Ｋ中間子原子核　－今そこにある課題－

Ｋ中間子原子核　－今そこにある課題－

土手昭伸　（ＫＥＫ）

現状のレビュー

簡単な模型を用いた ppK- の計算• Simple Correlated Model• Test on two nucleons system• Result of ppK-

まとめ

K 中間子原子核レビュー

岡さんからのメール…

… （略）…

そこで、土手さんには、 2 日の午後に K －原子核のセッションで、

（１）　ご自分のこれまでの仕事をレビューしながら、（２）　 K －原子核では、どういう点が重要で、（３）　どこまでが、これまでに明らかになり、（４）　どの点が依然として未解決のままであるか、（５）　また、これらの未解決点を土手さんとしては、　　　　どのように解決しようと思っているのか、

というような点に焦点をあててトークをしていただきたいのです。

… （略）…

Deeply bound; Binding energy of K- > 100 MeVDiscrete state; Below Σπ threshold

Very attractive I=0 KN interaction makes …

... Deeply bound kaonic nuclei

1. free KN scattering data2. 1s level shift of kaonic hydrogen atom3. binding energy and width of Λ(1405)

Phenomenological KN potential (AY KN potential)

Strongly attractive.

0KN

IV 0KN

IV

Y. Akaishi and T. Yamazaki, PRC 52 (2002) 044005

= K- + proton

Akaishi-san and Yamazaki-san’s study

（１）　自分のこれまでの仕事のレビュー

According to the study with

Antisymmetrized Molecular Dynamics

+ G-matrix

+ Phenomenological KN interaction

Kaonic nuclei has interesting properties…

Collaboration withAkaishi-san and Yamazaki-san

Collaboration withAkaishi-san and Yamazaki-san

Total system is treated in a fully microscopic way.

NN repulsive core is adequately smoothed out by following conventional nuclear physics.

Strongly attractive, especially in I=0 channel

AMD + G-matrix + AY KN interaction studies revealed …

A. D., H. Horiuchi, Y. Akaishi and T. Yamazaki, PLB 590 (2004) 51; PRC 70 (2004) 044313.

1. E(K) > 100 MeV for various light nuclei

2. Drastic change of the structure of 8Be, isovector deformation in 8BeK-

3. Highly dense state is formed in K nuclei. maximum density > 4ρ0

averaged density 2 ～ 4ρ0

4. Proton satellite in pppK-

Rrms = 2.46 fmβ = 0.63

Central density = 0.10 /fm^3

8Be

Density (/fm^3) 0.0 0.10 0.20

-160.0

-140.0

-120.0

-100.0

-80.0

-60.0

-40.0

-20.0

0.0ppnK pppK pppnK 6BeK 8BeK 9BK

E(K)

[M

eV]

Nucleus-K- 　 threshold

Σπ threshold

(simple AMD)

Width (Σπ, Λπ)

Rrms = 1.42 fmβ = 0.55

Central density = 0.76 /fm^3

8BeK-

Density (/fm^3) 0.0 0.41 0.83

4.5 normal density

Binding energy of K- = 104 MeV

（２）　Ｋ－原子核では、どういう点が重要

☆ Strongly attractive I=0 KN interaction

Lots of interesting phenomena!

Decay modeKN→πY

KNN→YN

Decay modeKN→πY

KNN→YN

NN repulsive core

NN repulsive core

Dense system

（３）　どこまでが、これまでに明らかに

KN interaction が非常に引力的なら、高密度の方向へ行きそう。 KN interaction が非常に引力的なら、高密度の方向へ行きそう。

RMF 計算、 NL-SH を使用 J. Mares, E. Friedman and A. Gal, Nucl. Phys. A770, 84 (2006)

