廿一世紀廿一世紀的的數學數學展望展望

丘成桐教授丘成桐教授浙江大学浙江大学哈佛大学哈佛大学

二零零四年六月二十五日二零零四年六月二十五日

數學

社會現象 工程現象 物理現象

社會現象

經濟金融保險估值

病歷調查生物統計調查

都市規劃人口流動人口調查民意調查

文 獻 整理 歷 史研究

訊 息 科學 網 絡科學

工程現象

計算機科學，圖像識別，密碼問題

半導体，量子工程學，分子結構

固体科學

軟体結構

材料力學

結構理論

地質結構

流体科學

血液流問題

氣象科學

Fusion 熱力學

油管科學

航空，航

天

湍流問題

海洋

大氣

太空

物理現象

弦理論

量子多体問題

多体問題

古典力學

電磁理論

廣義相對論

量子力學

量子場論

基本粒子

統一場論

數學和工程科學乃是社會科學的基礎數學和工程科學乃是社會科學的基礎

理論物理乃是工程科學的基礎理論物理乃是工程科學的基礎

數學乃是理論物理的基礎數學乃是理論物理的基礎

人類科技愈進步愈能發現新現象人類科技愈進步愈能發現新現象種種繁複現象使人極度迷惘種種繁複現象使人極度迷惘(( 例如：湍流問題例如：湍流問題、、黑洞問題黑洞問題 ))但是主宰所有現象變化但是主宰所有現象變化的的只是幾個小數的基只是幾個小數的基本定律。本定律。Standard model (Standard model ( 標準模型標準模型 ))統一了三個基本場統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力：電磁場、弱力、強力但是但是重力場和這三個場還未統一重力場和這三個場還未統一

重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和和牛頓力學的統一理論而形成的牛頓力學的統一理論而形成的。。

這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作。。

愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是

其中 其中 ggijij 是測度張量是測度張量（引力場）（引力場） TTijij 是物質張量是物質張量 RRijij 是是 RicciRicci 曲率張量曲率張量

2ij ij ijR

R g T

弦理論企圖統一重力場和其他所有場。弦理論企圖統一重力場和其他所有場。

在廿一世紀，基本數學會遇到同樣的挑戰：在廿一世紀，基本數學會遇到同樣的挑戰：

基本數學的大統一，只有在各門分支大統一基本數學的大統一，只有在各門分支大統一時，所有分支才會放出燦爛的火花。時，所有分支才會放出燦爛的火花。

每一門學問才每一門學問才會會得得到到本質上的瞭解。本質上的瞭解。

數學的大統一將會比物理的大統一來得基數學的大統一將會比物理的大統一來得基本本，，也將由統一場論孕育而出。也將由統一場論孕育而出。近代弦論的發展已經成功的將近代弦論的發展已經成功的將微分幾何微分幾何代數幾何代數幾何群表示理論群表示理論數論數論拓樸學拓樸學相當重要相當重要的的部份統一起來。數學已經由此得部份統一起來。數學已經由此得到豐富的果實。到豐富的果實。

大自然提供了極為重要的數學模型，以大自然提供了極為重要的數學模型，以上很多模型都是從上很多模型都是從物理直覺或從物理直覺或從實驗觀察出實驗觀察出來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在觀察的基礎上創造新的結構。觀察的基礎上創造新的結構。 成功的新的數學結構往往是幾代數學家成功的新的數學結構往往是幾代數學家的共同努力得出的成果，也往往是數學中幾的共同努力得出的成果，也往往是數學中幾個不同分支合併出來的火花。個不同分支合併出來的火花。 Andrew Wiles Andrew Wiles 的工作是的工作是 Elliptic curve Elliptic curve

和和AAutomorphic form, Representation utomorphic form, Representation

theory theory 的的大合併。大合併。

幾何和數字幾何和數字 (( 尤其是整數尤其是整數 )) 可說是數學裏可說是數學裏最最

直觀的直觀的對象，對象， 因此在大統一中起因此在大統一中起着着最要緊的最要緊的作用。作用。 廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法已經將整數方程的一部份與幾何已經將整數方程的一部份與幾何結合結合 ，群表，群表示理論亦逐漸與數論和幾何學示理論亦逐漸與數論和幾何學結合結合 。。 每次進步都有結構性的變化每次進步都有結構性的變化 , , 例如算術幾例如算術幾何的產生。何的產生。

在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究非懂幾何不三維空間和四維空間的研究非懂幾何不可。可。 Thurston Thurston 的猜測，是在三維空間上引的猜測，是在三維空間上引

