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第七章 二阶电路. 7-1 二阶电路的零输入响应 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应 7-3 二阶电路的冲激响应. 重点: 1. 用经典法分析二阶电路 2. 二阶电路的零输入响应有几种表现形式?特点? 难点: 不同特征根的 响应 讨论. 知 识 复 习. 1 、二阶齐次微分方程的通解形式. 通解 :. 特征方程为:. 特征根:. 当特征方程有不同的实根 p 1 、 p 2 时: 当特征方程有相同的实根 p 时: 当特征方程有共轭的复根 :. 2 、欧拉公式. - PowerPoint PPT Presentation
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第七章 二阶电路
7-1 二阶电路的零输入响应 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
7-3 二阶电路的冲激响应
重点:1. 用经典法分析二阶电路2. 二阶电路的零输入响应有几种表现
形式?特点? 难点: 不同特征根的响应讨论
知 识 复 习
1 、二阶齐次微分方程的通解形式
0''' cbyay
02 cbpap
a
acb
a
bp
4
4
2
2
2,1
ptAey
特征根:
特征方程为:
通解 :
当特征方程有不同的实根 p1、 p2 时 :
当特征方程有相同的实根 p 时 :
当特征方程有共轭的复根 :
tptp eAeAy 2121
ptetAAy )( 21 jp 2,1
)sincos( 21)( tAtAeey ttj
a
acb
a
bp
4
4
2
2
2,1
ptAey
2 、欧拉公式 sincos je j
sincos je j
2sin
j
ee jj
2cos
jj ee
7-1 二阶电路的零输入响应
一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应二阶电将将出现动态元件之间的能量交换RLC 串联电路的简单物理过程分析
一、问题的提出
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
二阶电路中的能量振荡
+ iU0
C L C L _ (a) (b) -
_ C L C L U0
i + (c) ( d)
图 8-1 LC电路中的能量振荡
即 R=0 ,无阻尼情况
U0 I0
2
O 2 t
振荡放电过程的响应曲线
uC(t )
iL(t )
00 cL u
dt
dii :max
00 Lc
c idt
duu :max
U0
uC(t ) I0
iL(t ) O tm t
非振荡放电过程的响应曲线
U0
I0 uC(t )
iL(t )
O 1/ t
临界阻尼情况的响应曲线
U 0
O - 2 t
振 荡 放 电 过 程 的 响 应 曲 线
u C ( t )
i L ( t )
teU
00
U0 I0
2
O 2 t
振荡放电过程的响应曲线
uC(t )
iL(t )
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
二、二阶电路的方程与解
000 Uuu CC )()(
000 )()( LL ii
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
电路如图,零输入设初始条件为∶
说明 : 0 LRC uuudt
duCi C
dt
duRCRiu C
R 2
2
dt
udLC
dt
diLu C
L
电路方程为:
因此:
02
2
CCC u
dt
duRC
dt
udLC
00 UuC )( 00 )(Li0t
二阶电路微分方程的求解 02
2
CCC u
dt
duRC
dt
udLC
LCL
R
L
Rp
1
22
2
特征根为:
012 RCpLCp特征方程为 :
ptc Aeu 解为 :
其中:LCL
R
L
Rp
1
22
2
1
LCL
R
L
Rp
1
22
2
2
得∶ tptpc eAeAu 21
21
代入初始条件∶ 210 AAU 00 UuC )(
00 )(Li 00
2211 ApApC
iL )(
有∶ 012
21 U
pp
pA
0
12
12 U
pp
pA
•据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。•由特征根的性质(不等的实数、相等的实数或共轭的复数)确定通解的具体形式。
结论∶
tptpc eU
pp
peU
pp
pu 21
012
10
12
2
00 UuC )( 00 )(Li
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
LCL
R
L
Rp
1
22
2
21
.
