер

1.Определение и свойства простого числа.•Простым числом называется такое натуральное число,

которое не имеет никаких делителей, кроме самого себя и единицы.

•Натуральные числа, имеющие, кроме самого себя и единицы, еще какие-нибудь делители, называются составными.

•Единица не относится ни к простым, ни к составным числам. Это единственное натуральное число, которое имеет только один делитель.

Примеры: 2, 3, 5, 7, 23 и т.п. – простые числа; 9, 18, 64, 125 и т.п. – составные числа.

Теорема о свойстве всякого натурального числа.

Всякое натуральное число, кроме единицы, имеет по крайней мере один простой делитель.

2.Теорема Евклида о бесконечности ряда простых чисел.

Ряд простых чисел бесконечен.Д а н о : 2, 3, 5, 7, 11, … , К – простые числа.Д о к а з а т ь : существует простое число, большее

простого числа К.

3.Таблицы простых чисел.С древних времен простые

числа привлекали внимание математиков.

Евклид только доказал, что простых чисел бесконечное множество, но не дал формулы составления простых чисел.

Эвклид

Интересный поиск в этом направлении предпринял французский ученый Марен Мерсенн (1588 – 1648).

р 2 3 5 7 11 13 17 19

2р 4 8 32 128 2048 8192 131072 524288

Мр 3 7 31 127 2047 8191 131071 524287

Числа вида Мр = 2р – 1

Марен Мерсенн (1588 – 1648)

С числами Fn связан замечательный геометрический факт, установленный немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 – 1855). Правильный р-угольник для простого р>2 можно построить при помощи циркуля и линейки тогда и только тогда, когда р есть простое число вида Fn. Иначе говоря, треугольник с равными сторонами и углами построить с помощью циркуля и линейки можно; пятиугольник, семнадцатиугольник – тоже; даже 257 и 65 537-угольник – можно. А вот, например, семиугольник, пользуясь только этими инструментами, построить нельзя, так как ни при каком n 7 не равно Fn .

Карл Фридрих Гаусс(1777 – 1855)

Гаусс, сделавший это открытие в девятнадцатилетнем возрасте, придавал ему настолько большое значение, что позднее завещал выгравировать правильный семнадцатиугольник на своем надгробии, хотя многие другие открытия Гаусса имеют для науки гораздо большие следствия.

Леонарду Эйлеру удалось доказать, что М31 =231 – 1 = =2147483647 есть простое число. Очень долго оно считалось самым большим из известных науке простых чисел, но в 1883 году Иван Михеевич Первушин (1827 – 1900) сумел доказать, что М61 = 261 – 1 = 2 305 843 002 913 693 951 есть простое число. Иван Михеевич Первушин по профессии не был математиком, но с детства до конца своей жизни с увлечением занимался исследованием свойств чисел.

Л.Эйлер

И.М.Первушин, 1827-1900 г.

Через 20 столетий знаменитый французский математик Пьер Ферма думал, что нашел формулу, по которой всегда можно получить простое число при любом целом значении n. Сам Ферма нашел, что формула 2 дает простые числа при n, равном 0, 1, 2, 3.

2n

П.Ферма

Но уже в XVIII веке великий математик Эйлер, член Петербургской Академии наук, доказал, что при n=5 получается составное число 4 291 967 297, которое делится на 641. Впоследствии нашли, что предположение Ферма о том, что число – простое при любом положительном n, неверно и для n, равного 6; 7; 8; 9; 11;12; 18; 23; 36; 38 и 73.Л.Эйлер

Все другие известные в науке попытки найти формулы, которые давали бы всегда простое число, оказались также неосуществимыми. Но если не существует общей для всех простых чисел формулы, то таблицы простых чисел и до сих пор незаменимы в случаях, когда требуется определить, принадлежит ли данное число к категории простых или составных чисел.

4. Таблица Эратосфена.Один из самых простых вместе с тем

самых древних способов составления таблицы простых чисел принадлежит другу Архимеда, александрийскому математику, астроному и географу Эратосфену (род. в 276 г. и ум. в 196 г. до н.э.).

Эратосфен, 276 -196 г.до н.э.

