МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. М. Бударин, Г. М. Горшков

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Учебное пособие

Ульяновск УлГТУ

2016

УДК 515 (075) ББК 22.151.3 я7 Б90

Рецензенты:

кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Общепрофессиональные дисциплины» УВАУГА (институт) В. В. Брокерт; кандидат технических наук, доцент кафедры «Математическое моделирование технических систем» УлГУ А. Р. Гисметулин

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия Бударин, Александр Михайлович Проецирование геометрических тел : учебное пособие

/ А. М. Бударин, Г. М. Горшков. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. – 105 с.

ISBN 978-5-9795-1614-1 В пособии рассмотрены теоретические и научно-методические основы

проекционного черчения, относящиеся к построению изображений на чертежах геометрических тел на плоскости и способов решения пространственных задач на чертеже.

Комплекс научно-технической и методической информации, содержащейся в пособии, в полной мере обеспечивает студентам возможность самостоятельной разработки чертежей.

Адресовано студентам начальных курсов машиностроительных, радио- и электротехнических направлений обучения.

УДК 515 (075)

ББК 22.151.3я7

Бударин А.М., Горшков Г.М., 2016 ISBN 978-5-9795-1614-1 Оформление. УлГТУ, 2016

Б90

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение..................................................................................................... 4 1. Основы построения изображений геометрических тел ............... 5 1.1. Общие сведения о поверхностях геометрических тел .................. 5 1.2. Задание на чертеже поверхностей геометрических тел ................ 10 2. Сечение геометрических тел плоскостью ..................................... 29 2.1. Общие сведения ................................................................................. 29 2.2. Сечение многогранников плоскостью ............................................ 35 2.3. Сечение тел вращения плоскостью ................................................. 40 2.4. Линии среза ........................................................................................ 50 2.5. Сечение комбинированных геометрических тел наклонной плоскостью ............................................................................. 53 3. Развертывание поверхностей геометрических тел… ................. 57 3.1. Общие сведения ................................................................................. 57 3.2. Развертывание гранных поверхностей ............................................ 58 3.3. Развертывание цилиндрических и конических поверхностей вращения .................................................................................................... 64 4. Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел ......... 71 4.1. Общие сведения ................................................................................. 71 4.2. Построение линии взаимного пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей уровня .................... 76 4.3. Построение линии взаимного пересечения поверхностей способом вспомогательных концентрических сфер ............................. 81 4.4. Построение линии взаимного пересечения поверхностей многогранников ........................................................................................ 85 4.5. Линии перехода ................................................................................. 89 4.6. Проецирование геометрических тел со сквозными отверстиями ............................................................................................... 92 5. Методические рекомендации по содержанию заданий на выполнение чертежей расчетно-графических работ ............... 100 Библиографический список ............................................................... 105

3

ВВЕДЕНИЕ

Формирование деталей машин, механизмов, приборов основано на использовании разнообразных геометрических фигур: точек, отрез-ков линий, отсеков поверхностей, геометрических тел. Наружные и внутренние формы деталей чаще всего образуют сочетанием геометрических тел, к которым относят: призмы, пирамиды, цилиндры вращения, конусы вращения, шары, торы. Вследствие этого изображения на чертежах деталей в большинстве случаев являются проекциями поверхностей перечисленных тел.

Чтобы грамотно читать и разрабатывать чертежи деталей технических форм, необходимо знать графические методы изображения пространственных форм и графические способы решения пространственных задач на плоскости; уметь решать метрические и позиционные задачи геометрического характера на чертежах. Уметь вычерчивать на плоскости изображения основных геометрических тел, выполнять их плоские сечения, строить линии их взаимного пересечения и развертки поверхностей – необходимые условия успешного познания машиностроительного черчения.

Настоящее пособие по составу и структурному построению соответствует утвержденной учебной программе по дисциплине «Инженерная графика и основы проектирования». В нем изложены краткие теоретические положения по ортогональному проецированию геометрических тел и методические рекомендации по выполнению учебных чертежей расчетно-графических работ по этой тематике. В соответствии с этим материал пособия можно разделить на две части.

Первая часть (настоящее пособие) – теоретические положе- ния и методические рекомендации по проецированию геометри-ческих тел.

4

Вторая часть – образцы и варианты заданий для выполнения чертежей расчетно-графических работ по проецированию геометрических тел [1].

В настоящем пособии в систематизированном виде описаны свойства геометрических тел, методы их изображения на плоскости, способы решения пространственных задач на чертеже. Первостепенное внимание уделено методике и практическим приемам построения и чтения изображений на чертежах геометрических тел; методике решения типовых графических задач, характерных для проекционного черчения.

Пособие содержит значительный объем графического материала, который следует использовать в качестве аналога или прототипа при выполнении учебных чертежей расчетно-графических работ.

Пособие может быть использовано также в качестве опорного конспекта лекций по соответствующим учебным темам дисциплины. Его внимательное изучение при выполнении расчетно-графических работ и в процессе подготовки к экзамену будет способствовать повышению эффективности учебного процесса.

1. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

1.1. Общие сведения о поверхностях геометрических тел

Формы технических деталей представляют собой сочетание разнообразных геометрических тел [2].

Г е о м ет р и ч е ск о е т е л о – это ограниченная замкнутая пространственная область. Множество всех внутренних точек тела называют в н у т р е н н е й о б л а ст ь ю твердого тела, а границу этой области – п о в е р х н о ст ь ю тела .

5

Поверхность – это непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону (рис. 1).

Рис. 1. Схема образования криволинейной поверхности

Линию , которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Она может быть прямой или кривой.

Неподвижные линии m и n, которые определяют закон перемещения образующей в пространстве, называют направляющими .

Такой способ образования поверхности называют к и н ем а т и ч е с к и м . Для построения поверхности на чертеже этим способом необходимы исходные данные, однозначно ее определяющие:

1) форма образующей – прямая или кривая линия; 2) форма направляющей или направляющих линий – одной, двух,

трех; 3) закон движения образующей – поступательное, вращательное

или винтовое перемещение.

6

Эту совокупность условий, необходимых для задания на чертеже поверхности, называют о п р ед е л и т е л е м кинематической поверхности.

Форма образующей и форма направляющих линий составляют г е о м ет р и ч е ск у ю часть определителя поверхности. Закон движения образующей относят к а л г о р и т м и ч е с к о й части определителя поверхности.

На рис. 2, а показан пример образования конической поверхности, когда прямолинейная образующая , проходящая через неподвижную точку S, движется по кривой направляющей m. Точку S называют вершиной конической поверхности. Если точка S находится в бесконечности, то перемещением прямолинейной образующей формируется цилиндрическая поверхность (рис. 2, б). В анало-гических условиях, но когда направляющая m – ломаная линия, получаются частные случаи конической и цилиндрической поверхностей – пирамидальная и призматическая поверхности, т.е. гранные поверхности (рис. 2, в, г).

Любая поверхность может быть образована различными путями. Например, прямой круговой цилиндр с кинематической точки зрения может быть получен (рис. 3):

вращением прямолинейной образующей 1 вокруг оси i, ей параллельной;

поступательным движением образующей окружности, когда центр ее скользит по оси i , ей параллельной;

поступательным движением образующей окружности, когда центр ее скользит по оси i цилиндра;

вращением кривой образующей 2 вокруг оси i.

7

Рис. 2. Примеры образования линейчатых поверхностей

8

Рис. 3. Способы образования прямого кругового цилиндра

В инженерной практике из всего многообразия способов образования поверхностей выбирают н а и б о л ее п р о ст ы е , обеспечивающие возможность обработки поверхностей при производстве деталей с наименьшими трудозатратами.

В зависимости от формы образующей поверхности разделяют на л и н е й ч а т ы е (образующая – прямая линия) и н е л и н е й ч а т ы е (образующая – кривая линия).

По признаку развертывания поверхности на плоскость различают:

р а з в ер т ы в а ю щ и е с я поверхности, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок;

неразвертывающиеся поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

9

1.2. Задание на чертеже поверхностей геометрических тел

Cовременные чертежи предметов и изделий должны отвечать ряду основных требований:

а) быть н а г л я д н ы м и , т.е. должны вызывать четкое простран- ственное представление об изображенных предметах;

б) быть о б р ат и м ы м и , т.е. такими, чтобы по ним можно было точно воспроизвести форму и размеры изображенных предметов;

в) быть достаточно п р о ст ы м и с точки зрения их графического исполнения.

Этим требованиям соответствуют чертежи, полученные ортогональным проецированием на две и более взаимно перпендикулярные плоскости проекций; их называют комплексными чертежами.

К о м п л ек с н ы й ч е р т е ж предмета – это изображение на одной плоскости нескольких взаимосвязанных прямоугольных проекций предмета, полученное совмещением плоскостей проекций с плоскостью чертежа.

В зависимости от количества прямоугольных проекций, размещенных на плоскости чертежа, различают:

д в ух п р о е к ц и о н н ы й к о м п л ек с н ы й ч ер т е ж – чертеж, состоящий из изображений предмета на двух плоскостях проекций, совмещенных с плоскостью чертежа;

т р е х п р о ек ц и о н н ы й к о м п л е к сн ы й ч ер т е ж – чертеж, состоящий из изображений предмета на трех плоскостях проекций, совмещенных с плоскостью чертежа.

Чертеж предмета должен содержать м и н и м а л ь н о е к о ли ч е ст в о и зо б р а ж е н и й , но достаточное для исчерпывающего и однозначного отображения его внешних и внутренних форм и рационального нанесения размеров. В основу рационального

10

построения комплексных чертежей предметов с минимальным составом изображений положены принципы кинематического способа з а д а н и я поверхностей геометрических тел (призм, пирамид, цилиндров вращения, конусов вращения и многих других). Рассмотрим кратко основные положения этого способа, регламентирующие состав и количество изображений на чертежах геометрических тел.

