Министерство Здравоохранения Республики КазахстанЮжно-Казахстанская ГосударственнаяФармацевтическая Академия

Выражение площади через криволинейные

координатыВыполнил: Сейдуали Е.Проверила: Кыдырбаева А.С.

Шымкент 2013

Криволинейные координаты Общий случай Полярная система координат и

криволинейный сектор. Декартовая система координат Цилиндрические координаты точки М Двойной интеграл в полярных

координатах Вычисление площади через

криволинейные координаты Список использованной литературы

План:

Координаты представляют собой величины, определяющие положение какого-либо элемента (например, точки) на плоскости, в пространстве или на ином многообразии. Необходимое число таких величин определяется размерностью пространства. Координаты вектора называют его компонентами.

Говорят, что в трехмерном пространстве задана система координат , если каждой точке M этого пространства поставлен во взаимно однозначное соответствие набор чисел , и . (Различным тройкам чисел , и соответствуют различные точки пространства). В качестве таких чисел могут выступать декартовы координаты, цилиндрические координаты, сферические координаты и так далее. В общем случае числа , и называются криволинейными координатами точки М.

Криволинейные координаты

Пусть — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

где — функции, определённые в некоторой области наборов координат.

Общий случай

Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

Полярная система координат и криволинейный сектор.

На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом

и расстоянием до полюса r₀=4. На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс. Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями и обратно

Декартовая система координат

Декартовы координаты точки M.

В декартовой системе координат набор чисел , и образован проекциями точки M на три взаимно перпендикулярные оси 0x, 0y и 0z. Декартовы координаты точки обозначаются символами x, y и z.

В цилиндрической системе координат положение точки задается тройкой чисел ρ, φ и z, где ρ – расстояние от точки M до оси 0z( ) φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора OM на плоскость Оху с положительным направлением оси 0х( ); z – проекция точки M на ось 0z ( ).

Цилиндрические координаты точки М

Линия, вдоль которой изменяется только координата , а остальные координаты остаются неизменными, называетсякоординатной -линией. Аналогичным образом определяются координатные -линии.

Координатные линии двухмерной системы криволинейных координат.

Если координатные линии, проходящие через любую точку М пространства, пересекаются под прямым углом, то система координат называется ортогональной. (Напомним, что под углом между линиями в некоторой точке понимается угол между касательными к линиям в этой точке). В частности, декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат являются ортогональными.Пример: ортогональной криволинейной системы координат – полярные координаты (r; φ). В этом случае одно из семейств координатных линий – пучок прямых с центром в полюсе системы координат (координатные линии φ = const), а второе – семейство концентрических окружностей с центром в полюсе системы координат (координатные линии r = const). Отметим, что в случае полярной системы криволинейных координат, как это, кстати говоря, бывает нередко, отсутствует взаимная однозначность отображения D на D1.

Площадь в полярных координатах

Если фигура ограничена кривыми, заданными в полярных координатах, или ее уравнение содержит двучлен

.D

drrdS

22 yx

Вычислить площадь

Фигура ограничена кривыми х+у=2 и442 xy

2

6

22

4

4

2

6

2

4

4

2

6

)14

2(2

2

dyy

ydyxdxdydxdyS

y

y

y

yD

.3

121

Список использованной литературы

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971

Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

Будак В.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды

Картинки по ссылке: http://www.cleverstudents.ru/figures_area_in_polar_coordinates.html и http://commons.wikimedia.org/wiki/File:General_curvilinear_coordinates_1.svg?uselang=ru

Спасибо огромное за внимание=)