کنترل مدرن

کنترل مدرن1382زمستان

بسم الله الرحمن الرحيم

Dr. H. Bolandi

طراحیمباحث

( روشهای طراحی 1فيدبک حالت

( طراحی سيستمهای 2رگوالتور و ردياب

طراحی رويتگرهای درجه (3کامل

( طراحی رويتگرهای با 4درجه کاهش يافته

طراحی سيستمهای (5رگوالتور و ردياب در حضور

رويتگر

مباحث نظری

3 )تحقق پ>>ذير

ی كنترل پذيري / مشاهده پذيري( 4

1 )مدلسازی

2 )تحليل

بررسی (5پايداری

سيالبس 1382زمستان درسی Dr. H. Bolandi

تك -تك ورودي( 1خروجي

تابع تبديل در (2sحوزة

كالسيك هایروش

روشهاي (3 رسم مكان (4 فركانسي

هندسي ريشه ها

حصول اهداف کنترلی

حصول اهداف کنترلی

طراحی جبرانساز

ها

طراحی جبرانساز

ها

1382زمستان Dr. H. Bolandi

( استخراج معادالت ديفرانسيل از 1( اس>تخراج م>دل رياض>ي سيس>تم و خالص>ه ک>ردن نتيج>ه 2 مدل فيزيكي سيستم.

.بصورت يك بلوك دياگرام نتيجه خالصه شدن يك (3

.سيگنال فلوگراف

نحوة عملكرد

)(

)()(

sD

sNsT

مثال :

اعمال وروديهای تست

اعمال وروديهای تست

تحلي>>>ل پاس>>>خ سيستم

پاي>داري مطل>ق و نسبي


مدرن روش

از معادالت ديفرانسيل

از معادالت ديفرانسيل

معادالت فضاي حالت

معادالت فضاي حالت

پيش گفتار:

يادآوراك>ثر روش>هاي ط>راحي سيس>تم هاي كن>ترل مبت>ني ب>ر ن>وعي م>دل ی :

رياضي از سيستم فيزيكي مي باشد. ،طراحي ه>اي كالس>يك سيس>تم هاي كن>ترل از روش>هايي مانن>د مك>ان

. پاسخ فركانسي جهت تحليل و طراحي سيستم ها استفاده مي كرديم

فع>>اليت ،ش>>ايان توج>>ه اس>>ت ك>>ه در اين دي>>دگاه . متمركز بر استفاده از تابع تبديل بود


قاب>>ل SISOاين روش ب>>راي سيس>>تمهاي ص>>نعتي ( 1به>ره وري ب>وده و مي توانس>ته نت>ايج مطل>وبي را ب>دنبال

داشته باشد

تحلي>ل دقي>ق سيس>تمهاي ص>نعتي پيش>رفته م>دلهاي ( 2 كاملتري را طلب مي كند.

سيس>>تم هاي ص>>نعتي پيچي>>ده ب>>راي دقت، س>>رعت ( 3عم>ل و ك>ارايي بيش>تر نيازمن>د ب>ه طراحي ه>اي م>درن

سيستم هاي كنترل مي باشند.

معايب روشهای کالسيک

معايب روشهای 1382زمستان کالسيک Dr. H. Bolandi

بازوی مکانيکی با سه مثال : درجه آزادی

فرم کلی ماتريس>>>>>های تب>>>>>ديل :دستگاههای مختصات

1000

PRT

1000

PRT

فرم بس>ته مع>ادالت دين>اميکی : بازوهای مکانيکی

)(),()( GVM )(),()( GVM

))(),((*)(1 GVM ))(),((*)(1 GVM

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

مدلس>>ازي سيس>>تم هاي كن>>ترل ب>>ا اس>>تفاده ازمتغيره>اي ح>الت در راس>تاي تحق>ق اه>دافي اس>ت ك>ه ب>ه

آن اشاره كرده ايم.

