Формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів

Формування в молодших школярів умінь

розв'язувати задачі певних видів

Під сюжетною задачею розуміємо математичну задачу, де описано певний життєвий сюжет, а саме кількісний бік реальних процесів, явищ та ситуацій, і міститься вимога знайти шукану величину за даними в задачі величинами та зв’язками між ними.

Класифікація сюжетних задач

Сюжетні задачіСюжетні задачі

ПростіПрості СкладеніСкладені

..

..

..

..

..

..

Класифікація складених задач

Складені задачіСкладені задачі

Задачі, що описують явища, які характеризуються

однією величиною

Задачі, що описують явища, які характеризуються

однією величиною

Задачі,що описують явища, які характеризуютьсякількома величинами




Задачі, що містять відношення додавання,

різницевого або кратного порівняння

Задачі, що містять відношення додавання,

різницевого або кратного порівняння

Типові задачіТипові задачі

Задачі, що містять відношення додавання, різницевого або кратного порівнянняЗадачі, що містять відношення додавання, різницевого або кратного порівняння

Задачі на знаходження суми

двох добутків та обернені до них



Задачі на різницеве порівняння




Задачі на кратне порівняння





двох часток та обернені до них











Типові задачіТипові задачі

Задачі, що містять сталу величину

Задачі, що містять сталу величину

Задачі на процесиЗадачі на процеси

Задачі на знаходженнясереднього

арифметичного

Задачі на знаходженнясереднього

арифметичного

На знаходженнячетвертого

пропорційного

На знаходженнячетвертого


На пропорційнеділення

На пропорційнеділення

На знаходженняневідомих за

двома різницями

На знаходженняневідомих за


На подвійне зведення до

одиниці

На подвійне зведення до

одиниці

На спільнуроботу

На спільнуроботу

На застосуванняправила

На застосуванняправила

УскладненіУскладнені

На рухНа рух

Приклади задач, що містять однакову сталу величину

На знаходження четвертого


На пропорційне ділення

На знаходження невідомих за двома різницями

За 8 годин перший робітник виготовляє 88 деталей. Скільки деталей виготовить за 10 годин другий робітник, якщо працюватиме з тією самою продуктивністю?

Два робітники виготовили 198 деталей. Перший працював 8 годин, а другий – 10 годин. Скільки деталей окремо зробив кожний робітник, якщо вони працювали з однаковою

продуктивністю?

Перший робітник працював 8 годин, а другий 10 годин, причому другий робітник виготовив на 22 деталі більше, ніж перший. Скільки деталей зробив кожний робітник, якщо вони працювали з однаковою продуктивністю?

Задачі, що містять однакову величину

Кількість/

час

... 1 Загальна

...

І а

однакова

в

ІІ с ?

Кількість/

час


І а

однакова

?

с

ІІ в ?

Кількість/ час


...

І а

однакова

?

ІІ в ?, на с більше (менше)

Задачі на знаходження четвертого пропорційного

Задачі на пропорційне ділення

Задачі на знаходження невідомих за двома різницями

План розв'язування задач способом знаходження однакової величини

Суму Різницючислових значень однієї з величин.

Значення однакової величини

за двома числовими за сумарними за різницевими

значеннями одного значеннями відношеннями

з випадків. двох величин. двох величин.

Шукане число,відповідаємо на

запитання задачі перше запитання задачі

Шукане число,відповідаємо на друге запитання задачі

Приклади задач, що містять однакову величину

Задача на знаходження четвертого пропорційного

Задача на подвійне зведення до одиниці

За 8 годин перший робітник виготовляє 88 деталей. Скільки деталей виготовить за 10 годин другий робітник, якщо працюватиме з тією самою продуктивністю?

За 8 годин двоє робітників виготовили 176 деталей. Скільки деталей виготовить один робітник за 10 годин, якщо вони працюють з однаковою продуктивністю?



а - в

с - ?

План розв'язування

1) Знаходимо величину однієї одиниці виміру чи лічби (однакову величину) за двома відомими числовими значеннями двох інших величин;

2) Знаходимо шукане, відповідаємо на запитання задачі.

Задачі на подвійне зведення до одиниці

а , к - в

1, с - ?