三、关于二阶电路响应的讨论
LCL
R 1
2
2
C
LR 2
将出现三种典型情况
尤其受根号项制约响应受 制约21.p 为元件值定21.p
LCL
R 1
2
2
LCL
R 1
2
2
C
LR 2
C
LR 2
当 时, p1、 p2 为不相等的负实数 ( 其为固有频率 ) 。
C
LR 2
)()( tptpC epep
pp
Utu 21
1212
0
解出
tptpc eU
pp
peU
pp
pu 21
012
10
12
2
00 UuC )(
00 )(Li
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路 LCL
R
L
Rp
1
22
2
21
.
)()( tptpL epep
pp
Utu 21
2112
0
)()(
)( tptpL ee
ppL
Uti 21
12
0
dt
duCi C dt
diLuL
一、过阻尼情况——非振荡放电过程过阻尼的条件
02121 tptpL epep
dt
di1
2
21
1
p
p
pptm ln
)()( tptpC epep
pp
Utu 21
1212
0
)()(
)( tptpL ee
ppL
Uti 21
12
0
LCL
R
L
Rp
1
22
2
21
.
对响应的进一步分析∶
定性分析∶
波形∶
12 pp
tptp ee 21 0)(tuC
0t
t
max)( CC uUtu 0
0)(tuC
0Li
0Li
maxLL ii
U0
uC(t ) I0
iL(t ) O tm t
非振荡放电过程的响应曲线
02,1 p
过阻尼时的响应曲线
U0
uC(t ) I0
iL(t ) O tm t
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
能量分析
LCL
R 1
2
2
二、临界阻尼情况
临界阻尼的条件 当 时, p1、 p2 为两相等的负实数 ( 其为固有频率 ) 。
C
LR 2
00 UuC )(
00 )(Li
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路 LCL
R
L
Rp
1
22
2
21
.
L
Rpp
212 型0
0cu 罗必塔法则
)()(
)(
)(
lim)(
teUtepeU
dpppd
dpepepd
Utu
ttptp
tptp
ppC
1010
2
12
2
21
0
11
12
12
)()( teUtu tC 10
tL te
L
Ui 0 )()( teUtu t
L 10
)()( tptpC epep
pp
Utu 21
1212
0
临界阻尼时的响应曲线
U0
I0 uC(t )
iL(t )
O 1 t
临界阻尼情况的响应曲线
1
mt0dt
diLmaxLL ii
)()( teUtu tC 10
tL te
L
Ui 0
当 时, p1、 p2 为一对共轭复数,其实部为负数。
C
LR 2
LCL
R 1
2
2
三、欠阻尼情况 00 UuC )( 00 )(Li
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
LCL
R
L
Rp
1
22
2
21
.
欠阻尼的条件 0
220
arctg
cos0
sin0L
R
2 22
02 令: LC
10
三角形关系
jp 1 jp 2有:
)()( tptpC epep
pp
Utu 21
1212
0
jep 01
jep 02
jp 21.
有:
同理:
根据欧拉公式:
0
220
arctg
cos0
sin0
)sin(cos
sincos
0
001
j
jp
)()( tptpC epep
pp
Utu 21
1212
0
tjjtjj
tptpC
eeeej
U
epeppp
Utu
)()(
)()(
000
1212
0
2
21
)sin( te
Uu t
c00
)sin(
)()(
teU
j
eee
U
t
tjtjt
00
00
2
teL
Uti t
L
sin)( 0 )sin( te
Uu t
L00
因此:
2)cos(
2)sin(
)()(
)()(
tjtj
tjtj
eet
j
eet
sincos
sincos
je
jej
j
有:
dt
tduCtiti c
CL
)()()(
)sin( te
Uu t
c00 te
L
Uti t
L
sin)( 0 )sin( te
Uu t
L00
波形分析∶ 0sin K ),,,( 3210K
欠阻尼时的响应曲线
U 0
O - 2 t
振 荡 放 电 过 程 的 响 应 曲 线
u C ( t )
i L ( t )
teU
00
0t 0Uuc 0Li
t 0cu 0Li
Kt 0cu
Kt 0Li maxcc uu
Kt 0Lu maxLL ii
0
欠阻尼时的响应曲线
U 0
O - 2 t
振 荡 放 电 过 程 的 响 应 曲 线
u C ( t )
i L ( t )
teU
00
)sin()(200
tUtuC
tL
CUt
L
UtiL 000
0
0
sinsin)(
四、无阻尼的情况无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
此时的响应为:
)sin( te
Uu t
c00
teL
Uti t
L
sin)( 0
02
LC
10
0R 当 时, p1、 p2 仍为一对共轭复数,其实部为零。
0R
LCL
R
L
Rp
1
22
2
21
.