متغيره>اي ح>الت در واق>ع مي توانن>د دين>اميكي ازسيس>تم را ش>امل ش>وند ك>ه در م>دل خ>روجي > ورودي ظ>اهر نمی ش>وند. از اين جهت م>دل متغيره>اي ح>الت

را مدل داخلي نيز مي گويند.

توص>يف فض>اي ح>الت، تص>وير ك>املي را از س>اختارداخلي سيس>تم ف>راهم مي كن>د. اين م>دل نش>ان مي ده>د ك>ه متغيره>اي ح>الت چگون>ه ب>ا يك>ديگر ت>داخل نم>وده، ورودي سيس>>تم چگون>>ه ب>>ر متغيره>>اي ح>>الت ت>>أثير مي گ>ذارد و چگون>ه ب>ا تركيبه>اي متف>اوت مي ت>وان ي>ك

سيستم خاص را نشان داد.

نتيجه

نتيجزمستان ه

1382Dr. H. Bolandi

نمايش فضاي حالت سيستم هانمايش فضاي حالت سيستم ها

بط>ور كلي بس>ياري از سيس>تم ها را مي ت>وان توس>ط ي>ك دس>تگاه مع>ادالت ديفرانس>يل غ>يرخطي نم>ايش داد

:که بصورت زير نوشته می شوند]),(),([ ttutxfx ]),(),([ ttutxfx

t: متغ>>ير ك>ه ب>ر ( بع>ديn ( ب>ردار س>توني تغييرپ>ذير ب>ا زم>انx(t) : زمان

. حالت سيستم داللت مي كندu(t) : ( ك>ه نش>انگر متغ>ير بع>دي mب>ردار س>توني (

. ورودي يا كنترل مي باشددر ح>الت كلي مي ت>وان خ>روجي سيس>تم را ب>ه ش>كل

:زير نمايش داد

)),(),(()( ttutxGty )),(),(()( ttutxGty

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

در اين درس عم>>>دتاt تمرك>>>ز م>>>ا ب>>>ر روي و Fبن>ابراين سيس>تم هاي خطي مي باش>د.

Gدر اين ص>>ورت . تواب>>ع خطي مي باش>>ند مع>ادالت كلي و ب>ا سيس>تم را خطي نامي>ده

زير نمايش داده می شوند :

)()()()()( tutBtxtAtx )()()()()( tutBtxtAtx

)()()()()( tutDtxtCty )()()()()( tutDtxtCty

)(tA

)(tB

)(tC

)(tD

ماتريس حالت ماتريس :

ماتريس وروديماتريس :

ماتريس خروجي ماتريس :

م>>>اتريس انتق>>>ال بين ورودي و م>>>اتريس :خروجي

nn

nn

mn

nl

ml


: 1نکت>ه اگ>ر درج>ه ص>ورت از مخ>رج کوچک>تر .خواهد بود باشد،

0)( tD

:2نکت>ه در ص>ورتي ك>ه اين ماتريس>ها ب>ا زم>ان تغيير نكنند، خواهيم داشت:

)()()( tButAxtx )()()( tButAxtx

)()( tDutCxy )()( tDutCxy

انتخاب متغيرهاي حالت

به منظ>>ور اس>>تخراج متغيره>>ای ح>>الت ي>>ک سيس>>>تم ف>>يزيکی، مش>>>خص ب>>ودن يکی از

عوامل زير ضروری می باشد:.معادالت ديفرانسيل ( 1بل>>>وك دي>>>اگرام ي>>>ا س>>>يگنال ( 2

.فلوگراف (تابع تبديل(سيستم فيزيكي.( 3


روشهای انتخاب متغيرهاي حالت به سه دسته اصلی تقسيم می شوند:

اس>تفاده از متغيره>اي ( 1 فيزيكي

اس>تفاده از متغيره>اي ( 2 فاز

اس>تفاده از متغيره>اي ( 3 كانونيكال

1نکت>ه :

درجه مخرج

درجه مخرج

تعداد متغيرهاي ناوابسته

تعداد متغيرهاي ناوابسته

2نکت>ه :