1) Знаходимо величину однієї одиниці виміру чи лічби (однакову величину) за двома відомими числовими значеннями двох інших величин;

2) Знаходимо шукане, відповідаємо на запитання задачі.



а - в

с - ?

Задачі на подвійне зведення до одиниці

а , к - в

1, с - ?


Знаходимо величину однієї одиницівиміру чи лічби (однакову для певної кількості або часу

величину) за двома за значенням загальної

відомими числовими величини та значенням часу

значеннями двох інших або кількості.

величин.

Знаходимо величину подвійної одиниці

Відповідаємо на запитання задачі

Приклади задач на процеси

Задачі на спільну роботу, в яких продуктивність спільної

праці знаходять дією додавання

Задачі на одночасний рух в різних напрямках

На знаходження загального виробітку при спільній праці

На знаходження відстані або на момент початку рух або на

момент закінчення руху

Два робітники виконали планове завдання за 5 годин, працюючи разом. Перший робітник виготовляв 29 деталей щогодини, а другий – 35 деталей щогодини. Скільки деталей становило планове

завдання?

З двох станцій виїхали одночасно назустріч один одному два товарних потяги і зустрілися через 5 годин. Перший потяг рухався зі швидкістю 29 , а другий – 35 . Яка відстань між станціями?

На знаходження часу спільної праці

На знаходження часу руху

Бак вміщує 45 т води. Через скільки годин може наповнитися цей бак через два крани, якщо через перший кран щогодини вливається 7 т води,

а через другий – 8 т.

З двох протилежних боків озера, відстань між якими 45 км, одночасно назустріч один одному поплили два пливці. Перший плив зі швидкістю 7 , а другий – 8 . Через який час вони зустрінуться?

На знаходження продуктивності одного з

виконавців

На знаходження швидкості

Дві друкарки повинні надрукувати 112 сторінок тексту за 4 дні. Скільки сторінок щодня друкує перша друкарка, якщо друга друкарка

щогодини друкує 16 сторінок?

З двох міст, відстань між якими 112 км, одночасно назустріч один одному вирушили два вершники і зустрілися через 4 години. Яка швидкість першого вершника, якщо швидкість другого вершника 16 .

Узагальнена опорна схема задач на спільну роботу та на рух

N1 – продуктивність праці першого виконавцяN2– продуктивність праці другого виконавцяA – загальний виробіток при спільній праціV1 - швидкість першого тіла; V2 - швидкість другого тілаt – час спільного руху або час спільної праціS – відстань між тілами на момент початку або на момент закінчення руху

час

І N1 / V1

ІІ N2 / V2

І і ІІ A / S ? t

відстань

виробітокзаг..

швидкість

прпродукт ...

Способи розв’язування задач на спільну роботу (в яких спільну продуктивність роботи двох виконавців знаходять

дією додавання) та на рух в різних напрямках

І спосіб ІІ спосіб

А = N1 * t + N2 * t

S = V1 * t + V2 * t А = (N1 + N2) * t

S = (V1 + V2) * t

t = А : (N1 + N2)

t = S : (V1 + V2)

N1 = ( А - N2 * t) : t

N2 = ( А - N1 * t) : t

V1 = (S - V2 * t) : t

V2 = (S - V1 * t) : t

N1 = А : t - N2

N2 = А : t - N1

V1 = S : t - V2

V2 = S : t - V1

Узагальнена опорна схема задач на спільну роботу та на рух ускладненої

математичної структури час

І А1/ S1 ? t1

ІІ А2/ S2 ? t2

І і ІІ A / S ? t

відстань

виробітокзаг..швидкість

прпродукт ...

Задачі на знаходження середнього арифметичного

Задачі на застосування правила знаходження середнього

арифметичного кількох чисел

Ускладнені задачі, що містять три взаємопов'язані величини

Задачі на знаходження середньої маси

Маса першого кроля 2 кг 200 г, а другого 1 кг 600г. Знайди середню масу цих кролів.

У господарки 4 білих кролі по 2 кг 200 г, і 2 чорних кролі по 1 кг 600г. Знайдіть середню масу одного кроля.

