Розміщення коренів квадратного тричлена

Властивості квадратного тричлена та їх геометрична

графічна інтерпретація

Основна мета:

Узагальнити і систематизувати знання учнів про кількість розв’язків квадратного рівняння;

Ознайомити учнів із дослідженням кількості розв’язків квадратного рівняння залежно від значення параметра;

Показати застосування теореми Вієта в задачах з параметрами.

Учні повинні вміти:

Проводити дослідження кількості коренів квадратного рівняння залежно від параметра;

Застосовувати теорему Вієта в задачах з параметрами.

Розглянемо розміщення коренів квадратного тричлена

ax2+bx+c в залежності від значень параметра

В залежності від параметра а:

Якщо a>0

х1 х2х

D>0D>0 D<0 D=0D=0

В залежності від параметра а:

Якщо a<0

х1 х2

D>0 D<0 D=0

В залежності від параметра а:

Якщо a=0, то квадратне рівняння ax2+bx+c=0 перетворюється на лінійне bx+c=0.

Корінь рівняння bx+c=0,

x=-c/b

Висновок

Отже, дослідження квадратного тричлена розпочинаємо з аналізу старшого коефіцієнта.

Якщо старший коефіцієнт не дорівнює 0, то аналізуємо значення дискримінанту.

Теорема Вієта

Для розв’язування завдань на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметром зручно користуватися теоремою Вієта. При цьому не знаходити корені квадратного рівняння, а лише аналізувати значення дискримінанту.

ax2+bx+c=0, якщо D>0, то

x1+x2= - b/a

x1·x2= c/a

Розв’яжіть рівняння

abx2+(a2-b2)x+(a-b)2=0;

Основні кроки: а=0, b=0 а=0, b≠0 а≠0, b=0 а≠0, b≠0 a=b a≠b

abx2+(a2-b2)x+(a-b)2=0

а=0, b=0, xR а=0, b≠0, -b2x+b2=0, x=1 а≠0, b=0, a2x+a2=0, x=-1 а≠0, b≠0, D= (a-b)4

a=b, D=0, x=0 a≠b, x1=(b-a)/a, x2=(b-a)/b.

Завдання для самостійного розв’язування: При яких а рівняння ax2+(a-2)x-2=0 має один

корінь? При яких значеннях а сума коренів

квадратного рівняння x2+(a2+2а-3)x+a=0 дорівнює 0?

Корені x1, x2 квадратного рівняння

x2-(2a-13)x+а-5=0 задовольняють рівняння

. Знайдіть а.axx 21

При яких а рівняння ax2+(a-2)x-2=0 має один корінь?Якщо а=0, то х=-1.

Якщо а≠0, то рівняння матиме один корінь при умові D=0.

D=(a+2)2=0;

a=-2;

Відповідь: при а=0, а=-2 рівняння має один корінь

При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння

x2+(a2+2а-3)x+a=0 дорівнює 0?

За теоремою Вієта x1+x2=-(a2+2a-3),

a2+2a-3=0,

a1=-3, a2=1.

З врахуванням значення дискримінанта

D=(a2+2a-3)2-4a≥0 маємо значення а=-3.

Відповідь: а=-3.

Корені x1, x2 квадратного рівнянняx2-(2a-13)x+а-5=0 задовольняють рівнянняЗнайдіть а.

axx 21

axx 21

За теоремою Вієта x1+x2=2a-13, x1·x2=a-5 Оскільки, , то .Підставимо , розв’яжемо рівняння відносно параметра а.а1=21, а2=9Значення а=21 не задовольняє умову завдання. Отже, а=9, тоді х1=1, х2=4.Відповідь: а=9.

axxxx 2121 2

aaa 52132

Домашнє завдання на вибір

При яких а обидва корені рівняння

(a-2)x2-2аx-а+3=0 додатні? При яких m корені рівняння

(m-2)x2-3(m+2)x+6m=0 мають різні знаки?