سيستم فيزيكي

سيستم فيزيكي

با استفاده از قوانين فيزيكي

با استفاده از قوانين فيزيكي

معادالت ديفرانسيل باشد(.minimal (بايد

معادالت ديفرانسيل باشد(.minimal (بايد

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

نکت>>>ه بايد توجه داشته باشيم كه معادالت فضاي الف( :3

حالت نهايي بايد مي نيمال باشند.متغيرهاي حالت يک سيستم بايد بصورت ب(

> مع>>>>>>>ادالت 1مستقل از هم انتخاب شوند. ديفرانسيل

اين روش مع>>ادالت فض>>اي ح>>التي را در اختي>>ار ق>>رار مي ده>>د ك>>ه مبت>>ني ب>>ر متغيره>>اي ف>>يزيكي سيس>>تم

هستند.)()(

)()(

tDutCxY

tButAxXSISO

)()(

)()(

tDutCxY

tButAxXSISO

زمستان 1382

مدلس>ازي سيس>تم كن>ترل ب>ا اس>تفاده از مع>ادالت - 2فضاي حالت، به روش متغيرهاي فيزيكي:

بط>>>>>>ور كلي دو دي>>>>>>دگاه جهت :مدلسازي وجود دارد

تقسيم نمودن سيستم به اجزاء تشكيل دهنده و الف: .مدلسازي آن توسط روابط رياضي

در اين حالت : شناسايي پارامتري سيستمب :بررسي آزمايشهايي سيستم انجام مي پذيرد و با

نتايج حاصله يك مدل رياضي براي سيستم تعيين مي شود.

در راس>>تاي پايه گ>>ذاري و تب>>يين سيس>>تم، م>>دلبدست آمده بايد مبين پارامترهای زير باشد:

> ارتباط ديناميكي بين پارامترهاي دستگاه

> ورودي كارانداز> خروجي قابل اندازه گيري

باشد.

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

نکاتی که در مدلسازی سيستمها بايد در نظر داشت

مدلس>>ازي دربرگيرن>>ده اطالع>>ات دروني سيس>>تمبينب>وده و همچ>نين ارتب>اط effect , cause متغيره>اي

سيستم مي باشد. پاي>ه و اس>اس اص>لي جهت انج>ام ك>ار اس>تفاده از

قوانين فيزيكي حاكم بر سيستم مي باشد.

انتخ>>>اب متغيره>>>اي ح>>>الت در روش متغيره>>>ايف>يزيكي براس>اس عناص>ر موج>ود نگهدارن>ده ان>رژي

سيستم بنا مي شود. متغ>ير ف>يزيكي در معادل>ة ان>رژي ب>راي ه>ر عنص>ر

نگهدارن>>ده ان>>رژي مي توان>>د بعن>>وان متغ>>ير ح>>الت سيس>تم انتخ>اب ش>ود. الزم ب>ه ي>ادآوری اس>ت ک>ه متغيره>اي ف>يزيكي باي>د بگون>ه ای انتخ>اب ش>وند ك>ه

ناوابسته باشند.

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

عناصر نگهدارندة

انرژي

عناصر نگهدارندة

انرژيزمستان

1382Dr. H. Bolandi

1مث>ال :

dt

dvCiii

iRdt

diLtV

tVdt

diLtiRte

cc

C

C

21

222

2

1111

)(

)()()(

dt

dvCiii

iRdt

diLtV

tVdt

diLtiRte

cc

C

C

21

222

2

1111

)(

)()()(

T

cviix )( 21

)(teL

x

x

x

CC

LL

RLL

R

X

0

0

1

011

10

10

1

3

2

1

22

2

11

1

)(teL

x

x

x

CC

LL

RLL

R

X

0

0

1

011

10

10

1

3

2

1

22

2

11

1

3

2

1

2 00

x

x

x

Rty )()(

3

2

1

2 00

x

x

x

Rty )()(

بردار متغيره>ای حالت :

