العددية األنظمة

صدقة. سامية دمداح

النظــام العددي:

للتعبير تستخدم الرموز من مجموعة لها شفرة هواألعداد . عن

أنظمة الطويل تاريخه في اإلنسان استعمل لقدالعشري . النظام نسميه ونظامنا مختلفة عددية

مقدمــة

النظام الثماني

النظام الخماسي

النظام الثنائي

النظام االثنى عشر

النظام العشري

النظام التساعيالنظام

السادس عشر

األنظمة العددية

النظـــــــــــــامالثنائي

  هو الثنائي النظام في المستعمل األساس إن ا 2 ط هـم ام من رقمين فـق ذا النـظ ون ـه 1 و0ويتـك

< > ثنائيـا . Binary Digitويسـمى كـل منهمـا رقمـا فإنــه ال يلــزم إال 1 و0ولتمثيـل كــل من الــرقمين

خاـنة واـحدة, ولـهذا الـسبب أـصبح من الـشائع أطالق على الخاـنة اـلتي يحتلـها اـلرقم داـخل Bitاـسم بت

العدد الثنائي.

الثنائي Binary Systemالنظام

لتحويل أي عدد ثنائي إلى مكافئه العشري فإنه يجب علينا استعمال قانون التمثيل الموضعي

لألعداد. و ينطبق هذا القانون عندما يكون الرقم > مع مراعاة أن أساس نظام > أو كسرا الثنائي صحيحا

. 2العد هنا هو

العشري النظام إلى الثنائي النظام من التحويل

مثال: حول العدد الثنائي التالي إلى مكافئه العشري:

110011010= = 0 * 2

0 + 1 * 2

1 + 0 * 2

2 + 1 * 2

3 + 1 * 2

4 +

0 * 25

+ 0 * 26

+ 1 * 27

+ 1 * 28

= 0 + 2 + 0 + 8 + 16 + 0 + 0 + 128 + 256 = 410

العشري النظام إلى الثنائي النظام من التحويل

تحويل األعداد العشرية الصحيحة الموجبة :

لتحويل أي عدد صحيح موجب من النظام العشري إلى الثنائي نستعمل طريقة الباقي

Remainder Method: الموضحة كاآلتي

 

الثنائي إلى العشري النظام من األعداد تحويل

.2( أقسم العدد العشري على األساس 1 .0أو 1 ( أحسب باقي القسمة الذي يكون أما 2 كما في 2( أقسم ناتج القسمة السابق على األساس 3

(.1خطوة )(.2( أحسب باقي القسمة كما في خطوة )4( استمر في عملية القسمة وتحديد الباقي حتى يصبح خارج 5

.< القسمة الصحيح صفرا( العدد الثنائي المطلوب يتكون من أرقام الباقي مقروءة 6

من الباقي األخير إلى األول )الحظ أن الباقي األول يمثل LSD بينما الباقي األخير يمثل MSD .

الثنائي إلى العشري النظام من األعداد تحويل

من النظام العشري إلى الثنائي نتبع اآلتي :150مثال: لتحويل الرقم

   

74=2*37يكون 1وبإضافة 75الناتج

بالمثل هكذا والنواتج جميع مع

الكسور ذات

0 2 1501 2 751 2 370 2 181 2 90 2 40 2 21 1

الثنائي إلى العشري النظام من األعداد تحويل

لتحويل الكسر العشري إلى مكافئة الثنائي نضرب

> من المرات حتى 2الكسر في األساس > معينا عددا> أو حتى نحصل على ناتج ضرب يساوي صفرا

نحصل على الدقة المطلوبة.

ثنائي إلى العشري الكسر تحويل

مثال: لتحويل الكسر العشري إلى مكافئة الثنائي : 

ومن أسفل إلى أعلى من الناتج فيكوناليمين إلى 0.11اليسار

*2

1 50

2

0 . 75

*

1 100

MSD

LSD

ثنائي إلى العشري الكسر تحويل

إلى مكافئة الثنائي بدقة 0.126 مثال: لتحويل الكسر العشري تصل إلى أربعة أرقام ثنائية:

اليمين إلى اليسار ومن أسفل إلى أعلى من الناتج فيكون0.0010

0 . 126*2

0 2522

*

0 504*2

1 008 *2 0 016

MSD

LSD

ثنائي إلى العشري الكسر تحويل

يتم تحويل كل جزء على حده ثم تضم النتائج مع بعض لتعطي النتيجة المطلوبة.

الكسري العشري العدد تحويل

يمكن إجــراء العمليــات الحســابية من جمــع وطــرح وـضرب وقـسمة كـما ـهو الـحال في النـظام العـشري

.2ـمع مراـعاة أن أـساس النـظام المـستعمل هـنا ـهو عملية الجمع :

وكـان كـل منهمـا A ,B لـو أخـذنا عـددين ثنـائيين , وبـما أن ـكل خاـنة Bitيتـكون من خاـنة واـحدة فـقط

ا ون أـم > 1 أو 0 يمكن أن تـك ا ددين مـع د للـع ه يوـج فإـنأربع احتماالت كاآلتي:

الموجبة الثنائية األعداد على الحسابية العمليات إجراء

ABالفيض المجموعcarry

0000

0110

1010

1101

الموجبة الثنائية األعداد على الحسابية العمليات إجراء

1110

أما إذا كانت األعداد الثنائية مكونة من أكثر من خانة واحدة فإن عملية الجمع تنفذ بنفس طريقة الجمع في النظام العشري مع مراعاة أن أساس النظام

.2العد المستعمل هو 101) + ) 011 )(: جمع العددين الثنائيين ) 1مثال)

111 المحـمــول

101 العدد األول

011العدد الثاني

+

الموجبة الثنائية األعداد على الحسابية العمليات إجراء

)إذا كان المطروح أقل من المطروح منه(: وكان كل منهما A ,B لو أخذنا عددين ثنائيين

يتكون من خانة واحدة فقط فإنه توجد Borrowالمستقرض الفرقABاالحتماالت التالية لعملية الطرح تكون كاآلتي:

0000

0111

1010

1100

الطرح عملية

100

(110( – ) 010مثال: اطرح العددين الثنائيين ) 010

110-

الطرح عملية

000

10 ( )101 )مثال : ما هو ناتج ضرب العددين الثنائيين ) 101 10

101

1010

الضرب عملية

*

11 ) ( على )1001مثال : ما هو ناتج قسمة )

1111 1001

11

1111

00

القسمة عملية

رجوع

النظـــــــــام الخماسي

النظـــــــــام الخماسي

0,1,2,3,4رموزه:

خمسة .أساسه: العددمثال :

)34( = 4*50 + 3*5

1

= 4*1 + 3*5 = 19

رجوع

النظـــــــــام الثماني

كـما ـهو مـعروف ـفإن أـساس النـظام الثـماني ـهو الـعدد ام ) 8 ذا النـظام من األرـق وز ـه ون رـم , .... , 0 , وتتـك7)

الثماني النظـــــــــام

N= 2 * 82+0 * 81+ 6 * 80 + 7 * 8-1 + 5 * 8-2

N= 2 * 64 + 6 * 1 + 7 * + 5*

N= 128 + 6 + +

N= 134.953125

18 64

78 64

5

يستعمل العشري النظام إلى الثماني النظام من للتحويلنظام أساس أن مراعاة مع لألعداد الموضعي التمثيل قانون

هو هنا . 8العد

الثماني العدد حول مكافئه( (206.75مثال إلىالعشري

العشري إلى الثماني النظام من التحويل

1

تحويل األعداد الصحيحة الموجبة: ام العشـري وجب من النـظ دد صـحيح ـم ل أي ـع لتحوـياقي المشـروحة في إلى الثمـاني نسـتعمل طريقـة الـب

و د ـه اة أن األسـاس الجدـي ع مراـع ائي ـم .8النظـام الثـن

الثماني إلى العشري النظام من التحويل

إلى مكافئه 122مثال : حول العدد العشري الثماني؟

ناتج القسمةالباقيالخانة األدنى

منزلة2122 / 8 = 15

715 / 8 = 1الخانة األعلى

منزلة11 / 8 = 0

إنهاء القسمةإلى ) اليسار ومن أعلى إلى أسفل من الناتج فيكون

172 اليمين(:

الثماني إلى العشري النظام من التحويل

لتحويل الكسر العشري إلى مكافئه الثماني فإننا نضرب > من المرات حتى نحصل 8الكسر في األساس > معينا عددا

> أو حتى نحصل على الدقة على ناتج ضرب يساوي صفراالمطلوبة.

الثماني مكافئه إلى العشري الكسر تحويل

إلى مكافئه 0.615مثال :حول الكسر العشري خانات فقط .4الثماني المكون من

MSD

LSD

920

86150.

7

7

2

4

8

8

8808

*

*

360*

*

040

الثماني مكافئه إلى العشري الكسر تحويل

لتحويل أي عدد ثماني إلى مكافئه الثنائي نستبدل كل رقم من أرقام العدد الثماني بمكافئه الثنائي المكون من ثالث خانات وبذلك ينتج لدينا العدد

الثنائي المكافئ للعدد الثماني المطلوب تحويله.

الثنائي إلى الثماني النظام من التحويل

إلى مكافئه الثنائي 772.5مثال حول العدد الثماني 

7 7 2 5.

010

772.5 = )(111111010101))

101111111

الثنائي إلى الثماني النظام من التحويل

لتحويل األعداد الثنائية الصحيحة إلى ثمانية نتبع الخطوات  التالية:

. نقسم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها مكون من 1 ثالث خانات، ويجب أن نبدأ التقسيم من الرقم األقل أهمية

(LSD ).. إذا كانت المجموعة األخيرة غير مكتملة فإننا نضيف في 2

نهايتها الرقم صفر حتى تصبح مكونة من ثالث خانات ثنائية.> للحصول على العدد المطلوب.3 . نضم األرقام الثمانية معا. في حالة الكسور الثنائية نبدأ بالتقسيم إلى مجموعات 4

من الخانة القريبة على الفاصلة.

الثماني إلى الثنائي النظام من التحويل

((001011011010.101100 مثال: حول العدد الثنائي إلى مكافئه الثماني

001 011 010 100011 101.

31 3 2 5 4

001011011010.101100=)1332.54)

الثماني إلى الثنائي النظام من التحويل

جمع األعداد الثمانية: عند جمع األعداد الثمانية نتبع نفس الطريقة في

حالة األعداد العشرية مع مراعاة أن أساس نظام .8العد هو

الثمانية األعداد وطرح جمع

( + 52.2 مثال : اجمع العددين الثمانيين ) (176.7 )

176 . 7

052 . 2+

111

251 . 1

الثمانية األعداد وطرح جمع

( ؟260( – ) 123مثال : اطرح العددين )

260

123-

135

الثمانية األعداد طرح

( ؟726 ( * ) 3أوجد حاصل الضرب )

3

726*

12

2602

الثمانية األعداد وقسمة ضرب

( ؟2602 ( / ) 3)مثال:أوجد ناتج عملية قسمة

26023

-25

010 -622

-22

00

0726

الثمانية األعداد وقسمة ضرب

رجوع

النظـــــــــام التساعي

النظـــــــــام التساعي

0,1,2,3,4,5,6,7,8 رموزه:

تسعة .أساسه: العدد

العشري : : إلى التساعي النظام من حول مثال

)40( = 0*90 + 4*9

1

= 0*1 + 36 = 36

رجوع

العشري النظام

> من قبل   يعتبر النظام العشري أكثر أنظمة العد استعماالاإلنسان, وقد سمي بالعشري ألنه يتكون من عشرة أرقام

 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)هي: والتي بدورها تشكل أساس نظام العد العشري.

  Baseوبشكل عام يمكن القول أن أساس أي نظام عد يساوي عدد األرقام المستعملة لتمثيل األعداد فيه, وهو

> إليه واحد. يساوي كذلك أكبر رقم في النظام مضافاتمثل األعداد في النظام العشري بواسطة قوى األساس

وهذه تسمي بدورها أوزان خانات العدد.10

العشري Decimal Systemالنظام

رجوع

النظـــــــــام االثنى عشري

النظـــــــــام اإلثنى عشري

رموزه: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B

12العدد أساسه: إلى عشري االثنى النظام من التحويل

العشري :العدد ) حول العشري( A1مثال مكافئه إلى

A1= A * 120 + 1 *

121

= 10 * 1 + 1 * 12=10+12=22

رجوع

النظـــــــــام السادس عشر

.16أساس هذا النظام هو العدد

والجدول التالي يبين رموز )أرقام( هذا النظام و األعداد العشرية التي تكافؤها. FEDCBA9876543210 السادس

عشر

العشري1514131211109876543210

عشر السادس النظـــــــــام

للتحويل من النظام السادس عشر إلى العشري نستعمل قانون التمثيل الموضعي لألعداد مع

.16مراعاة أن أساس هذا النظام هو

العشري إلى عشر السادس النظام من التحويل

( إلى مكافئه 2AF3مثال حول العدد ) العشري

N = 3 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163

N= 3 * 16 + 15 * 16 + 10 * 16 + 2 * 16

N= 3 + 240 + 2560 + 4096 = 6899

العشري إلى عشر السادس النظام من التحويل

لتحويل األعداد الصحيحة الموجبة من النظام العشري إلى السداسي عشر: نستعمل طريقة

.16الباقي وذلك بالقسمة على األساس

عشر السداسي إلى العشري النظام من التحويل

إلى مكافئه السادس 72)مثال : حول العدد العشري )عشر

ناتج القسمةالباقي

الخانة األدنى منزلة

872 / 16 = 4

الخانة األعلى منزلة

44 / 16 = 0

إنهاء القسمة

عشر السداسي إلى العشري النظام من التحويل

لتحويل األعداد العشرية الكسرية:ثم نضرب الناتج 16 فإننا نضرب الكسر في األساس

وهكذا حتى نحصل على الدقة الالزمة. 16 في األساس

الكسرية العشرية األعداد تحويل

( إلى مكافئه السداسي 0.12 مثال: حول العدد العشري ) > من أرقام4عشر، على أن يكون الجواب مكونا

MSD

LSD

0. 12*16

1 92 *1614

1672 *

11 52*16

8 32

الكسرية العشرية األعداد تحويل

لتحويل أي عدد من النظام السداسي عشر إلى مكافئه الثنائي نتبع اآلتي:

( إلى مكافئه الثنائي:D39A مثال: حول العدد السداسي عشر)

( نستبدل الخانات المكتوبة بداللة الحروف إن وجدت في العدد 1 لها.باألعداد العشرية المكافئة

D 3 9 A

13 3 9 10

الثنائي إلى عشر السداسي النظام من التحويل

( نستبدل كل عدد عشري بمكافئه الثنائي المكون من أربعة خانات. 2

13 3 9 10

1101 0011 1001 1010

  3: المطلوب( العدد على لنحصل بعضها مع الثنائية األرقام نضم ثم

(1101001110011010) (=D39A)

الثنائي إلى عشر السداسي النظام من التحويل

لتحويل أي عدد صحيح من النظام الثنائي إلى السداسي عشر نتبع اآلتي:  

( نقسم العدد الثنائي إلى مجموعات كل منها 1 خانات مع مراعاة أن يبدأ التقسيم من 4يتكون من

. (LSD)الرقم األقل أهمية

مثال العدد الثنائي يصبح تقسيمه 101001101101111001101)التالي)

إلى مجموعات كاآلتي:   

1 0100 1101 1011 1100 1101

عشر السداسي إلى الثنائي النظام من التحويل

( إذا كانت المجموعة األخيرة غير مكتملة فإننا 2 نضيف في نهايتها الصفر حتى تصبح مكونة من أربعة

1101 1100 1011 1101 0100 0001خانات:

العشري( :3 النظام في مكافئها إلى ثنائية مجموعة كل نحول

0001010011011011110011011413111213

عشر السداسي إلى الثنائي النظام من التحويل

( نستبدل كل رقم عشري)من الخطوة السابقة( 4   بداللة حروف النظام السداسي عشر:9أكبر من

1413111213

14DBCD

عشر السداسي إلى الثنائي النظام من التحويل

4: عشر( السادس النظام في مكافئه إلى عشري رقم كل نحول

( نضم األرقام الناتجة مع بعضها لنحصل على الجواب 5 14DBCDالمطلوب في النظام السداسي عشر:

> نبدأ بالتقسيم إلى 6 ( إذا كان العدد الثنائي كسرامجموعات من الخانة القريبة على الفاصلة ثم نتبع

.< باقي الخطوات المشروحة سابقا

عشر السداسي إلى الثنائي النظام من التحويل

لتحويــل أي عــدد من النظــام السداســي عشــر إلى النظام الثماني:

ا ر معـن ا ـم ائي كـم ه إلى النظـام الثـن > بتحويـل وم أوال نـق> وذلــك باســتبدال كــل رقم من أرقــام العــدد ســابقاالسداســي عشــر إلى مكافئــه الثنــائي المكــون من ة إلى بعضـها ام الثنائـي د ضـم األرـق ات، وبـع ة خاـن أربـعة نـقوم ـمرة أـخرى بتقـسيمها إلى مجموـعات من ثالـثذلك رقم ثمـاني وـب ل مجموعـة ـب ات ونسـتبدل ـك خاـن

نكون قد حصلنا على العدد الثماني المطلوب.

الثماني إلى عشر السداسي النظام من التحويل

( إلى مكافئه B51.DF2مثال حولي العدد السداسي عشر ) الثماني:

( نقوم بتحويل العدد السداسي عشر إلى مكافئه الثنائي1

B51.DF2

115113152101101010001,110111110010

الثماني إلى عشر السداسي النظام من التحويل

( ثم نعيد تقسيم العدد الثنائي إلى مجموعات كل 2منها يتكون من ثالثة خانات ثنائية ثم نكتب العدد

الثماني المكافئ لكل مجموعة:

101101010001.11011111001055216762

هو 5521.6762الناتج

الثماني إلى عشر السداسي النظام من التحويل

لتحويل أي عدد ثماني إلى النظام السادس عشر: > بتحويله من الثماني إلى الثنائي، ثم نقسم نقوم أوال

العدد الثنائي الناتج إلى مجموعات كل منها يتكون من أربعة خانات، ونقوم باستبدال كل مجموعة منها بما

تكافؤها في النظام السادس عشر.

عشر السادس إلى الثماني النظام من التحويل

( إلى مكافئه 163.45مثال : حول العدد الثماني ) السادس عشر:

1 6 3 . 4 5

001 110 011 . 100 1010011 10011.1001

0100

7 3 49.

عشر السادس إلى الثماني النظام من التحويل

عند جمع وطرح األعداد في النظام السداسي عشر نتبع نفس األسلوب المستعمل في

النظام العشري مع مراعاة أن أساس هذا .16النظام هو

A D 6اجمع العددين التاليين: مثال

2 5 3+

9 0 0

عشر السادس النظام في األعداد وطرح جمع

مثال : اطرح العددين التاليين:

A E D

8 2 6-

2 C 7

عشر السادس النظام في األعداد وطرح جمع

الضرب: : حاصل أوجد مثال

A 1 4* 5

3 2 6 4

1

ضرب وقسمة األعداد في النظام السادس عشر

مثال:أوجد ناتج عملية القسمة التالية:

0 A 1 45 3 2 6 4

-3 2 0 0 6

-5

1 4 -1 4

0 0

ضرب وقسمة األعداد في النظام السادس عشر

رجوع