40Ca のような大きな原子核でも、非常に Kaon が深く束縛する場合、最大密度は２ ρ ０に達する。局所的に密度が高くなる。

（３）　どこまでが、これまでに明らかに

ppK- “Prototype of K cluster” の計算 ppK- “Prototype of K cluster” の計算

Total B. E. ΓFaddeev

(KNN-π Σ N) 55 70 MeV～ 95 110 MeV～ N. V. Shevchenko,A. Gal and J . Mares

arXiv: nucl- th/ 0610022

Faddeev(KNN-π Σ N) 59 MeV 32 MeV Y. Ikeda and T. Sato

YKIS '06

ATMS 48 MeV 61 MeV T. Yamazaki and Y. Akaishi

Phys. Lett. B535, 70 (2002)

AMD < 53 MeV 100 MeV～ A. Dote and W. WeiseHYP '06 proceedings

(arXiv: nucl- th/ 0701050)

ppK- の全束縛エネルギー50 ～ 70 MeV

ppK- の全束縛エネルギー50 ～ 70 MeV

（４）　どの点が依然として未解決のままであるか高密度状態？

KN 相互作用が非常に引力的

我々（土手・赤石・山崎）は

　　　 Conventional な核物理の方法＝ G-matrix 法

に基づき、適切に NN 斥力芯を処理し計算を行った。その結果、高密度状態が得られた。

G-matrix 法の適用限界を超えていたのでは？斥力芯がなまされすぎた結果の高密度状態？

Kaon の近くに核子が引き寄せられ、高密度状態が形成される可能性

平均二核子間距離が小さくなり、核子間斥力芯が重要に。

（４）　どの点が依然として未解決のままであるか

Decay width ？

深く束縛し、主崩壊チャネルである Σπ が閉じても、

　　　 KNN→YN (Non-mesonic decay, 二核子吸収 )

がある。その効果は　　　　に比例。もし高密度状態だと…　　　　　　　　　　　　　　　　　少数系でもその効果は同様なのか？

2

RMF 計算、 NL-SH を使用 (Pb は L-HS)J. Mares, E. Friedman and A. Gal, Nucl. Phys. A770, 84 (2006)

BK >100 MeV では全崩壊幅　 Γ ～ 50 MeV

参考


“Effective” KN potential の作り方

• Weise 流　（現在、土手が使ってるもの）：　自由空間での散乱振幅に基づく　　　　　　　　Ｔ行列

+ … + + … …

• 赤石さん流　（前に、土手が使ったもの）：　原子核中であることを核子の方は考慮　　　　　Ｇ行列

+ … + + … …

Pauli blocking, 一粒子エネルギー

• Oset 流　（多分、土手が使わないもの）：　中間状態の kaon の媒質効果も考慮

+ … + + … …M. Lutz, Phys. Lett. B426, 12 (1998)

Strongly attractive

Weakly attractive

Strongly attractive


“Effective” KN potential の作り方

• Oset 流　（多分、土手が使わないもの）：　中間状態の kaon の媒質効果も考慮

+ … + + … …M. Lutz, Phys. Lett. B426, 12 (1998)