021 jp .
cL uu )sin( te
Uu t
L00
LC
10
L
R
2
220
2
LC
10
jp 2,1
0
R=0
U0 I0
2
O 2 t
振荡放电过程的响应曲线
uC(t )
iL(t )
)sin()(200
tUtuC
tL
UtiL 0
0
0
sin)(
cL uu
无阻尼时的响应曲线
由此可见, u(t) 、 i(t) 均为正弦函数,电路的响应为等幅振荡响应, 称为系统的固有频率;0
当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时,称此时电路发生了谐振,其物理意义类似于机械系统的共振。
1 . 解繁。即或是对于零输入的情况,解也是很繁的。
2 . 同样性质的电路,因元件的参数值差异,响应将出现不同情况。
3 . 其它初值情况。改变常数,将导致波形改变,但基本特征不变。
4 . RLC 并联电路 ---- 对偶关系。
四、几点说明
S(t=0) R iL( t ) + + uR (t) - + uC(t) uL(t) _ _ i
R、L、C串联的二阶电路
7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
二阶电路的初始储能为零 ( 即电容两端的电压和电感中的电流都为零 ) ,仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。
图示为 GCL 并联电路
S(t=0) iS iG iC iL + + G C uc(t) L uL(t) - -
它的解答由特解和对应的齐次方程的通解组成 , 即取稳态解 i’ 为特解,而通解 i” 与零输人响应形式相同,再根据初始条件确定积 分常数,从而得到全解。
有二阶线性非齐次方程,根据 KVL
二阶电路的零状态响应 :
SLGC iiii
SLLL ii
dt
diGL
dt
idLC
2
2
00 )(Cu 00 )(Li0t LLL iii
二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应,其求解方法与零状态响应的求解方法相同。 如果二阶电路具有初始储能,又接入外施激励,则电路的响应称为全响应。 全响应是零输入响应和零状态响应的叠加,可以通过求解二阶非齐次方程方法 求得全响应。
7-3 二阶电路的冲激响应
R C + + uc(t) - + )(t L uL(t) _ _ i
如图为一零状态的 RLC 串联电路,在 t= 0 时与冲激电压接通。 若以 uc为变量,根据 KVL 可得电路方程∶
零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应就是二阶电路的冲激响应。
二阶电路的冲激响应
在 t=0 时,电路受冲激电压激励而获得了一定能 量,在 t> 0+ 时放电
即在 t> 0+ 时,有∶ 02
2
CCC u
dt
duRC
dt
udLC
00 UuC )( 00 IiL )()( 0t
零输入响应
)(tudt
duRC
dt
udLC C
CC 2
2
00 )(Cu 00 )(Li ot
0
000
100 dtuuuRCdt
du
dt
duLC ccc
t
c
t
c )()(
0)0()0(,00
CCt
c uudt
du1
0
t
c
dt
duLC
LCdt
du
t
c 1
0
0)0(,1
)0(0
Ct
cL u
Ldt
duCi
)()(
)( tptpC ee
ppLCtu 21
12
1
)sin()( te
LCtu t
C
1
由于 uc不 可能是阶跃函数或冲激函数,否则上式不能成立,就是说 uc不可能跃变; 仅 duc/dt 可能发生跃变。这样根据初始状态条件有∶
把方程在 t=0- 到 0+区间积分,得 :
00 UuC )( 00 IiL )( )( 0t
问题的关键:
故∶
)(tudt
duRC
dt
udLC C
CC 2
2
00 )(Cu 00 )(Li
C
LR 2