Задачі на знаходження середньої: - довжини;

- температури

- ціни;

- врожайності;

- швидкості

Уміння розв'язувати задачі

під умінням розв’язувати сюжетні задачі ми розуміємо складне уміння, яке містить комплекс умінь нижчого порядку, що стосуються послідовно виконуваних дій, а саме: уміння аналізувати текст задачі; уміння подавати результати аналізу у вигляді репрезентативної моделі; уміння співвідносити задачу з раніш вивченими і відтворювати спосіб розв’язування задач даного виду (якщо учню пропонується задача відомого виду); уміння виконувати пошук розв’язування задачі, якщо задача невідомого виду або учень не „впізнав” задачу: при арифметичному способі розв’язування виконувати аналітичні міркування (від запитання задачі до числових даних) або синтетичні (від числових даних до запитання задачі), при алгебраїчному методі розв’язування – складати рівняння; уміння виконувати операції, які забезпечують розв’язання задачі; уміння перевіряти правильність розв’язання.

Типи умінь розв'язувати задачі

Уміння розв'язувати задачі

Загальне уміння Уміння розв'язуватизадачі певних видів

Загальне уміння розв'язувати задачі

під загальним умінням розв’язувати сюжетні задачі розуміємо складне уміння, що застосовується при розв’язуванні сюжетної задачі різними (основними) методами та способами і складається з:

1) уміння здійснювати предметно-змістовий аналіз задачі; 2) уміння виконувати логіко-семантичний аналіз задачі; 3) уміння складати репрезентативну модель задачі (короткий

запис задачі у вигляді схеми або таблиці; або малюнок, схематичний рисунок, креслення, діаграму, графік тощо);

4) уміння робити прикидку очікуваного результату; 5) уміння здійснювати пошук розв’язування задачі: за

арифметичного способу – виконувати аналітичні або синтетичні міркування; за алгебраїчного – позначати одне з невідомих значень величини (шукане або проміжне) змінною та виражати інші величини через змінну, подавати одну з величин двома способами (через змінну та без неї);

6) уміння складати план розв’язування задачі за арифметичного способу; за алгебраїчного – уміння складати рівняння;

7) уміння реалізувати знайдений план розв’язування за арифметичного способу; за алгебраїчного – уміння розв’язувати рівняння;

8) уміння перевіряти правильність розв’язання; 9) уміння співвідносити нову задачу з раніше розв’язаними;

перетворювати дану задачу; узагальнювати математичну структуру задачі;

10) уміння досліджувати задачу шляхом змін окремих її елементів – з метою формулювання загального плану розв’язування задач такої самої математичної структури.

Операційний склад загального уміння розв’язувати задачі

арифметичними способами

Пор.

№ Склад загального уміння розв’язувати задачі

Дії, що адекватні арифметичному способу

При розв’язуванні простих задач

При розв’язуванні складених задач

1 2 3 4

1. Уміння виконувати предметно-змістовий аналіз задачі

1) виділення умови задачі;2) виділення запитання задачі;3) виділення об’єкта (об’єктів) задачі;4) виділення числових даних і шуканого задачі;

2. Уміння виконувати логіко-семантичний аналіз задачі

1) виділення слів-ознак окремих видів співвідношень;2) встановлення виду співвідношення (співвідношень);

3. Уміння складати репрезентативну модель задачі

1) виділяти ключові слова і відповідні їм числові значення, складати короткий запис задачі у вигляді схеми; або визначати величини, що містяться в задачі, виділяти ключові слова і числові значення відповідних величин; записувати задачу у вигляді таблиці;2) зображати значення величини у вигляді довжини відрізка або за допомогою зображення іншої фігури, наприклад прямокутника; інтерпретувати довжину відрізка як деяку величину, виражати один відрізок через інші; складати схематичний малюнок задачі;

4. Уміння робити прикидку щодо очікуваного результату

1) виходячи із ситуації задачі, визначати більше чи менше шукане число від одного з даних (наприклад, стало більше, ніж було, залишилося менше, ніж було тощо); 2) співвідносити значення шуканої величини з іншими значеннями цієї самої величини на основі знання характеру зміни однієї величини залежно від зміни другої величини при сталій третій величині (у випадку співвідношення залежності між значеннями різних величин);

5. Уміння здійснювати пошук розв’язування задачі

1)визначати яким членом співвідношення є шукане;

2)актуалізувати правило знаходження невідомого компонента даного співвідношення;

3) обґрунтовувати вибір арифметичної дії, засобом якої розв’язується

задача;

1) від запитання задачі до числових даних – аналіз;

2) від числових даних до запитання задачі – синтез;

6. Уміння складати план розв’язування задачі

1) розбивати задачу на прості;

2) встановлювати порядок розв’язання простих задач;

3) формулювати план розв’язування задачі;

7. Уміння реалізувати знайдений план розв’язування

1) записувати розв’язання;

2) пояснювати виконання дії;

1) записувати розв’язання за діями;

2) пояснювати виконання дії;

3) складати вираз, який є розв’язанням задачі;

8. Уміння перевіряти правильність

розв’язку.

