ТЕОРИЯ РЯДОВ

ТЕОРИЯ РЯДОВ

1.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

• Признак сравнения.

Пусть причем un≤vn для всех n, начиная с некоторого. Тогда:

1) если сходится, то сходится и ряд

2) если расходится, то расходится и ряд

1n

n

v

1n

n

u

и

- ряды с положительными членами,

1n

n

v

1n

n

u

1n

n

u

1n

n

v

Пример 1

1 1 1 1.... ...

1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 !n

Исследовать на сходимость ряд

Решение

Сравним его с убывающей геометрической прогрессией:

1 1 1 1.... ...

1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 !n

2 3

1 1 1 1.... ...2 2 2 2n

Каждый член первого ряда, начиная со второго, меньшесоответствующего члена второго ряда:

2 3

1 1 1 1 1 1....1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 ! 2nn

Второй ряд сходится, следовательно первый ряд сходится.

Ответ: ряд сходится

Пример 2

1 1 1 11 .... ...2 3 4 n


Решение

Сравним его с гармоническим рядом:

1 1 1 11 .... ...2 3 4 n

Каждый член первого ряда, начиная со второго, большесоответствующего члена второго ряда:

1 1 1 1 1 1....2 32 3 nn

А ряд второй расходится, следовательно расходится и первый. Ответ: ряд расходится

1 1 1 11 .... ...2 3 4 n

• Предельный признак сравнения.

Пусть

Если существует конечный и отличный от нуля пределотношения одинаковых по номеру членов рядов

то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.

1n

n

v

1n

n

u

и

- ряды с положительными членами,

lim 0n

nn

ul lv

Если члены un и vn двух положительных рядов являются бесконечно малыми одного порядка, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Пример 3

sin sin sin ... sin ...2 3 n


Решение

Сравним его с гармоническим рядом:

1 1 1 11 .... ...2 3 4 n

sin sin sinlim lim lim 0

1n n n

n n n

n n n

Так как гармонический ряд расходится, то и первый ряд тоже расходится. Ответ: ряд

расходится

sin sin sin ... sin ...2 3 n

В отличие от признаков сравнения, где всё зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

• Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик)

Если в ряде с положительными членами

выполняется условие

то данный ряд сходится, если ℓ<1; ряд расходится, если ℓ >1.

1 21

... ...n nn

u u u u

1lim n

nn

uu

Замечание:

1) Если же ℓ=1, то ряд может быть как сходящийся, так и расходящийся. В этом случае для решения вопроса о сходимости ряда необходимо применить какой-либо другой признак или дополнительные исследования.

2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или an.

Пример 4

2 3

1 3 5 2 1.... ...2 2 2 2n

n


Решение


1 1 1

2 1 12 1 2 12 2 2n nn n n

nn nu u

11

2 1 2 2 12 2 1 2(2 1)

nn

nn

u n nu n n

1 2 1 1 2 1lim lim lim2(2 1) 2 2 1

121 1lim 112 22

n

n n nn

n

u n nu n n

n

n

Пример 5

2 3

1 1 2 1 2 3 !.... ...10 10 10 10n

n


Решение

Ответ: ряд расходится

1 1

1 !!10 10n nn n

nnu u

11

( 1)! 10 110 ! 10

nn

nn

u n nu n

1 1lim lim 110

n

n nn

u nu

Пример 6

2 31 .... ...3 5 2 1

nn


Решение

11

2 1 2 1n nn nu u

n n

21

2

1 2 1 2 12 1 2

n

n

u n n n nu n n n n

2 21

2

1 122 1lim lim lim 112 2

n

n n nn

u n n n nu n n

n

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Но т.к

1lim lim 02 1 2nn n

nun

то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно ряд расходится.


Пример 7


1 1 1 1.... ...

1 2 2 3 3 4 1n n

Решение

11 1

1 1 2n nu un n n n

1 11

1 2 1 2n

n

n nu nu n n n

1 1lim lim lim 122 1

n

n n nn

u nu n

n

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим необходимый признак сходимости ряда:

1lim lim 0

1nn nu

n n

то есть ряд может быть сходящимся или расходящимся. Установим сходимость другим путем:

1 1 1

1 1n n n n

Заметим, что

Данный ряд можем записать в виде:

1 1 1 1 1 1 1 1... ...1 2 2 3 3 4 1n n

111nS

n

-частичная сумма

1lim lim 1 11nn n

Sn

То есть ряд сходится и его сумма равна 1.

Пример 8


1 1 1 11 .... ...2 3 4 n

Решение 11 1

1n nu un n

1 11 11

n

n

u n nu nn

1 1lim lim lim 122 1

n

n n nn

u nu n

n

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Установим сходимость другим путем. Проверим признак сравнения (см. пример 2)


• Признак Коши (Cauchy 1789-1857)

Пусть дан ряд с положительными членами

Допустим, что существует и

Тогда данный ряд сходится, если ℓ<1; ряд расходится, если ℓ >1.

В случае, когда ℓ=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.

1 21

... ...n nn

u u u u

lim nnn

u

lim nnn

u

Пример 9 Исследовать на сходимость ряд

2 31 2 3 ... ...3 5 7 2 1

nnn

Решение

1lim lim lim 12 1 2 1 2

n

n nnn n n

n nun n


Пример 10


2 31 1 1 11 1 1 ... 1 ...1 2 3

n

n

Решение

1 1lim lim 1 lim 1 1n

n nnn n n

un n

Признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим необходимое условие сходимости ряда:

1lim lim 1 0n

nn nu e

n


• Интегральный признак

Пусть дан ряд с положительными членами

причем

и f(x)- такая непрерывная, монотонно убывающая функция,что f(n)=un.

Тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

1 21

... ...n nn

u u u u

1 2 3 ... ...nu u u u

1

( )f x dx

Пример 11

Исследовать на сходимость гармонический ряд

1 1 11 ... ...2 3 n

Решение

1( ) , 1f x xx

1

1 1

lim lim ln lim ln ln1

lim ln

M M

M M M

M

dx dx x Mx x

M


Эта функция непрерывная, монотонно убывает и Следовательно, условия интегрального признака выполнены. Имеем

1( )f nn

Пример 12


1 1 11 ... ...2 2 3 3 n n

Решение

1( )f xx x

32

32 1

1 1 1

1lim 2 lim

12 lim 1 2

M M

M M

M

dx dx x dxx x xx

M



1( )f nn n

Обобщенный гармонический ряд

1

1 1 1 11 ...,2 3 4

0,

p p p pn n

p p R

Интегральный признак целесообразно применять для исследования сходимости обобщенного гармонического ряда. Признаки Коши и Даламбера ответа о сходимости не дают.

1( ) pf xx

1

1 , 11

, 1p

pdx px

p


1( ) pf nn

ряд сходится

ряд расходится

При p=1 имеем гармонический ряд. (см. пример 11)

Пример 13


5 5 54 4 4

1 1 11 ... ...2 3 n

Решение

Ряд сходится, т.к. 5 14

p


Пример 14


Решение

Ряд расходится, т.к. 1 12

p


1 1 11 ... ...2 3 n

12

1 1( )f nn n

Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) рядов с положительными членами позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике!

Documents

ТЕОРИЯ РЯДОВ