用用幾何結構，這些創作新結構的理論有劃時代幾何結構，這些創作新結構的理論有劃時代的重要性，正等如十九世紀引用的重要性，正等如十九世紀引用 Rieman Rieman

surfacesurface 的概念一樣重要。的概念一樣重要。

分析和幾何亦逐漸融合，到目前為止，分析和幾何亦逐漸融合，到目前為止，微分方程在複幾何微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出的貢和拓撲學上有傑出的貢獻獻。。通過分析方法，陳氏類，通過分析方法，陳氏類， HodgeHodge 理論，理論，Atiyah-SingerAtiyah-Singer 指標定理和我們在復流型上搆指標定理和我們在復流型上搆造的造的 Kahler-EinsteinKahler-Einstein 度量，在代數幾何中解決度量，在代數幾何中解決了重要的問題。最近了重要的問題。最近 HamiltonHamilton 的的 Ricci FlowRicci Flow 通通過過 PerelmanPerelman 的工作可能解決的工作可能解決 ThurstonThurston 的猜的猜想。想。

在四維空間上，在四維空間上， DonaldsonDonaldson 利用利用 TaubesTaubes ，，UhlenbeckUhlenbeck 的規範場上的存在性定理得到四維的規範場上的存在性定理得到四維拓撲的突破。拓撲的突破。 上述工作和上述工作和 Donaldson-Uhlenbeck-YauDonaldson-Uhlenbeck-Yau

在在 Yang-MillsYang-Mills 的工作都與弦理論息息相關。的工作都與弦理論息息相關。 事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入的暸解。入的暸解。

在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。

我们希望我们希望 HodgeHodge 猜测会得到圆满的解决，猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子从而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流型来表示。同样的问题也适用于流型来表示。同样的问题也适用于 Vector burVector burdledle 上。由弦理 论得到的启示，有些特殊的子流上。由弦理 论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代数流型。形或可代替代数流型。

現在舉一個理論物理，數學和 應用科學現在舉一個理論物理，數學和 應用科學上的共同而重要的問題：上的共同而重要的問題： 基本物理上的基本物理上的HierachyHierachy 問題，是一個問題，是一個 ScaleScale 的問題的問題。。 引力場和其他力場的引力場和其他力場的 ScaleScale 相差極遠，相差極遠，如何統一，如何解釋？如何統一，如何解釋？ 在古典物理，微分方程，微分幾何和各在古典物理，微分方程，微分幾何和各類分析中亦有不同類分析中亦有不同 ScaleScale 如何融合的問題。如何融合的問題。 在統計物理和高能物理中，用到所謂在統計物理和高能物理中，用到所謂renormalization grouprenormalization group 的方法，是非穩定的方法，是非穩定系統的一個重要工具。系統的一個重要工具。

如何如何用用基本的方法去處理不同基本的方法去處理不同 Scale Scale 是應是應用數學中一個重要問題用數學中一個重要問題。。

純數學將會是純數學將會是處理不同度量的處理不同度量的 主要工主要工具具。。而而事實上，事實上，純數學純數學本身本身亦有亦有不同度量的不同度量的問題問題。。

在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在研究漸近分析時，在研究漸近分析時， Blowing upBlowing up 分析是一個分析是一個很重要的工具很重要的工具，而這種，而這種 Blowing upBlowing up 的工具亦的工具亦是代數幾何中最有效的工具。是代數幾何中最有效的工具。

在非綫性微分方程中，我們 需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們 需要更進一步的做定性和定量的分析 來研究由性和定量的分析 來研究由 Blowing upBlowing up 得出来的結得出来的結果，因此對不同果，因此對不同 scalescale 的量得到 進一步的認識。的量得到 進一步的認識。 微分幾何的張量分析 微分幾何的張量分析 (( 曲率張量曲率張量 ) ) 在在 multiscalemultiscale

分分析中應該會有重要的應用析中應該會有重要的應用，因為即使在同一點上，有，因為即使在同一點上，有不同方向的變化，而此種變化亦應當受到不同方向的變化，而此種變化亦應當受到 scalescale 的影的影响。响。 當一個圖 當一個圖 (graph)(graph) 逼近一個幾何圖形或微分方程逼近一個幾何圖形或微分方程的解時，的解時， multiscalemultiscale 分析極為重要，如何解決這些問分析極為重要，如何解決這些問題無論在純數學和應用數學都是重要題無論在純數學和應用數學都是重要的的問題問題，我希望，我希望研究離散數學的學者亦注意到這一點。研究離散數學的學者亦注意到這一點。

