主題三機率分佈簡介

112/04/20 政治學研究方法班1

主題三機率分佈簡介主講人陳陸輝特聘研究員兼主任政治大學選舉研究中心美國密西根州立大學博士

112/04/20政治學研究方法班2

講授主題

壹幾個基本概念貳機率模型參複合事件肆條件機率伍獨立事件陸貝氏定理柒間斷與連續事件的機率分佈捌常態分佈玖樣本平均數的抽樣分佈拾母體、樣本資料與樣本分佈


2008 年選舉結果

馬約得 765.9 萬票 / 謝約得 544.5 萬票馬勝 221 萬票馬得票率佔有效票 58.45 ％投票率 76.33 ％

如果用出口名調，得到比例會是多少？


壹幾個基本概念

A. 隨機實驗（ Random Experiment ）B. 基本結果（ Elementary Outcome ）C. 樣本空間（ Sample Space ）D. 事件（ Event Set ）


A. 隨機實驗（ Random Experiment ）

這是一種過程，你會知道有幾種特定的結果會出現，不過，不能確定哪一個結果會出現，也無法精確預測。

隨機實驗可以重複進行，經過累積一定的觀察數量後，可以找出一些統計規則。

例如，你擲一個骰子，你不確定會出現幾點，但是，你知道其中一些基本原則。同理，可以推論到擲兩顆骰子或是抽一張撲克牌。


B. 基本結果（ Elementary Outcome ）

隨機實驗可能出現的結果。例如，擲一個骰子的基本結果是從 1到 6 。


C. 樣本空間（ Sample Space ）

列出隨機實驗中的所有可能結果。例如，擲一個骰子的樣本空間是

S={1， 2， 3， 4， 5， 6}

通常用 S 來表示之。


D. 事件（ Event Set ）

樣本空間的部分集合稱之為事件。

事件可以只包括一個基本結果（簡單事件 simple event ）或是兩個或兩個以上的基本結果 ( 混合事件 composite event) 。


貳機率模型

家中小孩男女的組合：

生男生女是一個很平常卻很有趣的問題。當一個家庭有三個小孩，你會猜他們的男女組合是 ?GBG?BBB?GGB?BGB?

G-Girl

B-Boy


例題 4.1-4.2

4.1 一對夫妻有三個小孩，他們都是男的，機率是多少？

4.2. 都是女的機率是多少？


樹狀圖

第一個第二個第三個基本結果出現機率結果 SET

G GGG 1/8 e1

G

B GGB 1/8 e2

G G GBG 1/8 e3

B

B GBB 1/8 e4

G BGG 1/8 e5

G

B BGB 1/8 e6

B G BBG 1/8 e7

B

B BBB 1/8 e8


各種男女組合出現機率

事件機率

E=至少兩個女兒

F=兩位小的是女的

G=少於兩個女兒

H=青一色性別

K=少於兩個兒子

I=沒有女兒

I1=剛好一個女兒

I2=剛好兩個女兒

I3=三個全是女兒


各種男女組合出現機率（解答）事件機率

E=至少兩個女兒 {e1,e2,e3,e5} P(E)=4/8=0.5

F=兩位小的是女的 {e1,e5} P(F)=2/8=0.25

G=少於兩個女兒 {e4,e6,e7,e8} P(G)=4/8=0.5

H=青一色性別 {e1,e8} P(H)=2/8=0.25

K=少於兩個兒子 {e1,e2,e3,e5} P(K)=4/8=0.5

I=沒有女兒 {e8} P(I)=1/8=0.125

I1=剛好一個女兒 {e4,e6,e7} P(I1)=3/8=0.375

I2=剛好兩個女兒 {e2,e3,e5} P(I2)=3/8=0.375

I3=三個全是女兒 {e1} P(I3)=1/8=0.125


參、複合事件 (Compound Event)

(1) 交集與聯集

(2) 互斥事件

(3) 互補事件


複合事件例題 4.3

一個三個小孩家庭中的女生至少兩個且全部性別都相同的機率是多少 ?

這是交集 ? 還是聯集 ?/ 包含哪些結果 (outcome)?/機率是多少 ?


複合事件例題 4.3 解答

一個三個小孩家庭中的女生至少兩個且全部性別都相同的機率是多少 ?

至少二女 P(E)： {e1,e2,e3,e5} 相同性別 P(H)： {e1,e8}

是交集

125.08/1)( HEP


複合事件例題 4.4

一個三個小孩家庭中的女生至少兩個或是全部性別都相同的機率是多少 ?