فض>>ای مع>>ادالت حالت سيستم

زمستان 1382

بدس>ت را زي>ر سيس>تم ح>الت فض>ای مع>ادالت آوريد:

Dr. H. Bolandi

ب>ر ح>اکم مع>ادالت سيستم

سيستمهای مکانيکی

( انتق>>الي : مجموع>>ة نيروه>>ا براب>>ر اس>>ت ب>>ا 1()N( حاصلضرب شتاب در جرم

maF maF

دوراني : مجموع>>ة گش>>تاورها براب>>ر اس>>ت ب>>ا ( 2(حاصلضرب ممان اينرسي در شتاب زاويه اي

.I .I

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

اجزای اصلی سيستمهای مکانيکی

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

مث>>ال 2:

)(tfKxxBxm )(tfKxxBxm )(

1tf

mx

m

Kx

m

Bx )(

1tf

mx

m

Kx

m

Bx

if x1=x

)(tfm

xm

Kx

m

Bx

xx1

122

21

)(tfm

xm

Kx

m

Bx

xx1

122

21

)(tfm

xm

B

m

kx

1010

)(tfm

xm

B

m

kx

1010

xy )( 01 xy )( 01

سيس>>>تم ح>>>الت فض>>>ای مدل مکانيکی :

Dr. H. Bolandiزمستان

1382

مع>ادالت دين>اميکی و م>دل فض>ای ح>الت سيس>تم زير را بدست آوريد :

مث>>ال 3:

21112111222222 YKYKYBYBYBYKYN 21112111222222 YKYKYBYBYBYKYN

)()()( tfyykxxBYN 21121111

)()()( tfyykxxBYN 21121111

2111 xxxy 2111 xxxy

)(tfN

xN

kx

N

kx

N

Bx

N

Bxxy

13

1

11

1

14

1

12

1

1221 )(tf

Nx

N

kx

N

kx

N

Bx

N

Bxxy

13

1

11

1

14

1

12

1

1221

4332 xxxyif 4332 xxxyif

22

14

2

213

2

241

4

14432 x

N

Bx

N

VBx

N

kkx

N

kxxxy

2

2

14

2

213

2

241

4

14432 x

N

Bx

N

VBx

N

kkx

N

kxxxy

ح>>>>الت متغيره>>>>ای سيستم مکانيکی :

مع>ادالت دين>اميکی و م>دل فض>ای ح>الت سيس>تم زير را بدست آوريد :

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

)(

)()(

tfN

N

BB

N

KK

N

B

N

K

N

B

N

K

N

B

N

K

x

0

0

10

1000

0010

1

2

2

2

21

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)(

)()(

tfN

N

BB

N

KK

N

B

N

K

N

B

N

K

N

B

N

K

x

0

0

10

1000

0010

1

2

2

2

21

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

xyy

y

0100

00012

1 xyy

y

0100

00012

1

سيس>تم ح>الت فض>ای مدل :3مکانيکی مثال

Dr. H. Bolandi زمستان1382

نم>ايش مع>ادالت فض>اي ح>الت - 3توسط متغيرهاي فاز

nاگ>ر ف>رض ك>نيم ك>ه ي>ك سيس>تم ديفرانس>يل مرتب>ه ام زير را داشته باشيم:

uyayayayay nnnnn 12

21

1 ... uyayayayay nnnnn 12

21

1 ...

ب>ه u(t)و ورودي با دانس>تن رفت>ار آين>ده سيس>تم قاب>ل درك ي>ا تب>يين ازاي

را مي باش>د. پس م>ا مي ت>وانيم ب>>ه عن>>وان متغيره>>اي ح>>الت انتخ>>اب ك>>نيم. ب>>ه اين

روش متغيرهاي فاز مي گويند.،روش

0t )0(,)0(,...)0(1 yyy n

)(,)(,...)(1 tytyty n


)(1

2

1

ty

y

y

x

x

x

x

nn

)(1

2

1

ty

y

y

x

x

x

x

nn

uxaxaxax

xx

xx

xx

nnnn

nn

1211

1

32

21

uxaxaxax

xx

xx

xx

nnnn

nn

1211

1

32

21

)(]00001[ 12

1

xy

x

x

x

y

n

)(]00001[ 12

1

xy

x

x

x

y

n

انتخ>>>>اب نح>>>>وه متغيرهای حالت :

معادل>>ه ب>>رای ح>>الت فض>>ای م>>دل اس>>تخراج ديفرانسيل سيستم :

Dr. H. Bolandi 1382زمستان

مث>>ال 1:

مطلوبست مدل فضای حالت سيستم زير :

6116

1

)(

)(23

ssssu

sy6116

1

)(

)(23

ssssu

sy

: مع>ادالت ديفرانس>يل بي>ان ش>ده توس>ط ت>ابع تب>ديل حل فوق بصورت زير نوشته می شود:

)(6116 tuyyyy )(6116 tuyyyy

y

y

y

x

x

x

x

3

2

1

y

y

y

x

x

x

x

3

2

1

uxxxx

xx

xx

3213

32

21

6116

uxxxx

xx

xx

3213

32

21

6116

1xy 1xy

متعيره>>>>ای حالت

معادالت ديناميکی سيستم

ux

1

0

0

6116

100

010

ux

1

0

0

6116

100

010

مدل فضای حالت

xy ]001[ xy ]001[


مث>ال 2:

rrcccc 5432 rrcccc 5432

3

2

1

x

x

x

arc

c

c

x

c

c

c

x

3

2

1

x

x

x

arc

c

c

x

c

c

c

x

فض>ای م>دل مطلوبس>ت حالت سيستم زير:

حل :

متغيره>>>ای حالت :

racx

arxx

xx

3

32

21

racx

arxx

xx

3

32

21

rrxxarxrax 54)(3)(2 1233 rrxxarxrax 54)(3)(2 1233

. ح>ذف ش>ود را ط>وري انتخ>اب مي ك>نيم ك>ه aپارامتر a=-1بنابراين

r

rxxxx 3234 3213 rxxxx 3234 3213

rx

3

1

0

234

100

010

rx

3

1

0

234

100

010

xy ]001[ xy ]001[

مدل فض>ای ح>الت سيستم :


نمايش معادالت فضاي حالت توسط فرمهاي كانوليكال


با فرض مشخص بودن تابع تبديل سيستم، تحقق هدف : های فضای حالت که از اهميت ويژه ای بر خوردار هستند را

.بدست می آوريم

ه>ا تحق>ق اين عبارتند از:

ال>>ف( ف>>رم ك>>انونيكي كنترل پذير

ف>>>>رم ك>>>>انونيكي ب(مشاهده پذير

ج( ف>>>>رم ك>>>>انونيكي قطري (جردن(

در را زي>ر تب>ديل تابع نظر می گيريم:

nnnn

nnnnn

asasas

bsbsbsbsb

su

sysG

...

...

)(

)()( 2

21

1

12

21

10

nnnn

nnnnn

asasas

bsbsbsbsb

su

sysG

...

...

)(

)()( 2

21

1

12

21

10

)(su :تبديل الپالس ورودي )(suتبديل الپالس خروجي: )(sy )(sy


فرم کانونيکی کنترل پذير

u

1

0

0

x

a...aaa

1

0...0100

0...0010

x

12n1nn

u

1

0

0

x

a...aaa

1

0...0100

0...0010

x

12n1nn

)t(ubx]bab...babbab[y 001101n1n0nn )t(ubx]bab...babbab[y 001101n1n0nn

وي>>ژگی ها :

هم>>واره 1 تحق>>ق اين )( در ص>ورتيکه ت>ابع تب>ديل سيس>تم، قطب و ص>فر مش>ترکی نداش>ته 2کنترل پذير است.

باشند، اين تحقق رويت پذير خواهد بود.