Weakly attractive

僕ら（土手、 Weise 、多分赤石さんも）の疑問僕ら（土手、 Weise 、多分赤石さんも）の疑問

核物質や大きい原子核なら、中間状態の kaon が媒質効果を受けるのは正しいだろう。

しかし ppK- のような非常に少数系でも重要なの？傍にいる一つの proton が媒質の働きをするの？

（４）　どの点が依然として未解決のままであるか様々な実験結果

ppnK- (T=0)B.E. = 169 MeV

Γ < 25 MeV


Γ < 25 MeV

4He (stopped K-, n) ppnK-

M. Iwasaki et al. @ KEK

Invariant mass of p and ΛH. Fujioka et al. @ FINUDA

ppK-

B.E. = 116 MeVΓ = 67 MeV

ppK-

B.E. = 116 MeVΓ = 67 MeV

Heavy ion collision

N. Herrmann et al. @ GSI

ppnK-

B.E. = 150 MeVΓ ～ 100MeV

ppnK-

B.E. = 150 MeVΓ ～ 100MeV

16O (in-flight K-, n) 15OK-

T.Kishimoto et al. @ BNL

15OK-

B(K) = 90 MeV

15OK-

B(K) = 90 MeV

（４）　どの点が依然として未解決のままであるか様々な実験結果 Invariant mass of p and Λ

H. Fujioka et al. @ FINUDA

ppK-

B.E. = 116 MeVΓ = 67 MeV

ppK-

B.E. = 116 MeVΓ = 67 MeV

Heavy ion collision

N. Herrmann et al. @ GSI

ppnK-

B.E. = 150 MeVΓ ～ 100MeV

ppnK-

B.E. = 150 MeVΓ ～ 100MeV

16O (in-flight K-, n) 15OK-

T.Kishimoto et al. @ BNL

15OK-

B(K) = 90 MeV

15OK-

B(K) = 90 MeV


Γ < 25 MeV


Γ < 25 MeV

4He (stopped K-, n) ppnK-

M. Iwasaki et al. @ KEK

追試で確認されず。

Very preliminary

批判 Final state interaction?　 K-pN→ΛN による Λ 若しくはＮが　娘核と相互作用して作られた。　　　 V. K. Magas, E. Oset, A. Ramos and H. Toki, 　　　 PRC74, 025206 (2006)

6Li target では 6Li 中の deuteron cluster に　 K- が吸収された結果。　　　 M. Agnello et. al., NPA775, 35 (2006)

（５）　これらの未解決点をどのように解決？

•　高密度状態？

　　 G-matrix を経由せず、斥力芯を直接扱う。　　　　少数系なら厳密計算、ＡＭＤでやるなら Unitary correlator の使用か？

•　二核子吸収について

　　少数系は密度分布は一様でなく、構造を持つことが多い。　　系がコンパクトであっても大きくならない可能性はないか？

Nucleon Kaon

3fm

ppK-

T. Neff and H. Feldmeier, Nucl. Phys. A713, 311 (2003)

（５）　これらの未解決点をどのように解決？

•　 KN potential の作り方

　　“少数系の K 中間子原子核でも、　　　中間状態の kaon の変化を考慮しなければならないのか？”

　実験で深く束縛した少数系の K 中間子原子核が見つかればいいのだが…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（すみません、答えになってません。）

反応の観点からの研究反応の観点からの研究スペクトルの計算　…　比連崎さん、山縣さん（奈良女）　　　　　　　　　　　　　　　小池さん（理研）

（ 6 ）　重要なこと

•　クォークレベルからの Λ （１４０５）の研究

　　　　　　　　竹内さん（日本社会事業大）、根村さん（理研）

•　 Λ （１４０５）がダブルポール

　　　　　　　　慈道さん（基研）

•　違った描像でのＫ中間子原子核の研究

•Λ ＊原子核　…　岡さん、安井さん（東工大）•スキルム模型による ppK- の研究　…　西川さん（東工大）、近藤さん（国学院）

•　 Kaonic 3,4Helium atom 2p レベルのシフト

　　　　　　　　早野さん（東大）、竜野さん（東大）、板橋さん（理研）

簡単な模型を用いた ppK- の計算

Collaborating with W. Weise (TU Munich)

赤石さん、ありがとう。

1. Simple Correlated Model

1/ 21 2 1 1/ 2, 1/ 2, , 0

NSCM K T T Tz

N r r r S NN K

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1 2 1 2 1 2 1 2, , , ' ' , ' ,K K K Kr r r G r G r F r r G r F r r F r r IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Model wave function of ppK-

Spin w. f. (NN) Isospin w. f.Spatial part

Normalizationfactor

2

2

exp

' exp

i i

K K

G r r

G r r

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


2

1 2 1 2, 1 exp

' , 1

NN NNn n

n

i K

F r r f r r

F r r

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


Detail of the spatial part

NN correlation functionNN correlation function

In this model, I assume only one configuration; total nucleon’s spin S=0 and total nucleon isospin TN=1. Other configurations are ignored. Therefore, this model is very simple.

