第六节子空间的交与和

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第六节子空间的交与和第六节子空间的交与和

一、子空间的交

二、子空间的和

2© 2009, Henan Polytechnic University 2§6 §6 子空间的交与和子空间的交与和

第六章线性空间第六章线性空间

也为 V 的子空间 .

1 2 1 2{ | }V V a a V a V 且

设 V1 、 V2 为线性空间 V 的子空间，则集合

一、子空间的交定理

任取 1 2 1 2, , , , , ,V V V V 即且

1 2 1 2, ,V V V V 则有

同时有 1 2 1 2, , ,k V k V k V V k P

故　　　为 V 的子空间 .

1 2V V

1 2 1 20 ,0 , 0V V V V 证

1 2与V V称之为的交空间 . 　　


第六章线性空间第六章线性空间显然有 ,

多个子空间的交的定义：

1 21

| , 1,2,3, ,s

s i ii

V V V V V i s

1 2 2 1 ,V V V V

为线性空间 V 的子空间，则集合1 2, , , sV V V

1 2 3 1 2 3( ) ( )V V V V V V

也为 V 的子空间，称为　　　的交空间 . 1 2, , , sV V V



二、子空间的和定理

其中，　　　　　　　　　则有 1 1 1 2 2 2, , , ,V V

1 2 1 2 1 2( ) ,k k k k V V k P

设 V1 、 V2 为线性空间 V 的子空间，则集合

也为 V 的子空间，1 2 1 2 1 1 2 2{ | , }V V a a a V a V

称之为 V1 与 V2 的和空间 .

1 2 1 2( ) ( )

任取　　　　　　　设 1 2, ,V V 1 2 1 2, ,

1 1 2 2 1 2( ) ( ) V V

1 2 1 20 ,0 , 0 0 0V V V V 证



显然有 ,

多个子空间的和的定义：

1 2 | , 1,2,3, ,s i iV i s

1 2 2 1 ,V V V V

为线性空间 V 的子空间，则集合1 2, , , sV V V

1 2 3 1 2 3( ) ( )V V V V V V

也为 V 的子空间，称为　　　的和空间 . 1 2, , , sV V V

1 21

s

i si

V V V V



V 的两子空间的并集未必为 V 的子空间 . 例如

注意：

1 2{( ,0,0) }, {(0, ,0) }V a a R V b b R

皆为 R3 的子空间，但是它们的并集

1 2 {( ,0,0),(0, ,0) , }V V a b a b R

并不是 R3 的子空间 . 因为它对 R3 的运算不封闭，如

1 2(1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V V

1 2(1,0,0), (0,1,0) V V

但是

{( , ,0) , , }a b a b R a b 且中至少有一是0



三、子空间的交与和的有关性质

1 2 12) V V V

1 2 23) V V V

1 21) V V

性质 2 设为线性空间 V 的子空间，则以下三1 2,V V

性质 1 设　　为线性空间 V 的子空间 1 2, ,V V W

1 ）若　则 1 2, ,W V W V 1 2 .W V V

2 ）若　则 1 2 .V V W 1 2, ,V W V W

条件等价 :



1 2 1 2,( , , , ) ( , , )s tL L

1 2 1 2,( , , , , , , )s tL

性质 3 　　　　　　　　　　为线性空间 V 中两组

1 2 1 2,, , , ; , ,s t

向量，则

定理 7 （维数公式）设　　为线性空间 V 的两个子空间，则1 2,V V

1 2 1 2 1 2dim dim dim( ) dim( )V V V V V V

或 1 2 1 2 1 2dim( ) dim dim dim( )V V V V V V



由扩基定理，它可扩充为 V1 的一组基

证：设 1 1 2 2 1 2dim , dim , dim( )V n V n V V m

11 2 1 2, , , , , , ,m n m

21 2 1 2, , , , , , ,m n m

取　　　的一组基 1 2V V 1 2, , , m

它也可扩充为 V2 的一组基

11 1 2 1 2( , , , , , , , )m n mV L

22 1 2 1 2( , , , , , , , )m n mV L

即有



所以，有

1 21 2 1 2 1 2, 1 2( , , , , , , , , , , )m n m n mV V L +

下证　　　　　　　　　　　　　　

1 21 2 1 2, 1 2, , , , , , , , , ,m n m n m

线性无关 .

令

1 11 1 1 1m m n m n mk k p p

2 21 1 0n m n mq q

假设有等式

1 11 1 1 1m m n m n mk k p p

2 21 1 n m n mq q



则有 1 2 1 2a V a V V V 且，于是，

令 1 1 2 2 ,m ml l l

即　可被　　　　　线性表出 1 2, , , m

则 2 21 1 2 2 1 1m m n m n ml l l q q

2 21 1 2 2 1 1 0m m n m n ml l l q q 即

从而有

21 2 1 0,m n ml l l q q

由于　　　　　　　　　　　　线性无关，得 21 2 1 2, , , , , , ,m n m

因而 0.



1 11 1 1 1 0m m n m n mk k p p

11 2 1 0m n mk k k p p

由于　　　　　　　　　　　　线性无关，得 11 2 1 2, , , , , , ,m n m

1 21 2 1 2, 1 2, , , , , , , , , ,m n m n m 所以，

1 2 1 2 1 2dim( ) ( ) ( )V V m n m n m n n m ∴

线性无关 . 因而它是　　　的一组基 . 1 2V V

1 2 1 2dim dim dim( )V V V V



推论：设　　为 n 维线性空间 V 的两个子空间，1 2,V V

1 2 1 2 1 2dim( ) dim dim dim( )V V V V V V

若　　　　　　，则　　必含非零的公共1 2dim dimV V n 1 2,V V

向量 . 即　　　中必含有非零向量 .1 2V V

证：由维数公式有

又　　　是 V 的子空间，∴1 2V V 1 2dim( )V V n

1 2dim dim ,V V n 若则 1 2dim( ) 0.V V

故　　　中含有非零向量 .1 2V V



①

与 ②

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0

n n

n n

ns s sn

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0

n n

n n

t t tn n

b x b x b xb x b x b x

b x b x b x

的解空间，则　　　　就是齐次线性方程组③ 1 2W W

例 1 、在　中，用　　　分别表示齐次线性方程组1 2,W WnP



③

的解空间 .

证：设方程组① , ,②③分别为

11 1 12 2 1

1 1 2 2

11 1 12 2 1

1 1 2 2

0

00

0

n n

s s sn n

n n

t t tn n

a x a x a x

a x a x a xb x b x b x

b x b x b x

0, 0, 0AAX BX XB



即

设 W 为③的解空间，任取　　　，有0X W

0 0,A XB 从而 0

00,AX

BX

0 0 0.AX BX 0 1 2X W W

反之，任取，　　　　　　则有 0 1 2 ,X W W

0 0 0,AX BX 从而 00

00,AX A XBX B

0X W

故 1 2 .W W W



例 2

1 , ,0x yW x y Py 2

0 ,0xW x y Py

在　　中，令 2 2P

求　　　　及1 2W W 1 2 .W W则　　　皆为　　的子空间 . 2 2P

1 2,W W

11 121 2

21 22

x xX W Wx x

解：任取

由　　　　有1 ,X W 22 0,x 由　　　　有2 ,X W 12 21 0x x

故， 11 00 0

xX

1 20

0 0xW W x P 从而，



所以， 1 21 0 0 1 0 0, ,0 0 1 0 0 1W W L

, ,x y x y z Py z

1 0 0 1 0 0 , ,0 0 1 0 0 1x y z x y z P

1 0 0 0,0 0 0 1L 2

1 0 0 0 ,0 0 0 1W x y x y P

1 0 0 1,0 0 1 0L 1

1 0 0 1 ,0 0 1 0W x y x y P

1 2 .W W再求因为，



1 2(1,2,1,0), ( 1,1,1,1)

例 3 、在　中，设　4P

1 2(2, 1,0,1), (1, 1,3,7)

1 ）求　　　　　　　　　的维数与一组基； , ,1 2 1 2( ) ( )L L

2 ）求　　　　　　　　　的维数与一组基 . , ,1 2 1 2( ) ( )L L

解： 1) 任取 , ,1 2 1 2( ) ( )L L

设 1 1 2 2 1 1 2 2 ,x x y y

则有 1 1 2 2 1 1 2 2 0,x x y y



( ＊ )解得（ t 　为任意数）1

2

1

2

43

x tx ty t

y t

( ＊ )1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 2

1 1 2

2 02 0

3 07 0

x x y yx x y yx x yx y y

即

1 2 2 1( 4 ) ( 3 )t t 令 t=1 ，则得的一组基 , ,1 2 1 2( ) ( )L L

1 24 5,2,3,4 为一维的 . , ,1 2 1 2( ) ( ) ( )L L L



2) 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , , , )L L L

对以　　　　　为列向量的矩阵 A 作初等行变换　　　

1 2 1 2, , , 1 1 2 12 1 1 11 1 0 30 1 1 7

A

1 1 2 10 3 5 30 2 2 20 1 1 7

1 1 2 10 0 2 60 1 1 10 0 2 6

1 1 2 10 1 1 10 0 1 30 0 0 0

B

由 B 知，　　　为　　　　　的一个极大无关组 .1 2 1 2, , , 1 2 1, ,



为 3 维的， 1 2 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ( , , )L L L

为其一组基 .1 2 1, ,

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