فض>>ای مدل حالت :


فرم کانونيکی رويت پذير

فض>>ای مدل حالت :

وي>>ژگی ها :

هم>>واره 1 تحق>>ق اين )( در ص>ورتيکه ت>ابع تب>ديل سيس>تم، قطب و ص>فر مش>ترکی نداش>ته 2رويت پذير است.

باشند، اين تحقق کنترل پذير خواهد بود.

u

bab

bab

bab

x

a00

a...01

a...000

x

011

01n1n

0nn

1

1n

n

u

bab

bab

bab

x

a00

a...01

a...000

x

011

01n1n

0nn

1

1n

n

)t(ubx)1...000(y 0 )t(ubx)1...000(y 0


فرم کانونيکی قطری (جردن(

: اول غ>ير حالت و حقيقی سيس>تم، وي>ژه مق>ادير اگ>ر nتکراری باشند. ...21

n ...21

فض>>>>ای مدل حالت :

uxx

n

1

1

1

0

0

2

1

uxx

n

1

1

1

0

0

2

1

)()...( 021 tubxcccy n )()...( 021 tubxcccy n وي>>ژگی ها :

هم>>واره 1 تحق>>ق اين )0ic( در صورتيکه باشند، اين تحقق رويت پذير خواهد بود.2کنترل پذير است. 0ic

اگ>ر تع>دادی از مق>ادير وي>ژه سيس>تم، حقيقی و حالت دوم : تکراری باشند.

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

321 321 n ...654 n ...654

فض>>>>ای مدل حالت :

uxx

n

1

1

1

0

0

0

0

00

10

001

5

4

1

1

1

uxx

n

1

1

1

0

0

0

0

00

10

001

5

4

1

1

1

)()...( 04321 tubxcccccy n )()...( 04321 tubxcccccy n وي>>ژگی

ها :( اين تحق>ق هم>واره کن>ترل پ>ذير اس>ت اگ>ر و فق>ط اگ>ر آخ>رين س>طر 1

م>اتريس در تک>راری، وي>زه مق>دار ه>ر ب>ه مرب>وط ج>ردن Bبلوکه>ای مستقل خطی (اگر تنها يک بردار باشد، مخالف صفر( باشند .

( اين تحق>ق هم>واره رويت پ>ذير اس>ت اگ>ر و فق>ط اگ>ر اولين س>تون 2م>اتريس در تک>راری، وي>زه مق>دار ه>ر ب>ه مرب>وط ج>ردن Cبلوکه>ای

مستقل خطی (اگر تنها يک بردار باشد، مخالف صفر( باشند .

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

بدست آوردن تابع تبديل از معادالت فضاي حالت

ت>ک خ>روجی – سيس>تمهای ت>ک ورودی حالت اول :)SISO(

DuCxy

BuAxx

DuCxy

BuAxx

)()()(

)()()0()(

sDusxCsY

sBusAxxsxS

)()()(

)()()0()(

sDusxCsY

sBusAxxsxS

)()()( 1 sBuASISX )()()( 1 sBuASISX

)())(()( 1 suDBASICsy )())(()( 1 suDBASICsy DBASICSG 1)()( DBASICSG 1)()(

تبديل الپالس

تابع تبديل

ASI

SQSG

)()( ASI

SQSG

)()( يعني مقادير ويژه ماتريس

A في الواقع همان قطبهاي سيستم مي باشند.

زمستان 1382

Dr. H. Bolandi

تابع تبديل سيستم زير را بدست آوريد :مثال : uxx

uxxx

uxxx

5

2

13

15

53

25

212

211 uxx

uxxx

uxxx

5

2

13

15

53

25

212

211

21 2xxy 21 2xxy xy )21( xy )21(

13

152)(

SASI

13

152)(

SASI

53

11

3)1()5(

1)(

)4()2(

1

S

S

SSASI

SS

53

11

3)1()5(

1)(

)4()2(

1

S

S

SSASI

SS

5

2

53

111]21[)(

S

SSG

5

2

53

111]21[)(

S

SSG

)4()2(

5912)(

SS

SsG )4()2(

5912)(

SS

SsG

Documents

کنترل مدرن