Площади геометрических фигур

Творческий проект ученицы 8 класса школы при Посольстве РФ в

Великобритании Жаровой МиленыУчитель математики Щербакова В.Б.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую

занимает многоугольник.

1. Равные многоугольники имеют равные площади

Основные свойства площадей

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

S1

S2

S3 S=S1+S2+S3

Формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Площадь квадратаа

а

S=a2

Доказательство:

1

a= 1nn

nПредположим, что S=a2

S большого кв.

=1S маленького кв. =1n2

1n2=(1

n2

)=а =S2

n– целое число

Площадь прямоугольникаа

b

S=a∙b

Доказательство:

a

a

a

a

b b

b

a2

b2

S

S

Проведём дополнительное построение

Sбольшого кв.=

=а +b +2S

2 2

Sбольшого кв.=

=(a+b)==a +2ab+b

2

S=ab2 2

Площадь параллелограммаa

h

S=a∙h

Доказательство:A B

C DH O

Проведём доп.

построения

ACH=BDOпо гипотенузе

и прилежащему

углуSACH+SAHBD=SABCD=SAHBO=AB∙AH

SAHBO=AB∙AH

S=AB∙AH

Площадь треугольника

a

h

S= ah12

Доказательство:A

B C

Проведём доп.

построения

D

H

ABCD - параллелограм

мSABCD=AH∙BCSABC=SADC

SABC= SABCD= AH∙BC12

12

Следствие 1 Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.A

BCS= AC ∙ BC1

2

Следствие 2Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

h1

h2a

b

h1=h2

S1S2

h1h2

=

Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

A

B

C M

N

O

S1S2

AC ∙ BCMO ∙ NO=

Доказательство:

M

N

O

B

CA H1

H2

BH1 – общ. высота BMC и ABC

Наложим ABC на MNO

SABC

SBMC

ACMO

=

MH2 – общ. высота BMC и MNOSBMC

SMNO

BCNO

=

SABCSMNO

AC ∙ BCMO ∙ NO=

Площадь трапецииa

b

h

S= (a+b)∙h12

Доказательство:A B

C DH1

H2

12SABD=

AB∙DH2

SACD= AH1∙CD

12

AH1=DH2

SABD= AB∙AH112

SABCD=SABD+SACD=0,5∙AH1∙CD+0,5∙

AB∙AH1=0,5∙AH1∙(CD+AB)

Дано:ABCD-трапецияAB=21 см CD=17 см; BH=7см-высота Найти: S трапеции ABCDРешение:SABCD= BH×(AB+CD)÷2

SABCD= 7×(21+17)÷2=38×7÷2=19×7=133(см²)

Ответ:133 см²

C D

B

17 см

21 см

A

H

Дано:ABCD-трапеция

AB=CD, B=135°KD=3,4 см; AK=1,4 см

BK-высота

Найти: S трапеции ABCD

Решение:

1)в ΔABK K=90º ABK=135º- KBC=45º

A=90º- ABK=45º

2) Проведём высоту СE,

тогда KBCE-прямоугольник и BC=KE,а ΔDCE-прямоугольный, D=45º

3) ΔABK=ΔDCE по гипотенузе и острому углу(AB=CD, A= D)

DE=AK=1,4 см, значит KE=2см, BC=2см

4) AD=AK+KD=1,4+3,4=4,8см

SABCD= BK×(BC+AD)÷2

SABCD= 1,4×(2+4,8)÷2=4,76(см²)

Ответ:4,76см²

B C

D1,4 см

3,4 см

A

135°

К E

Площадь ромбаA

B

C

D

S=AC∙BD

Доказательство:A

B

C

DO

SABD= AO∙BD1212SBCD= CO∙BD

AO=COSBCD= AO∙BD1

2SABD=SBCD

SABCD=2∙SABD=AO∙BD