Сьогодні на уроці

Рекурентні послідовності

10 клас 27.01.2014

Послідовність чисел або функцій, в якій кожен наступний член виражається через попередній, називається рекуррентною, а формули, що встановлюють цей зв'язок, - рекурентними співвідношеннями.

Рекурентні співвідношення зручно використовувати при складанні алгоритмів обчислення величин, при цьому немає необхідності зберігати всі проміжні значення.

У виразі наступного значення деякої величини через її попередні значення і полягає суть методу рекурентних співвідношень.

Якщо послідовність чисел або функцій скінчена, то для знаходження значень функцій (наприклад, суми, добутку або N-ого члена) використовується арифметичний цикл, тобто цикл, в якому заздалегідь відомо число повторень.

Труднощі при вирішенні таких завдань представляє знаходження самої рекурентной формули.

Для пошуку рекурентної формули, будемо спиратися на метод математичної індукції.

Приклад 5. Для заданого натурального N і дійсного х (х> 0) обчислити значення виразу:

У цьому випадку рекурентність не настільки очевидна. Спробуємо знайти її методом індукції. Будемо вважати, що шукане значення виразу є N-й елемент послідовності наступного вигляду:

Звідси видно зв'язок:

uses crt;Var a,x: Real; i,n: Integer; Begin clrscr; Write('X='); ReadLn(X); Write(‘n='); ReadLn(n);

a:= Sqrt(X); For i:=1 To n Do beginWriteLn(i, ‘ ‘ ,a:6:2);a:=Sqrt(x+a);end;End.

Приклад: Числа Фібоначі.а1=1, а2=1, аn+2=an+an+1

маємоa3=a1+a2=1+1=2; a4=a2+a3=1+2=3; a5=a3+a4=2+3=5; a6=a4+a5=3+5=8; a7=a5+a6=5+8=13; a8=a6+a7=8+13=21;

У підсумку отримуємо послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Кожен її член, крім перших двох, дорівнює сумі двох попередніх йому членів. Приклад програми виведення 50 перших членів послідовності Фібоначі:

uses crt;Var an,anp1, anp2,i: integer;beginAn:=1;Anp1:=1;Writeln ('Chisla fibonachi'); writeln(1,' ',1); writeln(2,' ',1);For i:=3 to 10 do begin Anp2:=an+anp1; Writeln(i, ' ',anp2); An:=anp1; Anp1:=anp2; End;End.

№3. Обчислити суму ряду чисел 1/12 + 1/22 + 1/32 + ... + 1/n2, де n визначається користувачем.

uses crt;var n, i: integer; a, sum: real;Begin write ('n = '); readln (n); sum := 0; for i := 1 to n do begin a:= 1/(i*i); writeln(i,' ',a:5:2); sum := sum +a;end; writeln ('s= ', sum:6:5);readlnend.

2.  Серед чисел Фібоначчі знайти та вивести на екран тільки  парні,  або тільки кратні 3,  скориставшись  властивостями чисел Фібоначчі

2)кожне третє число Фібоначчі парне (F3 = 2, F6 = 8, F9 = 34);3)кожне четверте ділиться на три (F4 = 3, F8 = 21, F12 = 144);4)кожне п'ятнадцяте закінчується нулем (F15 = 610);5)два сусідніх числа Фібоначчі взаємно прості;

Введемо значення змінних: а - поточний (k-ий елемент послідовності), х - значення першого, k - кількість елементів, d - різниця.

Алгоритм має циклічну структуру, так як повторюватися будуть команди обчислення k-ого елемента послідовності і додавання його до суми. Відповідна програма:

http://algmet.narod.ru/prog.htm

http://pascal-cycles.blogspot.com/search/label/

http://pas1.ru/taskcycle