近代弦論發現有不同的量子場論可以互相近代弦論發現有不同的量子場論可以互相同構 同構 ((isomorphicisomorphic) ) 然而然而 scale scale 剛好相反剛好相反

因此一個強 因此一個強 Coupling ConstantCoupling Constant 的理論可的理論可以同另一個弱以同另一個弱 Coupling ConstantCoupling Constant 的理論的理論同構，而後者可以從漸近分析理論來計同構，而後者可以從漸近分析理論來計算。算。

1R

R

由於由於 RR →→ 這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構，使得我們可以用擾動性（構，使得我們可以用擾動性（ perturbation perturbation analysisanalysis）的方法去計算非擾動的場論，在數學）的方法去計算非擾動的場論，在數學上得到驚人的結果。上得到驚人的結果。

更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。現象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。

1

R

約在兩百年前，約在兩百年前， GaussGauss 發現發現 GaussGauss 曲曲率的觀念而理解到率的觀念而理解到內蘊幾何內蘊幾何時，就感歎到空間時，就感歎到空間的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的關係。切的關係。

這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著基這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未發現本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確實存在，但如何看待超對稱在現實時空中的殘實存在，但如何看待超對稱在現實時空中的殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一個餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一個重要命題。重要命題。

舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論味著這種日常能見的場論可以用可以用不同的手法來處不同的手法來處理？理？

種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂逐漸會與算術幾何接近。在所謂 ArakeloArakelovv理論理論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要考中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微為慮特微為 pp 的代數空間，才能夠對算術空間有完的代數空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此观之，数论上的界的問題？由此观之，数论上的 LL 函数和函数和 Birch-Birch-Swinnerton-DyerSwinnerton-Dyer猜测有没有其他解释？猜测有没有其他解释？

现在用一个简单的例子来解释上述现在用一个简单的例子来解释上述 dualityduality 的的现象现象。。

例子：例子：

LaplaceLaplace 算子 算子

我們要求 在 上定義，我們要求 在 上定義，

n nn

RTorus TZ

2

2i ix

2exp 1 , exp 1 ,x l l x l

exp 1 ,x l nT, 2nl Z l l Z

ZZnn 是一個 是一個 latticelattice RRnn

而 而 ll 必定要在這個必定要在這個 lattice lattice 的對偶中 的對偶中 (Z(Znn)*)*

的對偶是的對偶是

這個對偶在弦論中這個對偶在弦論中起相當重起相當重要的作用。要的作用。

在 在 FourierFourier 分析和數論中也已得重要的發分析和數論中也已得重要的發揮揮。。

*, 2n

n

l Z l l Z

l Z

n nn

R TZ

*

n

nR

Z

Δ Δ 在 在 LL22(T)(T) 上的譜 上的譜 (Spectrum)(Spectrum) 是 是

它的譜分解全部可以算出它的譜分解全部可以算出

如果 如果 ff ：： R R R R

則則 如果我們有辦法用分析方法算出 如果我們有辦法用分析方法算出 f(Δ)f(Δ) ，則可，則可以得到 以得到 tracetrace formulaformula

*2: nl l Z

2

nl Z

trf f l

舉例來說 舉例來說 ff((xx) = ) = expexp((txtx))

expexp((tΔtΔ) ) 的核函數可以算出為的核函數可以算出為

因此因此

2

2

exp exp4

nnn

n

l Zy T

x y lCt h x h y dy

tt

2

2

exp exp4

nn

nn

l Z

lCtr t Vol T

tt

Poisson formulaPoisson formula ：：

數論上的基本 公式！數論上的基本 公式！

Trace formulaTrace formula Automorphic form Automorphic form

群表示理論群表示理論 , , 數論數論

2

22

exp exp4

nn n

nn

l Z l Z

lCVol T t l

tt

這個這個 TorusTorus 的對偶正是弦理論對偶的基的對偶正是弦理論對偶的基礎，現代數論的一個最重要的環節叫礎，現代數論的一個最重要的環節叫LanglaLanglannddss 理論，也有對偶的問題，理論，也有對偶的問題，與代與代

數幾何和表示理論有密切的關係。希望數幾何和表示理論有密切的關係。希望能夠與這一系列的想法也掛能夠與這一系列的想法也掛鈎鈎。。

Symmetry (Symmetry ( 對稱對稱 ))

群的觀念群的觀念小群：小群：如鏡對稱如鏡對稱

如雪花的對稱如雪花的對稱

連續群 連續群 (( 李群李群 ) ) ：：物理上用途物理上用途非緊離散群： 非緊離散群： 在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途