這是交集 ? 還是聯集 ?/ 包含哪些結果 (outcome)?/機率是多少 ?


複合事件例題 4.4 解答

一個三個小孩家庭中的女生至少兩個或是全部性別都相同的機率是多少 ?

至少二女： {e1,e2,e3,e5} 相同性別： {e1,e8}

是聯集

)()()()( HEPHPEPHEP 625.0125.025.05.0


互斥事件

就是兩個事件基本上是沒有交集的例如 :

沒有女兒 P（ I ） {e8}

至少兩個女兒 P（ E ） {e1,e2,e3,e5}

0)( IEP


互補事件

彼此戶斥卻又窮盡所有結果（ outcome ）： P(G) 少於二女： {e4,e6,e7,e8} P(K) 少於二子： {e1,e2,e3,e5}

0)( KGP 且 1)( KGP


肆條件機率

設定條件之後，再看機率發生情況：你快樂嗎？


婚姻與快樂

很快樂 H 不很快樂 N 小計

已婚M 22 34 56

未婚 U 34 10 44

小計 56 44 100


各種機率

P(未婚 )

P( 很快樂 )+P( 不很快樂 )

P(已婚且很快樂 )=P(已婚 )*P(已婚中很快樂 )

P（M ）＝ 1-P（M ）P（ H N∪ ） = P(H)+P(N) 如果兩個事件獨立P（M∩H） = P(M)＊ P(H｜M)


各種比例：總比例


直欄百分比

很快樂 H 不很快樂 N 直欄%

已婚M 39.3 77.3 56.0

未婚 U 60.7 22.7 44.0

橫列% 56.0 44.0 100.0

)|( HMP )|( HUP

)|( NMP )|( NUP


橫列百分比

很快樂 H 不很快樂 N 直欄%

已婚M 39.3 60.7 56.0

未婚 U 77.3 22.7 44.0

橫列% 56.0 44.0 100.0

)|( MHP )|( MNP

)|( UHP )|( UNP


各種概念

交集： P（ A∩B ）聯集： P（ A B∪ ）條件機率： P（ A｜ B ）


伍、獨立事件

對人工流產立場總計

贊成(F) 反對(O)

白人W 45.9% 44.1% 90.0%

非裔 B 5.1% 4.9% 10.0%

總計 51.0% 49.0% 100.0%


獨立事件例題

如果我們隨機選一個受訪者，他支持人工流產的機率是多少 ? P(F)

如果我們選中一位白人，則他支持人工流產的機率是多少 ?P(F|W)?


統計上的獨立事件

如果事件 A 統計上獨立於事件 B 之外，則 P(A|B)=P(A)

上述的例子告訴我們，受訪者的族裔背景，會不會影響他們對人工流產的態度 ?


統計上獨立的兩個事件之間的機率關係 :

統計上獨立的兩個事件之間的機率關係 :

P(A∩B) = P(B) * P(A|B)

因為 A與 B 是獨立事件，所以P(A∩B) = P(B) * P(A)

兩邊同時除以 P(A)

這表示P(B|A) = P(B)

)(

)(

AP

BAP = P(B)


兩事件互為獨立時的關係

當事件 A 是獨立於事件 B 之外時，則事件 B 一定獨立於事件 A 之外 .


幾個重要公式

P(A∪ B) P(A∩ B)

一般公式 =P(A)+P(B) - P(A∩ B) =P(A)*P(B|A)

特例 =P(A)+P(B)

事件 A與 B是互斥

亦即

P(A∩ B) = 0

=P(A)* P(B)

事件 A與 B獨立

亦即

P(B|A)=P(B)


陸、貝氏定理

貝氏定理是估計一個事件發生的條件機率的方式，它使用事前機率導出事後機率。我們可以看一下以下的例子。公式是 :

)|()()|()(

)|()()|(

ERPEPERPEP

ERPEPREP

(4-4)


一群人不相同生日機率

大家生日皆不同的機率： Pn=exp((-n*(n-1))/730)

N 機率

10 0.884

20 0.594

30 0.304

40 0.118

50 0.035

60 0.008


柒、間斷與連續變數的機率分佈

間斷變數與連續變數之區別


一、間斷變數的機率分佈

表 4.1 家中理想子女數目的分佈

y P(y)

0 0.01

1 0.03

2 0.60

3 0.23

4 0.12

5 0.01

總計 1.00

P（ 4） =?


