Сложное высказывание

Сложное высказывание

Высказывания бывают простые и сложные.

Простым называется высказывание, которое не содержит в себе других высказываний.

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций и скобок, то такое

высказывание называется сложным.

В формальной логике принято, что всякое простое высказывание обязательно имеет одно из двух значение –

истина или ложь. Значение сложного высказывания вычисляется.

Сложное высказывание

Составляющие простые

высказывания

Форма сложного

высказыванияЕ = Идет дождь, а у меня нет зонта

А= Идет дождь

В=У меня есть зонт Е = A & B

Е = Когда живется весело, то и работа спориться

А = Живется весело

В =Работа спорится E = A B

Е = Идет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит.

А = Идет налево;

В = Идет направо;

С = Песнь заводит;

D = Сказку говорит

E=(AC)v(B D)

Примеры сложных высказываний

Определение формы сложного высказывания

Пример 1.

Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.

Составляющие простые высказывания:

А = Ваш приезд необходим;

В = Ваш приезд желателен.

Форма сложного высказывания:

Е = А& В


Пример 2.

Е = Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал.


А = Поиски врага длились три часа;

В = Врага нашли (результат есть);

С = Враг себя выдал.


Е = С А & В


Пример 3.

Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.


А = Вчера было пасмурно;

В = Сегодня ярко светит солнце.


Е = А & В


Пример 4.

Е = И добродетель стать пороком может, когда её неправильно приложат. (У. Шекспир)


А = Добродетель неправильно приложат;

В = Добродетель стать пороком может.


Е = А В.

Получение сложного высказывания на естественном языке.

Е = (A & B) (C & D)


А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой;В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой;С = Нервы привыкнут раздражаться;D = Нервы будут непослушны.

Фраза на естественном языке:

Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К.Д.Ушинский)

Получение сложного высказывания на естественном языке.

Е = (В & С) А


А = Некто является врачом;В = Больной поговорил с врачом;С = Больному стало легче.

Фраза на естественном языке:

Е =Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В.М.Бехтерев)

Приоритет логических операций

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритета:

1. Инверсия

2. Конъюнкция

3. Дизъюнкция

4. Импликация и эквивалентность

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Укажем порядок выполнения логических операций в следующих формулах:

A v B C & D A

A v (B C) & D A

3 4 2 5 1

4 2 3 5 1

Рассмотрим алгоритм построения таблицы истинности на примере следующего высказывания:

Е = A v B C

1.Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности.Пусть сложное высказывание состоит из n простых. Тогда количество строк в таблице истинности равно 2n плюс 2 строка заголовка. Количество столбцов в таблице равно сумме количества переменных (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание.

В высказывание Е входят 3 переменные и 4 логические операции. Получаем 23+2=10 строк и 3+4=7 столбцов.

2.Начертим таблицу и заполним заголовок. В первой строке заголовка запишем номера столбцов, во второй – промежуточные формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в скоб-ках номера столбцов над значениями которых выполняются действия

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

3. Заполним первые три столбца. Делим первую колонку пополам, первую половину заполняем нулями, вторую – единицами,

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0

0

0

0

1

1

1

1

3. Заполним первые три столбца. …половины второго столбца делим пополам и заполняем по тому же правилу

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0 0

0 0

0 1

0 1

1 0

1 0

1 1

1 1

3. Заполним первые три столбца. … продолжаем заполнение по тому же правилу.

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

4. Заполним остальные столбцы.четвертый столбец – инверсия второго

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

4. Заполним остальные столбцы.…пятый столбец – инверсия третьего

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 1 0 0

4. Заполним остальные столбцы.…шестой столбец – дизъюнкция первого и четвертого

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1

1 1 1 0 0 1

4. Заполним остальные столбцы.шестой столбец – импликация шестого и пятого

1 2 3 4 5 6 7

А В С В(2)

С(3)

А v B(1) v (4)

A v B C(6) (5)

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 1 0

Если в формулу входят 4 переменные, то соответствующая ей таблица истинности будет состоять из 24 = 16 строк со значениями, при 5 переменных в таблице имеем 25 = 32 строки со значениями.

Для любого сложного высказывания можно построить таблицу истинности. Это следует из того, что количество входящих в него переменных конечно и каждая из них может принимать всего два значения.

Тождественно истинные высказывания

Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией ( обозначается константой 1).

Например, высказывание Демократ – это человек, исповедующий демократические убеждения Всегда истинно, т.е. Является тавтологией.Прогноз на завтра Дождь будет или дождя не будет – всегда истинно, его математическая запись А v А=1

Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.

Тождественно ложные высказывания

Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным ( обозначается константой 0).

Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй день недели является тождественно ложным.

Тождественно ложным является и следующее высказывание: Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен). Его математическая запись А & А=0

Проверить, является ли сложное высказывание тождественно ложным, можно по таблице истинности.

Эквивалентные высказывания

Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывание называют равносильными, или эквивалентными.

Равносильность высказываний А и В записывается с помощью знака равенства: А=В.

Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентность А В является тождественно истинным высказыванием.

Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний, достаточно построить их таблицы истинности и сравнить полученные результаты построчно.

Рассмотрим два высказывания:Х=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него.

Х = А & ВY=Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.

Y=A v BПостроим таблицы истинности, объединив две в одну:

1 2 3 4 5 6 7 8

A B A(1)

B(2)

A & B(1)&(2)

X=A&B(5)

Y=AvB(3)v(4)

X Y(6) (7)

0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 1

1.Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й столбец) совпадают, то высказывания равносильны (эквивалентны).2. Так как эквивалентность Х и Y тождественно истинна, то высказывания равносильны (эквивалентны).

Documents

Сложное высказывание