1) складати і розв’язувати обернені задачі;

2) встановлювати відповідність між числами, які отримані в результаті розв’язання задачі і даними числами;

3) встановлювати відповідність шуканого числа області його значень, які очікувались під час прикидки;

4) переходити до розв’язання задачі іншим способом;

9. Уміння досліджувати з метою узагальнення її математичної структури і формулювання загального плану

1) досліджувати задачу через зміни числових даних задачі, її сюжету та величин; встановлювати, як ця зміна вплине на розв’язання задачі;2) визначати істотні ознаки задачі та узагальнювати її математичну структуру; 3) узагальнювати спосіб розв’язування задач даної математичної структури;

10. Уміння співвідносити нову задачу з раніш розв’язаними.

порівнювати задачі даної математичної структури з іншими задачами, математична структура яких схожа на дану; встановлювати, як ця відмінність впливає на розв’язання.

Уміння розв’язувати задачі певних видів 1) уміння здійснювати предметно-змістовий аналіз задачі; 2) уміння здійснювати логіко-семантичний аналіз задачі; 3) уміння складати репрезентативну модель задачі (короткий запис задачі у вигляді схеми або таблиці; малюнок, схематичний рисунок, схему тощо); 4) уміння робити прикидку очікуваного результату; 5) уміння співвідносити дану задачу з раніше вивченими і впізнавати задачу вивченої математичної структури; 6) уміння актуалізувати узагальнений спосіб розв’язування задач даного виду за арифметичного способу; за алгебраїчного – уміння актуалізувати узагальнений спосіб складання рівняння; 7) уміння застосовувати узагальнений спосіб розв’язування та складати розв’язуючу модель задачі; 8) уміння реалізувати знайдений план розв’язування за арифметичного методу; за алгебраїчного – уміння розв’язувати рівняння; 9) уміння перевіряти правильність розв’язку задачі; 10) уміння перетворювати задачу (на обернену або на задачу іншого виду або спорідненої математичної структури).

Структура методичної системи формування вмінь розв’язувати сюжетні задачі

Методика формування загального вміння розв’язувати

задачі

Методика формування вміння розв’язувати задачі певних

видів

на матеріалі простих задач

на матеріалі складених задач

на матеріалі задач з пропорційними величинами на знаходження суми чи різницеве (кратне) порівняння двох добутків або часток

методика навчання розв’язування задач, що містять однакову (сталу) величину

методика навчання розв’язування задач на процеси

методика навчання розв’язування задач на знаходження середнього арифметичного

Методична схема змістовних узагальнень1) отримання задачі нової математичної структури із задачі,

спосіб розв’язування якої дітям вже відомий; 2) визначення ознак, за якими задача нової математичної

структури відрізняється від задачі знайомої математичної структури – висунення гіпотези про вплив цієї зміни на спосіб розв’язування задачі нової математичної структури;

3) розв’язування задачі; 4) перевірка гіпотези про вплив зміни у формулюванні

задачі на спосіб її розв’язування; 5) зміна ситуації задачі або зміна числових даних задачі (в

деяких задачах зміна сталої величини) та дослідження впливу цієї зміни на розв’язання задачі;

6) узагальнення способу розв’язування задач даної математичної структури;

7) розв’язування задач даного виду на основі застосування узагальненого способу;

8) складання і розв’язування обернених задач або перетворення у задачі спорідненого виду; дослідження впливу зміни на план розв’язування задачі;

9) узагальнення математичної структури та плану (способу) розв’язування задач даної групи;

10) співставлення задач схожих математичних структур з метою визначення спільного і відмінного;

11) узагальнення способу розв’язування задач даної групи, формулювання правила-орієнтира.