Single particle motion of nucleons and kaon is described with a single Gaussian, G(ri) and G’(rK), respectively.Two nucleons’ wave functions are assumed to be the same G(r i).

The NN correlation is described with 1 minus superposition of several Gaussians.

We don’t introduce a correlation between a nucleon and a kaon.

1 1/ 2, 1/ 20 ,

NT T TzS NN K

1 1/ 2, 1/ 2

0 ,NT T Tz

S NN K

, 'i KG r G rIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII , 'i KG r G r


1 2,F r rIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 1 2,F r rIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

' , 1 1,2i KF r r i IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII ' , 1 1,2i KF r r i



Few remarks

• This model corresponds to the AMD case where all wave packets come together to the origin. But the NN correlation is respected.

• The angular momentum is very restricted. The orbital angular momentum of each particle measured from the center is zero and the relative one between any two particles are also zero.

• If we choose the variational parameters μ and γ independently, it is impossible to separate the wave function of the center-of-mass motion from the total wave function. The relation

should be held to separate the CM motion completely.


K

N

m

M

Energy variation

This model wave function has the real variational parameters,

1 2

'

,

i

K

NNn

G r

G r

f F r r

IIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIII


which are included in the spatial part wave function.

These real parameters are determined by the Simplex method to minimize the total energy of the system.


1 2,NNn F r r


2

1

1

11

1NNn n

n

NN

n

r

rr r

r

This time, The width parameters of the Gaussians in the NN correlation are fixed to those of Kamimura Gauss.

2. Test on 2N systemFirst, I checked the reliability of this model in case of pp system. The model wave function is as follows.

,

1/ 21 2 1, 1, 0

N N ZSCM T T

N r r S NN


1 2 1 2 1 2, ,r r G r G r F r r IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

2expi iG r r


2

1 2 1 2, 1 expNN NNn n

n

F r r f r r IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Variational parameters are determined by the Simplex method.

are fixed to those of Kamimura Gauss.

NNnf

NNn

2. Test on 2N systemNN potential to test

- 500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Av18- like 1E

Dote_HC2

I’d like to know whether this model works correctly under a potential such as Av18-like which has a strong repulsive core or not. But the Av18-like potential used in calculating ppK- does not make two protons bound. So, I enhanced the long-range attraction of this potential slightly so that two protons are bound.

The test potential is shown as the pink line (Dote_HC2) in the left panel.As can be seen, the repulsive-core part of this potential is almost the same as that of the Av18-like potential shown as the blue line.

2. Test on 2N systemSolve in two ways

I solve the same Hamiltonian by two methods.

( )Nucl Nucl CM NuclNNH T V T

22

1

22

( )

1

2

,2(2 )

iNucl

i N

CM Nucl iiN

Tm

Tm

p

PP p

Test potential (Dote_HC2)

• One way is the SCM model that will be applied to the calculation of ppK-.

• The other way is the Gaussian diagonalizing method. (GDM)

The relative wave function is expanded by so-called Kamimura Gaussians.

1

12

11 1

exp ,

nN N

Nrel n n n

n

bC b b b

b

r r

rel r

We solve the Schroedinger equation by the diagonalization with the Gaussian base .

rel rel relH E

2exp 1nb n N r

2. Test on 2N systemResult

• As for the GDM, I have confirmed that the solution is sufficiently converged up to the base number 25. This GDM solution can be regarded as the exact solution of this Schrodinger equation.

• The SCM method almost achieved to the exact solution when the base number is 9.