Этот способ составления таблицы простых чисел известен под именем «Решето Эратосфена». Такое название он получил потому, что Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась как бы решетом, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только простые числа. Эратосфен дал таблицу простых чисел в пределе 1000.

После Эратосфена лишь в 1656 году появляется новая таблица простых чисел в пределе 10 000. Затем составляется ряд таблиц всё для большего и большего числа простых чисел и, наконец, американец Лемер составил таблицу простых чисел в пределах от 1 до 10 006 721 (издана в 1914 г. в Вашингтоне).

5. Расположение простых чисел в натуральном ряду.

Рассматривая таблицы простых чисел, мы видим, что эти числа чаще встречаются в пределах от 1 до 100; в пределах от 100 до 1 000 они появляются реже, и чем дальше, тем все реже и реже встречаются простые числа (т.е. убывает их плотность).

Фрагмент распределения простых чисел на интервале от 8 900 000 до 9 000 000.

Вопросом о том, как найти точный закон, по которому убывает плотность простых чисел, много занимался знаменитый русский математик Пафнутий Львович Чебышёв (1821 -1894 г.).

6. Проблема Гольдбаха.

Член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к знаменитому математику, также члену Петербургской Академии наук Эйлеру выдвинул предположение, что всякое четное число, большее 4, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел или в виде суммы единицы и простого числа.

В течение двухсот лет проблема Гольдбаха оставалась неразрешенной.

Христиан ГОЛЬДБАХ 1690–1764

Немецкий математик. Родился в Кёнигсберге в Пруссии (ныне Калининград, Россия). В 1725 году стал профессором математики в Санкт-Петербурге, тремя годами позже приехал в Москву в качестве домашнего учителя для будущего царя Петра II. Во время путешествий по Европе Гольдбах познакомился со многими ведущими математиками своего времени, включая Готфрида Лейбница, Абрахама де Муавра и семью Бернулли. Многие его работы выросли из переписки с великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером (Leonhard Euler, 1707–83). Утверждение, которую мы теперь называем проблемой Гольдбаха, впервые было выдвинуто в 1742 году в письме Гольдбаха к Эйлеру.

В 1937 году академик Иван Матвеевич Виноградов доказал, что всякое нечетное число, большее некоторой постоянной величины, есть сумма трех простых чисел.

Что же касается четных чисел, то из работы академика Виноградова следует, что они, начиная с некоторого числа, являются суммами четырех простых чисел. Однако полного решения проблема Гольдбаха все еще не получила.

Оказывается, у всем известной параболы y=x2 есть еще необщеизвестные свойства, да еще и теоретико-числовые.

7 .«Решето» Матиясевича – Стечкина.

Возьмем положительные числа a и b и отметим на оси х точки –а и b. Поднявшись на параболу, получим точки с координатами (-a; a2 )и (b;b2 ).

Соединим точки, отмеченные на параболе, отрезком. Как первым отметил Август Мёбиус (1790-1868), ордината точки пересечения равна произведению a*b.

Если рассмотреть всевозможные натуральные числа a и b, начиная с двойки, то отрезки, соединяющие соответствующие точки на параболе, проходят через все составные числа на оси. Точки оси, имеющие простую координату, не пересекает ни один отрезок.Такая интерпретация – параболическое решето – была отмечена Ю.В. Матиясевичем и Б.С.Стечкиным.

Юрий Владимирович Матиясевич

(род. 2.03.1947г.)

Российский математик, внес существенный вклад в теорию вычислимости, завершив решение десятой проблемы Гильберта.

Любое натуральное число а может быть представлено в виде произведения

а= р1 е . р2

е . р3 е . … . pn

e , где р - различные простые числа и е – натуральные

показатели степеней, т.е. простые числа составляют мультипликативный базис множества N.

Основная теорема арифметики

1 2 3 n

Библиография:

•4

•Гальперин Г. Просто о простых числах. - ж.Квант №4, 19• ГарднерМ. “Математические досуги" -М.Мир, 1972 стр. 410•Колмогоров А.Н. Решето Эратосфена - ж.Квант,№3 ,1984 •Тудинов Б.А. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. - М.: Просвещение,1990. •Чекмарев Я.Ф. Арифметика. – М.: Учпедгиз, 1948. •Математические этюды http://www.etudes.ru/ru/sketches/