Методика формування вміннярозв’язувати задачі певних видів

методика навчання розв’язування задач, що містять однакову (сталу) величину

задачі на знаходження

четвертого пропорційного

задачі на пропорційне

ділення

задачі на знаходження невідомих за


задачі на подвійне

зведення до одиниці

Ознайомлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного

а)Маса 6 однакових гусей складає 30 кг. Яка маса 1 гуски?

б) Маса гуся 5 кг. Яка маса 4 таких самих гусей?

в) Маса 6 однакових гусей складає 30 кг. Яка маса 4 таких самих гусей?

Загальна маса (кг)

Маса 1 гуски (кг)

Кількість гусей (шт.)

30 кг ? 6 шт.




? 5 кг 4 шт.




І 30 кг 6 шт.

однакова

ІІ ? 4 шт.

30

6

?

4

Розв'язання 1) 30 : 6 = 5 (кг) маса 1 гуски,

однакова величина1) 5 * 4 = 20 (кг) маса 4 гусок

Або: 30 : 6 * 4 = 20 (кг)Відповідь: 20 кг маса чотирьох

таких гусок.



Кількість гусок (шт.)

І 30 кг

однакова

6 шт.

ІІ ? 4 шт.

?

? * 4

30 : 6

Задача №1

30

6

?

4

Розв'язання 1)30 : 6 = 5 (грн) ціна 1 ручки,

однакова величина2)5 * 4 = 20 (грн) вартість 4

блокнотів

Або: 30 : 6 * 4 = 20 (грн)Відповідь: 20 гривень вартість

чотирьох блокнотів.

Вартість (грн)

Ціна (грн)

Кількість (шт.)

Р. 30 грн

однакова

6 шт.

Б. ? 4 шт.

?

? * 4

30 : 6

Задача №2

36

4

?

5



блокнотів


п'яти блокнотів.


Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

4 шт.

Б. ? 5 шт.

?

? * 5

36 : 4

Задача №3

36

4

45

?


однакова величина2)45 : 9 = 5 шт. блокнотів можна

купити на 45 гривень

Або: 45 : (36 : 4) = 5 (шт.)Відповідь: 5 блокнотів можна

купити на 45 гривень.


Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

4 шт.

Б. 45 грн. ?

?

45 : ?

36 : 4

Задача №4

Порівняння задач №3 та №4


Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

4 шт.

Б. ? 5 шт.



блокнотів




Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

4 шт.

Б. 45 грн. ?






36

?

45

5

Розв'язання 1)45 : 5 = 9 (грн) ціна 1 блокнота,

однакова величина2)36 : 9 = 4 шт. ручки можна


Або: 36 : (45 : 5) = 4 (шт.)Відповідь: 4 ручки можна купити

на 36 гривень.


Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

?

Б. 45 грн. 5 шт.

?

36 : ?

45 : 5

Задача №5



Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

4 шт.

Б. 45 грн. ?







Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

?

Б. 45 грн. 5 шт.






?

4

45

5


однакова величина2)9 * 4 = 36 (грн) вартість

чотирьох ручок


чотирьох ручок.


Ціна (грн)


Р. ?

однакова

4 шт.

Б. 45 грн. 5 шт.

?

? * 4

45 : 5

Задача №6



Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

4 шт.

Б. ? 5 шт.


однакова величина2)9 * 5 = 45 (грн) вартість п'яти

блокнотів




Ціна (грн)


Р. ?

однакова

4 шт.

Б. 45 грн. 5 шт.








Ціна (грн)


Р. 36 грн

однакова

?

Б. 45 грн. 5 шт.







Ціна (грн)


Р. ?

однакова

4 шт.

Б. 45 грн. 5 шт.






Узагальнення математичної структури та плану розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного, в яких

однаковою є величина однієї одиниці

План розв’язування

1) значення однакової величини – величини однієї одиниці, за двома відомими величинами одного з випадків, дією ділення;

2) шукане значення

відповімо на запитання задачі.

Загальна ...

... 1.... Кількість

І

однакова

ІІ ?



І

однакова

ІІ ?

кількості

величинизагальної..

2

6

?

4

Розв'язання 1)2 * 6 = 12 (грн) вартість ручок,

однакова величина2)12 : 4 = 3 (грн) ціна блокноту

Або: 2 * 6 : 4 =3 (грн)Відповідь: 3 гривні ціна блокноту.


Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн 6 шт.

Б. ? 4 шт.

?

? : 4

2 * 6

Задача №7





Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн 6 шт.

Б. ? 4 шт.



Ціна (грн)


Р.

однакова

? 6 шт.

Б. 3 грн 4 шт.

Розв'язання 1)3 * 4 = 12 (грн) вартість

блокнотів, однакова величина

2)12 : 6 = 2 (грн) ціна ручки

Або: 2 * 6 : 6 =2 (грн)Відповідь: 2 гривні ціна ручки.


Ціна (грн)


Р.

однакова

? 6 шт.




Ціна (грн)


Р.

однакова

? 6 шт.




2)12 : 6 = 2 (грн) ціна ручки

Або: 3 * 4 : 6 =2 (грн)Відповідь: 2 гривні ціна ручки.


Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн ?




2)12 : 2 = 6 шт. ручок

Або: 3 * 4 : 2 =6 (шт.)Відповідь: 6 ручок можна купити.



Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн ?




2)12 : 2 = 6 шт. ручок

Або: 3 * 4 : 2 =6 (шт.)Відповідь: 6 ручок можна купити.


Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн 6 шт.

Б. 3 грн ?


однакова величина2)12 : 3 = 4 шт. блокнотів

Або: 2 * 6 : 3 =4 (шт.)Відповідь: 4 блокноти можна

купити.



Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн 6 шт.

Б. ? 4 шт.





Ціна (грн)


Р.

однакова

2 грн 6 шт.

Б. 3 грн ?


однакова величина2)12 : 3 = 4 шт. блокнотів

Або: 2 * 6 : 3 =4 (шт.)Відповідь: 4 блокноти можна

купити.


однаковою є загальна величина

План розв’язування1. значення однакової

величини – загальної величини, за двома відомими величинами одного з випадків, дією множення;

2. шукане значення

відповімо на запитання

задачі, дією ділення.



І

однакова

ІІ ?



І

однакова

ІІ ?

кількості

одиниціоднієївеличини ....

12

2

?

3

Розв'язання 1)12 : 62 = 6 шт. кількість ручок,


блокнотів

Або: 3 * (12 : 2) =12 (грн)Відповідь: 12 гривень вартість

блокнотів.


Ціна (грн)


Р. 12 грн 2 грн

однакова

Б. ? 3 грн

?

3 * ?

12 : 2

Задача №12


однаковою є кількість або час

План розв’язування1. значення однакової

величини – кількості або часу, за двома відомими величинами одного з випадків, дією ділення;

2. шукане значення

відповімо на запитання задачі, дією



І

однакова

ІІ ?



І

однакова

ІІ ?

величинизагальної

одиниціоднієївеличини

..

....

множення

ділення

Узагальнення математичної структури та плану розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного


1. значення однакової величини, за двома відомими величинами одного з випадків;

2. відповімо на запитання задачі.



І аоднакова

в

ІІ с/? ?/к



І однакова а в

ІІ с/? ?/к



І а воднакова

ІІ с/? ?/к

Задача №13

10

3

?

10 10

3 3

6

Стільки ж

10 м – 3 шт.

у?

? м – 6 шт.

?

10 * ?

6 : 3

Розв'язання

1)6 : 3 = 2 у стільки разів більше пошили скатертин, тому у стільки ж разів більше витратили тканини

2)10 * 2 = 20 (м) тканини витратили на 6 скатертин

Або 10 * ( 6 : 3 ) = 20 (м)

Відповідь: 20 м тканини витратили на 6 скатертин.

Задачі на знаходження четвертого пропорційногоСпосіб відношень

План розв’язування Спосіб відношень

1. Дізнатися у скільки разів одне з даних чисел

другого числа,

відносно однієї величини. Зробити висновок, що у стільки ж разів шукане число

за дане значення іншої величини.

2. Відповісти на запитання задачі.

Стільки ж

–

у?

? –

Стільки ж

–

у?

– ?

менше

більше

менше

більше


План розв’язуванняСпосіб відношень

Першою дією дізнаємося про числове значення відношення між двома відомими числовими даними однієї з величин. Робимо висновок про числове значення і характер відношення між шуканим і числовим даним, стосовно іншої величини.