二、連續機率分佈圖

4. 2 圖通勤時間的機率分佈

0 15 30 45 60 75 90 105

通勤時間（分）

%


二、連續機率分佈

P（ y<10） =?

P(30<y<60)=?


機率分佈的母數 (parameter)

如果表 4.1 的機率分佈是母體值（母數），我們反覆抽樣的結果，會知道

家中理想子女數為 1 的機率是： P(y=1)=?

對機率的兩個重要的描述母數（參數）為1. 平均數2. 標準差


間斷變數的平均數計算方式

此一數值又稱為期望值，以 E(y) 表示

變異數計算公式

))()(()( 2 yPyyV

))(( yPy


捌、常態機率分佈

4. 3 圖常態分佈圖

μ -3σ μ -2σ μ -σ μ μ +σ μ +2σ μ +3σ


常態分佈的幾個特性

1.平均數、中位數與眾數是同值，而將常態曲線分成對稱的兩個部分，各佔總分布的一半。

2.分布是對稱的，一旦將本分布從中間對折，兩邊會彼此重疊。

3.分布的兩端 ( 尾巴 ) ，離平均數愈遠，會接近 X-軸，不過，不會接觸到 X-軸 ---總是會有發生的機率，不過，機率很低就是了。


常態分佈的幾個特性

當觀察值為常態分佈時，在平均數1. 正負一個標準差的區間之內，涵蓋了 68% 的所

有觀察值2. 正負兩個標準差的區間之內，包括了 95% 的所

有觀察值，3. 正負三個標準差的區間之內，包括了 99.7% 的

所有觀察值。


兩個常態分佈圖

圖4.4 男女身高常態分佈圖

50 55 60 65 70 75 80 85

英吋


運用常態分配表 (p.592)

Second Decimal Place of z

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641

1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379

1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455

1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233

2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183

3.0 .00135


運用常態分配表 (區域 C 的比例 )


運用常態分配表 (區域 C 的比例 )


找出以下區域的百分比

P（ -1.96<Z<1.96 ）

P （ Z<1.645 ）

P（ -3>Z ）


標準常態分佈

所有常態分佈，都可以轉換成標準常態分數。他的平均數是 0 ，標準差是 1 。我們可以先知道標準分數，然後找出比這個分數高 /低者，佔所有分布的比例另外一個是，我們知道一定的比例後，要找出這個標準化分數我們將標準常態分布的整個區域，定為 1 或是

100% ，一半就是 0.5 或是 50%


標準常態分佈圖

標準常態分布曲線圖

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


玖、樣本平均數的抽樣分佈

我們想知道每年家庭食品支出花費


食品支出的實例


食品支出的實例（ N=25）

MEAN25

MEAN25

次數

12

10

8

6

4

2

0

= 12501.24 標準差

= 130324.4平均數

N = 100.00


食品支出的實例（ N=100）


樣本數對抽樣分佈與精確度的影響一

4. 13 100 2705圖樣本數為與時的抽樣比例之抽樣分佈

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

n=2705

n=100


樣本數對抽樣分佈與精確度的影響二

N=30

N=50

N=100

N=1,000


標準誤 (standard error)

平均數抽樣分佈的標準差稱之

ny /


抽樣分佈：常態分佈與中央極限定理

在統計上有個中央極限定理，它的內容是：在樣本數足夠大的情況下，如果把這Ｋ個平均數排起來，它們會形成常態分布，而這些樣本平均數的平均數會等於 μ，這些樣本平均數的標準差會等於

nyyyyy n /)...( 321

n/


不同母體分佈的抽樣分佈

不論母體的原始分佈如何，當樣本數趨近無限大，樣本平均數的平均數分佈會趨近常態分佈。

樣本平均數抽樣分佈的標準誤母體平均數的左右三個標準誤內包含樣本平均數


拾、母體、樣本資料與樣本分佈母體分佈：據以抽樣的對象，通常是未知樣本分佈：可觀察的抽樣結果可計算樣本平均數與標準差樣本愈大，樣本平均數會愈接近母體平均數抽樣分佈：描述固定樣本數下，反覆抽樣下的樣本分佈情況

樣本數大小： n 30≧ 統計推論中抽樣分佈的關鍵角色


本章小結機率分佈：區間、總和、符號機率分佈的平均數、標準差常態分佈與標準常態分佈標準化分數抽樣分佈抽樣平均數的平均數分佈，也有標準差中央極限定理


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