無限維對稱：無限維對稱： 規範場中的規範群規範場中的規範群

種種不同對稱的觀唸種種不同對稱的觀唸在廿世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢獻獻。。

DulalityDulality 比 比 Symmetry Symmetry 更廣義，不同理論的基本同構將是更廣義，不同理論的基本同構將是廿廿

一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題。。

對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具，，但是 但是 運用之妙運用之妙

存乎一心存乎一心在于作者的經驗和直觀。在于作者的經驗和直觀。 廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的物理基本現象物理基本現象與與非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？

Symmetry breakingSymmetry breaking眾生色相眾生色相

何由而生？何由而生？

基本的物理定律是基本的物理定律是 Time SymmetricTime Symmetric 的，為何的，為何我我們擔憂時光消逝？們擔憂時光消逝？因为直觀世界是因为直觀世界是 Time SymmetricTime Symmetric的。由的。由 TimeTime SymmetricSymmetric 的定律來解釋直觀世界是的定律來解釋直觀世界是

現現代數學和物理的一個重要問題。代數學和物理的一個重要問題。

熱力熱力第二第二基本定理說基本定理說Randomness Randomness 隨時間而增隨時間而增

Entropy increase with timeEntropy increase with time 這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。瞭解。 時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目。目。 Roger Penrose Roger Penrose 和 和 HawkingHawking 都花了很多時都花了很多時

間討間討論。論。這是因為這是因為 EinsteinEinstein 方程對時間來說是對稱的，然方程對時間來說是對稱的，然而在現實世界，時間是不對稱的。而在現實世界，時間是不對稱的。 熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起了了極重極重要的作用。要的作用。

湍流的問題，將是其中一個例子。湍流的問題，將是其中一個例子。 流体力学中的奇异点和流体力学中的奇异点和 boundaryboundary l layerayer 都需都需

要要大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解释。 释。 在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。

但往往在澈底研究這種等式以前，不等式但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産會産生，同時生，同時起起着着無比的重要性。無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。

SupSupeerporposisititionon 是線性方程的特微，是線性方程的特微，

在研究非線性在研究非線性 integrableintegrable 方程時，也由非方程時，也由非

線性的線性的 SupSupeerporposisitiontion ，一般而言，我們，一般而言，我們

有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個

重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研

究物件。究物件。

由由 StationaryStationary 的物理現象到的物理現象到 DynamiDynamicalcal 的物理現象，我們會遇到極為困扰而又的物理現象，我們會遇到極為困扰而又刺激的數學問題。在方程的 觀點來說，橢刺激的數學問題。在方程的 觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度睏難的奇異點處理問題，的方程組，有極度睏難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題， 既要研究估在物理上有震波的處理問題， 既要研究估值，又要研究物理意義， 又希望大型計算值，又要研究物理意義， 又希望大型計算機能 夠幫忙。機能 夠幫忙。

高維空間的 非綫性波和各種物理幾何高維空間的 非綫性波和各種物理幾何的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有 震波現象，多種粒中有孤立子的現象，有 震波現象，多種粒子在 非綫性的互動時得出的宏觀現象，方子在 非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。的重要題目。

很多古典的方法或近代物理的方法 應當很多古典的方法或近代物理的方法 應當可以應用到離散問題上 去。大型的網絡極可以應用到離散問題上 去。大型的網絡極為復雜，如何有傚的傳播訊息，如何尋找為復雜，如何有傚的傳播訊息，如何尋找資料，提供暸數學極有意義的問題。資料，提供暸數學極有意義的問題。

圖像 處理和計算幾何更是一 個電腦、圖像 處理和計算幾何更是一 個電腦、幾何、組合數學結合的 好地方，在 醫學上幾何、組合數學結合的 好地方，在 醫學上有重要的貢獻，自動控製論和上述 種種應有重要的貢獻，自動控製論和上述 種種應用都會結合，要得到最有 傚的用途需要數用都會結合，要得到最有 傚的用途需要數學傢密切合作。學傢密切合作。

在某種意義下，基本的方程式或基本的在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式表達出來時，是用等物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。式來表達。

但往往在澈底研究這種等式以前，不等但往往在澈底研究這種等式以前，不等式式會産生，同時會産生，同時起起着着無比的重要性。無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一切分析和應用數學的精華。式。也是一切分析和應用數學的精華。