Другою дією відповідаємо на запитання задачі.


Спосіб знаходження однакової величини

Першою дією знаходимо значення однакової величини за відомими значеннями двох величин стосовно одного з випадків.

Другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Підготовча робота до задач на пропорційне ділення

За два дні продали 15 платтів, за них всього отримали 45 гривень. Знайти ціну плаття.В одному класі 12 учнів, а в другому 15 учнів. Всього в учнів обох класів 135 підручників. Скільки підручників у одного учня, якщо кожен учень цих класів має однакову кількість підручників?

Перетворення задачі на знаходження четвертого пропорційного у задачу на пропорційне ділення

Задача №1, №2

Розв'язання 1) 38 : 2 = 19 (т) вантажність 1

вагону, однакова величина2) 19 * 3 = 57 (т) загальна маса

вугілля, ІІ деньАбо: 38 : 2 * 3 = 57 (т)38 + 57 = 95 (т)

Загальна маса (т)

Вантажність 1вагону (т)

Кількість вагонів (шт.)

І 38 т

однакова

2 шт.

ІІ ? 3 шт.




І ?

95т

однакова

2 шт.

ІІ ? 3 шт.

Задачі на пропорційне діленняЗадача №2

95

? ?

2 3

?


1) 2 + 3 = 5 (шт.) всього вагонів2) 95 : 5 = 19 (т) вантажність 1

вагону, однакова величина3) 19 * 2 = 38 (т) загальна маса

вугілля, І день4) 19 * 3 = 57 (т) загальна маса

вугілля, ІІ день

Або: 95 : ( 2 + 3) * 2 = 38 (т) 95 : ( 2 + 3 ) * 3 =57 (т)

Перевірка: 38 + 57 = 95 (т)

Відповідь: 38 т вугілля привезли на базу першого дня, 57 т вугілля привезли другого дня.

? ?

? * 2 ? * 3

95 : ?

2 + 3


1. Значення однакової величини – величини однієї одиниці за двома числовими значеннями одного з випадків.

2. Шукане значення загальної величини, відповідаємо на

запитання задачі.



... 1... Кількість або час

І а

однакова

в

ІІ ? к



І ?

т однакова

в

ІІ ? к

1. Суму даних числових значень однієї з величин – кількості або часу.

2. Значення однакової величини – величини однієї одиниці за сумарними значеннями двох величин.

3. Шукане значення загальної величини, відповідаємо на перше запитання задачі.

4. Шукане значення загальної величини, відповідаємо на друге запитання задачі.

Перетворення задачі на знаходження четвертого пропорційного у задачу на пропорційне ділення


Розв'язання 1) 38 : 2 = 19 (т) вантажність 1

вагону, однакова величина2) 57 :19 = 3 шт. вагонів, ІІ деньАбо: 57 : (38 : 2) = 3 (шт.)2 + 3 = 5 (шт.)




І 38 т

однакова

2

ІІ 57 т ?




І 38 т

однакова

?

5шт.

ІІ 57 т ?


?

38 57

? ?

5


1) 38 + 57 = 95 (т) всього вугілля привезли за два дні

2) 95 : 5 = 19 (т) вантажність 1 вагону, однакова величина

3) 38 : 19 = 2 шт. вагонів, І день4) 57 : 19 = 3 шт. вагонів, ІІ

день

Або: 38 : (( 38 + 57) : 5) = 2 (шт.) 57 : (( 38 + 57 ) : 5) = 3 (шт.)

Перевірка: 2 + 3 = 5 (шт.)

Відповідь: 2 вагони вугілля привезли на базу першого дня, 3 вагони вугілля привезли другого дня.

? ?

38 : ? 57 : ?

? : 5

38 + 57


1. Значення однакової величини – величини однієї одиниці за двома числовими значеннями одного з випадків.

2. Шукане значення кількості або часу, відповідаємо на запитання задачі.




І а

однакова

в

ІІ с ?



І а

однакова

?

т

ІІ с ?

1. Суму даних числових значень однієї з величин – загальної величини.


3. Шукане значення кількості або часу, відповідаємо на перше запитання задачі.

4. Шукане значення кількості або часу, відповідаємо на друге запитання задачі.

Задачі на пропорційне діленняІІ вид



І а

однакова

?