1

25

0.2 fm,

20 fm

r

r

Method SCM (Kamimura Gauss) GDM

Base number 5 6 7 8 9 25

Kinetic 26.84 23.93 23.51 24.15 24.00 24.21

Pot NN -31.25 -30.35 -29.01 -30.53 -30.42 -30.70

Total E. -4.41 -6.42 -5.50 -6.38 -6.42 -6.49

1 0.1 fm,

9.0 fmN

r

r

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Av18- like 1E

Dote_HC2

Kamimurabase N=25SCM KG N=5

SCM KG N=6

SCM KG N=7

SCM KG N=8

SCM KG N=9

2. Test on 2N systemRelative wave function

[fm]

[MeV

]

Test potential

SCMN=9

GDMN=25

Hamiltonian

CMNN KN S KN PH T V V V T

2

2, 3/ 2 3

2

2, 3/ 2 3

1 4 1, exp

2

1 4 1, exp

2

K iKN S wave K i KN

sN s

K iKN P wave K i KN

PN P

sv F

aM a

sv C

aM a

r rr r

r rr r


2 22

1

22

1

2 2

, 2 ,2

i K

i N K

CM N K i Ki

Tm m

T M m mM

p p

PP p p

2

,1

,KN S P K iKN S P wavei

V v

r r

21 11 2expNN NN n n

n

V V E V E b r r This time, Coulomb force is neglected.

3. Result of ppK-

KN potentialNs M

1, Gaussian shape

2

2, 3/ 2 3

1 4 1, exp

2K N

KN S wave K N KNsN s

sv F

aM a

r rr r

2

2, 3/ 2 3

1 4 1, exp

2K N

KN P wave K N KNPN P

sv C

aM a

r rr r


S-wave potential

P-wave potential

2, Energy dependent

as=ap=a

KNF : KN scattering amplitude

KNC : KN scattering volume

3, P-wave potential including derivative operator.

Chiral SU(3) theory

4KN

N

sT F

M

2. Self energy at the low-density limitKlein-Gordon eq.

T

1. The relation between T matrix and scattering amplitude

3. The optical potential from the self energy2

V

2 2 0Km p

2KNT

V

Optical potential

Two-body interaction

3

2KN

KN K N

Tv

r r

KN potential

Ns M

Finite range (normalized Gaussian)

2

23/ 2 3

1exp

2KN K N

KN

Tv

aa

r r

S-wave scattering amplitude

KN potential

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

300 350 400 450 500

Kaon's energy w [MeV]

Fcm

[fm

]

Re F(Kp)sIm F(Kp)sRe F(Kn)sIm F(Kn)s

1405

Ns M

P-wave scattering volume

KN potential

- 0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

300 350 400 450 500

Kaon's energy w [MeV]

Cp,

cm [

fm3 ]

Re CpIm Cp

2n pC C

1385

Ns M

• Self-consistency of kaon’s energy is taken into account.

Procedure of the present calculation

Perform the energy variation by the Simplex method.

Then, calculate the binding energy of kaon with the obtained wave function. Obtained

B K

Obtained AssumedB K B KCheck Finished !If Yes

Assume the values of the binding energy of kaon itself “B(K)”.

Re Re CMNN KN S KN PH T V V V T KAssumedB K m

The Hamiltonian is determined.

If No

Procedure of the present calculation

Re Re

Im Im

CMNN KN S KN P

KN S KN P

H T V V V T

i V i V

• The imaginary parts are ignored in the current study.

Remarks

• The kaon’s binding energy “B(K)”

B(K) = -EK = -(Etotal – Enucl)

total SCM SCM

Nuclnucl SCM SCM

E H

E H

p+p+K

[pp] in ppK- + K

[ppK-]

0

Enucl

Etotal

B(K)

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250Assumed B(K) [MeV]

Obt

aine

d B

(K) [M

eV]

a=0.67a=0.7a=0.8a=0.9a=1.0Ref

3. Result of ppK- Kamimura Gauss, N=10, r1=0.1 fm, rN=9.0 fmP-wave int. : non-perturbative

Self consistency

a; range parameter [fm]

a=1.00 fm

a=0.90 fm

a=0.80 fm

a=0.70 fm

a=0.67 fm

There doesn’t exist any self-consistent solution for the range parameter a < 0.67 fm.

This result is the same as that obtained in the previous

AMD study reported in YKIS’06 and so on.

There doesn’t exist any self-consistent solution for the range parameter a < 0.67 fm.

