Тема: Применения матриц в

экономике

Рахмонов Д.

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида:

называется матрицей размера m nЧисла, из которых составлена матрица, называются

элементами матрицы.Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным

индексом:первый i – номер строки;второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

 Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:

mnmjmm

inijii

nj

ni

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

21

21

222221

111211

,1 ;,1 ; )( njmiaA ij

МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО

СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

3 1 2 8 5 54 2 0 7 3 14

3 8 1 5 2 54 7 2 3 0 14

Пример

ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА, МОЖНО УМНОЖИТЬ НА

МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A

РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

Пример

4 2 0 4

8 8 7 27 8

5 6 1 5 6

3 1 2 3

1

1 27 2

2 8 7

22 0

42

146

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности.

Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в

каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записать в виде

матриц.

Пример №1

В некоторой отросли m заводов выпускают n типов продукции. Матрица Amxn- задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица Bmxn-соответственно во втором; (aij, bij) - объемы продукции j–го типа на i–м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

,

312514221732

A ,

425234142203

B

Найти:а) объемы продукции;б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если –курс доллара по отношению к самону.

Решение:

а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, т.е.

С=А+В = ,

737748363935

где сij=аij+bij–объем продукции j–го типа, произведенный за полугодие i–м заводом

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц:

D=B-A = ,

113320121531

Отрицательные элементы dij показывают, что в данной заводе i объем производства j–го продукта уменьшился;Положительные dij–увеличился;Нулевые dij–не изменился

в) Произведение дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию:

)( BAC

737748363935

737748363935

5

C

Пример №2Предприятие производит n

типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей

A1xn. Цена реализации единицы i-го типа

продукции в j-м регионе задана матрицей Bnxk, где k-число регионов, в которых

реализуется продукцияНайти C-матрицу выручки по регионам.

424222315132

43xBA1x3 =(100, 200, 100);

•Дано:

Р Е Ш Е Н И Я

Выручка определяется матрицей C1xk = A1xn x Bnxn

причем – это выручка предприятия в j–м регионе:

n

iijijij baС

1

).1300,700,1300,600(425

221

433

212

)100,200,100(

С