研究研究應用數學應用數學的方法的方法

Modeling實驗

數字計算，統計

物理應用需要

分析純數學，方程，統計

物理，化學，生物

理論

應用

當微分方程和幾何和組合數學，真正大當微分方程和幾何和組合數學，真正大統一時，應用數學會有大進步。統一時，應用數學會有大進步。 有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解不同的數學分枝。不同的數學分枝。

數學在工業上的應用

工業問題，科學 觀察實驗

統計，分析 處理

理論， 模型計算，程 序

應用

預測 控制 優化 仿真 設計

單靠程序和計算的數學即使有短暫的生單靠程序和計算的數學即使有短暫的生長力量，不會有深遠的影長力量，不會有深遠的影响响。。

如何解釋由計算得出來的現象，如何與如何解釋由計算得出來的現象，如何與物理和工程的現象物理和工程的現象相相吻合，如何利用計算結吻合，如何利用計算結果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。因此理想的應用數學家，應該有數學家的根因此理想的應用數學家，應該有數學家的根基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。

數學提供應用數學幾個重要工具數學提供應用數學幾個重要工具

概率，隨機分析概率，隨機分析組合理論組合理論代數代數 (Coding(Coding 理論理論 ))幾何幾何 (( 圖像處理，壓縮圖像處理，壓縮 ))

分析

微分方程

調和分析， Fourier 分析

小波分析

動力系統

由於應用科學的產生，所有連續性的數由於應用科學的產生，所有連續性的數學理論或存在性定理，都有定量的逼近問學理論或存在性定理，都有定量的逼近問題，因此產生很多有意義的新的數學。題，因此產生很多有意義的新的數學。

物理，生物，化學，工程將會提供大量物理，生物，化學，工程將會提供大量有意義的問題和新的觀念。有意義的問題和新的觀念。 好的應用數學家需要融合各種的科學，好的應用數學家需要融合各種的科學，經費不是唯一的問題！經費不是唯一的問題！

七零年代， 應用數學家堅持分家，這是七零年代， 應用數學家堅持分家，這是由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所致的毛病。致的毛病。分家的結果：分家的結果：11 、、數學家比較注重純科學的命題，尤其理論數學家比較注重純科學的命題，尤其理論

物理提供了豐富的題材和方法，給予數學物理提供了豐富的題材和方法，給予數學新的生命，雖然搞分析數學和組合數學的新的生命，雖然搞分析數學和組合數學的教授也接觸應用數學，但是接觸並非全面教授也接觸應用數學，但是接觸並非全面性的，用時往往缺乏應用能力，性的，用時往往缺乏應用能力，相相反交流反交流也不多。也不多。

在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都是一流的數學家是一流的數學家

Von NeumannVon Neumann C. C. C. C. LinLin

CourantCourant FederichFederich StokerStoker Glim Glimmm

LaxLax Keller Keller

MoserMoser

主要發展應用數學的美主要發展應用數學的美，，研究所為研究所為

Courant InstututeCourant Instutute M. I. T.M. I. T. Caltech.Caltech. StanfordStanford BerkeleyBerkeley ，， YaleYale

22 、、應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳統的數學訓練是不必要的。 在工業 統的數學訓練是不必要的。 在工業 ﹝﹝尤尤其是電腦工業其是電腦工業﹞﹞和金融企業的引誘下，急和金融企業的引誘下，急進猛追，結果優秀的學生捨本逐利，年青進猛追，結果優秀的學生捨本逐利，年青的應用數學隊伍很難建立起來。的應用數學隊伍很難建立起來。

分析分析微分方程微分方程

數學數學 幾何 幾何代數幾何代數幾何數論數論組合數學組合數學統計統計

統計物理統計物理物理學物理學 古典力學 古典力學

量子物理量子物理 廣義相對論廣義相對論

計算數學計算數學 工業界的顧問工業界的顧問

時空統一頌時空統一頌時乎時乎時乎時乎 逝何如此逝何如此物乎物乎物乎物乎 繁何如斯繁何如斯弱水三千弱水三千 豈非同源豈非同源時空一体時空一体 心物互存心物互存時兮時兮時兮時兮 時不再嶼時不再嶼天兮天兮天兮天兮 天何多容天何多容亙古恒遷亙古恒遷 黑洞融融黑洞融融時空一体時空一体 其無盡耶其無盡耶大哉大哉大哉大哉 宇宙之謎宇宙之謎美哉美哉美哉美哉 真理之源真理之源時空量化時空量化 智者無何智者無何管測大塊管測大塊 學也洋洋學也洋洋

Thank You Thank You All!All!