т

ІІ с ?


Задачі на пропорційне діленняІ вид



І ?

т однакова

в

ІІ ? к

1. Суму даних числових значень однієї з величин – загальної величини.


3. Шукане значення

загальної величини, кількості або часу,

відповідаємо на перше запитання задачі.4. Шукане значення


відповідаємо на друге запитання задачі.

Узагальнення математичної структури та плану розв'язування задач на пропорційне ділення, в яких однаковою є величина

однієї одиниці

План розв’язування1. суму даних числових

значень однієї з величин;

2. значення однакової величини – величини однієї одиниці за сумарними значеннями двох величин;

3. шукане значення у першому випадку, відповідаємо на перше запитання задачі;

4. шукане значення у другому випадку, відповідаємо на друге запитання задачі.



І

однакова

?

ІІ ?



І ?

однакова

ІІ ?



1) 2 + 3 = 5 (т) всього вугілля у великому і малому вагонах

2) 95 : 5 = 19 шт. вагонів великих або малих, однакова величина

3) 2 * 19 = 38 (т) загальна маса вугілля, І день

4) 3 * 19 = 57 (т) загальна маса вугілля, ІІ день

Або: 2 * (95 : ( 2 + 3)) = 38 (т) 3 * (95 : ( 2 + 3 )) = 57 (т)

Перевірка: 38 + 57 = 95 (т)

Відповідь: 38 т вугілля привезли на базу першого дня, 57 т вугілля привезли другого дня.

? ?

? : 2 ? : 3

95 : ?

2 + 3




В. ?

95 т

2 т

однакова

М. ? 3 т


План розв’язування Спосіб знаходження однакової величини

Суму даних числових значень однієї з величин.Значення однакової величини за сумарними значеннями двох інших величин.Шукане значення, відповідаємо на перше запитання задачі. Шукане значення, відповідаємо на друге запитання задачі.

І а

однакова

?

т

ІІ с ?

Підготовча робота до задач на знаходження невідомих за двома різницями1

3

Л.

15

М.

Для дитячого садка купили по однаковій ціні іграшки: ляльки та машини. Ляльок купили на 3 більше, ніж машинок і заплатили за них на 15 грн. більше. Яка ціна ляльки та машини?

В перший день купил 5 коробок кольорових олівців. А другого дня 7 таких самих коробок кольорових олівців і заплатили на 4 гривні більше. Скільки коштує одна коробка кольорових олівців?

І

5

4

ІІ

7

Перетворення задачі на пропорційне ділення у задачу на знаходження невідомих за двома різницями



1) 12 + 8 = 20 (шт.) всього ручок

2) 1200 : 20 = 60 (к) ціна ручки, однакова величина

3) 60 * 12 = 720 (к) вартість синіх ручок

4) 60 * 8 = 480 (к) вартість чорних ручок

Або: 1200 : ( 12 + 8) * 12 = 720 (к)

1200 : ( 12 + 8 ) * 8 =480 (к)

Перевірка: 720 + 480 = 1200 (к)

Відповідь: 7 гривень 20 копійок вартість синіх ручок, 4 гривні 80 копійок вартість чорних ручок.

Вартість (грн) Ціна (грн)


С. ?

12грн

однакова

12

Ч. ? 8

Вартість (грн) Ціна (грн)


С. ?, на 2 грн 40 к більше

однакова

12 шт.

Ч. ? 8 шт.




І ?

т однакова

в

ІІ ? к





Задачі на знаходження невідомих за двома

різницями Загальна ...


І ?, на т б. (м. )

однакова

в

ІІ ? к

1. Різницю даних числових значень однієї з величин – кількості або часу.

2. Значення однакової величини – величини однієї одиниці за різницевими відношеннями двох величин.




ІІ вид



І а

однакова

?, на т б. (м.)

ІІ с ?

1. Різницю даних числових значень однієї з величин – кількості або часу.


І вид Загальна ...


І ?, на т б. (м.) однакова

в

ІІ ? к

1. Різницю даних числових значень однієї з величин – загальної величини.

2. Значення однакової величини – величини однієї одиниці за різницевими відношеннями двох величин.

3. Шукане значення


відповідаємо на перше запитання задачі.4. Шукане значення


відповідаємо на друге запитання задачі.

Documents

Формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів