Закон за нормалното разпределение

tx

нормирано отклонение

ННормално разпределениеормално разпределение

ССиметричноиметрично ЕдновърхоЕдновърхо Характеризира се Характеризира се

отот: : - -

- - P

rob

abil

ity

X

ККомулативна криваомулативна крива

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

2.28%

50.00%

68.27%

F

Normal probabilitydensity function

Cumulative normaldensity function

Генерални параметриГенерални параметри

Средна аритметична = xi

N

Дисперсия 2 = (xi - )2

Стандартно отклонение = (xi - )2

N

N

ССтандартизирана криватандартизирана крива

ЗЗамяна на амяна на наблюдаваните наблюдаваните стойности с техните стойности с техните нормирани отклонениянормирани отклонения

ППолученото олученото разпределение има разпределение има = = 0, 0, = 1= 1

Pro

bab

ilit

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

Z

Zx

Първа функция нанормираното отклонение

Значение на І функция на Значение на І функция на нормираното отклонениенормираното отклонение

Изчисляване на теоретичните честоти на Изчисляване на теоретичните честоти на даден вариационен реддаден вариационен ред

Построяване на графика на нормалната криваПострояване на графика на нормалната крива

Сравняване на емпиричните и теоретичните Сравняване на емпиричните и теоретичните честоти за проверка на нормалност на честоти за проверка на нормалност на разпределениеторазпределението ( (χχ-квадрат-квадрат))

Изчисляване на теоретични Изчисляване на теоретични честотичестоти

1.1. Съставяне на вариационен редСъставяне на вариационен ред2.2. Изчисляване на средната Изчисляване на средната

аритметична, стандартното аритметична, стандартното отклонениеотклонение

3.3. Изчисляване на нормираните Изчисляване на нормираните отклонения на средните на класоветеотклонения на средните на класовете

4.4. Намиране на І функция на Намиране на І функция на нормираните отклонениянормираните отклонения

5.5. Изчисляване на теоретичните честотиИзчисляване на теоретичните честоти

s

xxt i

_

s

xxt i

_

tfs

inf

.'

tfs

inf

.'

честота а ттеоретич-

отклонение норм. на функция І -

интервал класов-

извадката на обем -

отклонение стандартно -

ааритметичн средна -

класовете на средни -

отклонение нормирано -

'

_

f

tf

i

n

s

x

x

t

i

Теоретична честота

xxii ff tt f(t)f(t) ff’’ ff’’

6060 22

6565 3030

7070 3434

7575 6262

8080 7474

8585 88

9090 44

5 214 06,6 05,75_

insx

48,206,6

05,7560

t -2,48

-1,66

-0,83

-0,01

0,82

1,64

2,47

f(-2,48)=0,01820,0182

0,1006

0,2827

0,3989

0,2850

0,1040

0,0189

2,30182,006,6

5214'

f 3,2

17,8

49,9

70,4

50,3

18,4

3,3

3

18

50

70

50

18

3

55 60 65 70 75 80 85 90 95

0

20

40

60

80

емпирични честоти

теоретични честоти

55 60 65 70 75 80 85 90 95

0

20

40

60

80

f ’ - f

Втора функция нанормираното отклонение

Показва какъв е дела на вариантите, които се намират между средната аритметична

и дадената стойност на белега (стандарт).

Представлява определен интеграл на първата функция, в границите от 0 (средната)

до дадена стойност на белега (стандарт), изразена в нормирани отклонения.

Втора функция нанормираното отклонение

tt

ІІ функция на нормираното отклонениеІІ функция на нормираното отклонение

tq 5,0 tq 5,0

Стандарт > средна аритметична

tq 5,0 tq 5,0

Стандарт < средна аритметична

http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html

http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/tableNormal.html

http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/accurateNormal.html

В статията на R. Prior “Some notes on new or uncommon aphids recently found in Britain” са представени данни за дължината на последното членче на хобота (LRS) на извадки от безкрили живораждащи женски на два вида листни въшки от род Fimbriaphis. В ключа за определяне, този белег е използван при разграничаване на двата вида:

1 (4) LRS е от 0.087 до 0.118 mm

F. fimbriata

4 (1) LRS е от 0.118 до 0.148 mm

F. wakibae

Каква част от генералната съвкупност представляват тези извадки? Какви са теоретичните граници на вариране на белега при двата вида? Каква е диагностичната стойност на белега и грешката при определянето на F. fimbriata и F. wakibae по него?

_x

STD min max

F. fimbriata 0.107 mm 0.005 mm 0.098 mm 0.115 mm

F. wakibae 0.131 mm0.0093

mm0.118 mm 0.145 mm

F. fimbriata F. wakibae

90.9 % 85.3 %

Каква част от генералната съвкупност представляват тези извадки?

Какви са теоретичните граници на вариране на белега при двата вида?

F. fimbriata

F. wakibae

0.092 mm 0.122 mm

0.103 mm 0.160 mm

Каква е диагностичната стойност на белега и грешката при определянето на F. fimbriata и F. wakibae по него?

F. wakibaeF. fimbriata

1.4 % 8.1 %

Показател на трансгресия

21

2211

nn

pnpnTr

222

1

121

11

3min

min

5,0

sx

s

xt

tp

111

2

212

22

3max

max

5,0

sx

s

xt

tp

2112 max и min xx 2112 max и min xx

Трета функция нанормираното отклонение

( - ) - ако стандарта е > средната( + ) - ако стандарта е < средната

Средна аритметичнана отсечената от стандарта част

Асиметрия

Асиметрия - мярка за отклонението наразпределението на честотите от

симетричното разпределение.

Положителна асиметрия

Mo_

xнатрупване на честоти в дясната

част на вариационната крива

Отрицателна асиметрия

натрупване на честоти в ляватачаст на вариационната криваMo

_

x

Асиметрия

3

3

sn

xxAs

(+) положителна асиметрия(-) отрицателна асиметрияAs = 0 нормално разпределение 0 < As < 0,25 слаба0,25 < As < 0,5 умерена As > 0,5 силна

Ексцес

Ексцес - степента на отклонение наемпиричната крива на разпределение от

нормалната крива по своя връх.

3

4

4

sn

xxЕ

Ексцес

(+) положителен ексцес (-) отрицателен ексцесЕ = 0 нормално разпределение Е = - 2 двувърхо разпределение

Положителен ексцес

положителен ексцесУвеличаване на честотите на средните и

крайни стойности на белега

Отрицателен ексцес

отрицателен ексцесУвеличаване на честотите на крайните

стойности на белега

x

генерална съвкупност

извадка

Оценка на генералните параметриОценка на генералните параметри

Оценка на параметрите, стандартни грешки и

доверителни интервали

Съотношение между извадъчните среднии генералната средна

8 16 20 24 8 16 20 32 8 16 24 32 8 20 24 3216 20 24 32

20 32 24 20 16 8

1719202123

Централна пределна теорема

Извадъчните средни аритметичниимат нормално разпределение.

При увеличаване на обема наизвадките, разпределението на извадъчните

средни се стреми към нормалното, дорив случаите, когато изходната съвкупност

не е нормално разпределени

Стандартна грешка

n

S

n

SSx

2

Стандартната грешка показва големинатана отклонението на извадъчния показателот неговия генерален параметър.

стандартната грешка на средната аритметична

Доверителни интервали

xstx 05,0

Ниво на значимостНиво на значимост – допустимата вероятност – допустимата вероятност за получаване на случайни отклонения от за получаване на случайни отклонения от

установените с определена вероятност резултатиустановените с определена вероятност резултати

0.050.050.010.01

0.0010.001

вероятноствероятност

0.950.950.990.99

0.9990.999

Разпределение t на Student