This result is the same as that obtained in the previous

AMD study reported in YKIS’06 and so on.

3. Result of ppK- Property

a 0.67 0.70 0.80 0.90 1.00

Assumed B(K) 200 147 106 87 73

Kinetic 517.24 371.31 264.89 211.47 173.63

Pot (NN) -11.64 -22.78 -27.81 -27.86 -26.75

Pot (KNs) -410.15 -321.22 -242.88 -198.04 -167.15

Pot (KNp) -171.68 -87.57 -46.66 -31.32 -22.16

Total E. -76.24 -60.27 -52.46 -45.75 -42.44

B(K) 200.13 148.49 108.15 87.73 75.28

Rel (NN) 1.06 1.15 1.29 1.40 1.49

Rel (KN) 0.70 0.79 0.91 1.00 1.09

[fm]

[MeV]

[MeV]

[MeV]

[fm]

The total binding energy of ppK- is 42 – 76 MeV.

cf) It doesn’t exceed 53 MeV in the previous AMD study.

The total binding energy of ppK- is 42 – 76 MeV.

cf) It doesn’t exceed 53 MeV in the previous AMD study.

3. Result of ppK- Property

a 0.67 0.70 0.80 0.90 1.00

Assumed B(K) 200 147 106 87 73

Kinetic 517.24 371.31 264.89 211.47 173.63

Pot (NN) -11.64 -22.78 -27.81 -27.86 -26.75

Pot (KNs) -410.15 -321.22 -242.88 -198.04 -167.15

Pot (KNp) -171.68 -87.57 -46.66 -31.32 -22.16

Total E. -76.24 -60.27 -52.46 -45.75 -42.44

B(K) 200.13 148.49 108.15 87.73 75.28

Rel (NN) 1.06 1.15 1.29 1.40 1.49

Rel (KN) 0.70 0.79 0.91 1.00 1.09

[fm]

[MeV]

[MeV]

[MeV]

[fm]

The relative distance between two nucleons is larger than 1.0 fm. If the size of a nucleon core is 0.5 fm, they don’t touch.

This result is the same as that of the previous AMD study.　

The relative distance between two nucleons is larger than 1.0 fm. If the size of a nucleon core is 0.5 fm, they don’t touch.

This result is the same as that of the previous AMD study.　

まとめ

簡単な模型による ppK- の計算

• ＮＮ相互作用として、強い斥力芯のあるもの（ Av18-like ）を用い、 ppK- を調べた。

• ＫＮ相互作用はカイラル理論に基づくものを使用。 s-wave 型だけでなく p-wave 型も含んでいる。

• 模型波動関数は非常に簡単なものにした。　核子系はＬ＝Ｓ＝０、Ｔ＝１の成分のみ。　但し、二核子間には相関関数を導入し斥力芯を適切に避けられるようにした。

• 前回のＡＭＤでの計算との違い角運動量、アイソスピンに関して Variation After Projection になっている。 p-wave KN ポテンシャルを非摂動的に取り扱った。

• 結果全束縛エネルギー　 42 ～ 76 MeV 　　　　　　　　　　　　（ a=1.00 ～ 0.67fm…前回同様レンジに下限が生じる）二核子間平均距離は 1 fm を下回らない。基本的には前回のＡＭＤの結果と似ている。

現状のまとめ

• KN 相互作用が非常に強い引力であれば、密度は高くなれそう。

• ppK- はいくつかのグループが計算したところ、全束縛エネルギーは 50 ～ 70MeV 。

• ＫＮ相互作用の取り扱いを始め、まだ分かってないことが多いように思える。　（自分だけかもしれないが…）

• 高密度状態になるかどうかは、少数系であれば G 行列を経由せずに　直接計算することではっきりするであろう。

• 実験結果は続々と出てきているが、まだ誰もが認めるような結果は　無いように思える。更なる実験が期待される。　また、理論サイドも実験に直接貢献できるような研究が必要なのでは。

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Ｋ中間子原子核 －今そこにある課題－

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