Чтобы изобразить на чертеже геометрическое тело, необходимо задать проекции геометрических элементов определителя поверхности тела (образующей и направляющей) и указать закон перемещения образующей. Однако такой чертеж не обладает достаточной наглядностью и выразительностью. С целью устранения этих недостатков чертеж дополняют о ч ер к о в ы м и л и н и я м и поверхности, устанавливают в и д и м о ст ь поверхности относительно плоскостей проекций.

Например (рис. 4), при проецировании поверхности α на фронтальную плоскость проекций проецирующие лучи касаются этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию , которую называют ф р о н т а л ь н ы м к о н т ур о м поверхности. Его фронтальную проекцию называют ф р о н т а ль н ы м о ч ер к о м поверхности. При проецировании г о р и зо н т а л ь н о г о к о н т ур а поверхности m на плоскость π1 получается г о р и з о н т а л ь н ы й о ч ер к поверхности m'. Аналогично может быть изображен на плоскости π3 п р о ф и л ь н ы й о ч е р к поверхности α.

Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если по одной проекции точки, принадлежащей данной поверхности, можно построить ее вторую проекцию.

Способы графического задания поверхностей на чертеже рассмотрим на примерах изображения геометрических тел, нашедших широкое применение в формообразовании деталей машин и механизмов.

11

Рис. 4. Образование очерков поверхности при проецировании геометрического тела

Многогранники

М н о г о г р а н н и к – это замкнутое пространственное тело,

ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Из большого многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы и пирамиды.

П р и з м а (рис. 5) – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а все другие грани (боковые грани) – параллелограммы. Линии пересечения граней называют р е б р а м и .

12

Рис. 5. Примеры прямой и наклонной призм

13

По числу углов основания призмы подразделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные, шестиугольные и т. д.

Призму называют п р я м о й (рис. 5, а), если ее боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, и н а к ло н н о й (рис. 5, б), если не соблюдается это условие.

Прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник, называют п р а в и л ь н о й .

На чертеже призму располагают относительно плоскостей проекций так, чтобы максимальное количество граней проецировалось без искажения. Нижнее основание обычно совмещают с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 5, в, г). Характерными точками призмы, определяющими ее форму и размеры, являются вершины оснований. Построение комплексного чертежа призмы сводится к построению проекций ее вершин и соединению прямыми линиями одноименных проекций с обязательным соблюдением видимости. Профильную проекцию призмы целесообразно строить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 5, в).

Построение п р о е к ц и й т о ч ек , расположенных на поверхности призмы, показано на рис 5, в на примере точки К. Задана фронтальная проекция этой точки – К". Она лежит на фронтальной проекции А"В"В1"А1" грани шестиугольной прямой призмы. Горизонтальная проекция А'В'В1'А1' этой грани – отрезок прямой линии. На этом отрезке и находится горизонтальная проекция К' точки К. Профильная проекция K"' этой точки на поверхности призмы определяется видимостью грани, которой она принадлежит.

П и р а м и д а (рис. 6) – это многогранник, у которого одна грань (основание) – многогранник, а остальные грани (боковые грани) – треугольники с общей вершиной. Стороны граней называют ребрами, а концы ребер – вершинами.

14

Рис. 6. Примеры правильной и усеченной пирамид

15

В зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании, различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные пирамиды и т. д.

Пирамиду называют п р а в и ль н о й , если основание – правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Пирамиду называют у с е ч е н н о й , если вершина ее отсечена плоскостью, пересекающей все ребра, исходящие из этой вершины (рис. 6, б).

Построение комплексного чертежа пирамиды сводится к построению проекций ее вершин и соединению их одноименных проекций прямыми линиями с учетом видимости (рис. 6,в).

Построение проекций точек, расположенных на поверхности пирамиды, выполняют с помощью прямых линий, принадлежащих граням пирамиды. На рис.6,в точка К построена на грани SAC с помощью прямой SN, проведенной через вершину пирамиды и расположенной на этой грани. Точка К во всех проекциях видима, так как видима грань SAC.

Тела вращения

Т е л о в р а щ е н и я – это замкнутая часть пространства,

ограниченная поверхностью вращения. К телам вращения относят: цилиндр вращения, шар, тор, параболоид вращения, гиперболоид вращения и многие другие.

П о в ер х н о с т ь в р а щ е н и я – это поверхность, образованная вращением прямой или кривой линии вокруг неподвижной прямой i- оси вращения (рис. 7 и 8). На комплексном чертеже поверхность вращения обычно располагают так, чтобы ось вращения была перпендикулярна к плоскости проекций.

16

Рис.

7. Н

агля

дное

изо

браж

ение

ком

бини

рова

нног

о те

ла в

ращ

ения

17

Рис.

8. К

омпл

ексн

ый

черт

еж к

омби

ниро

ванн

ого

тела

вра

щен

ия

18

При вращении образующей вокруг оси i все ее точки описывают окружности, которые называют п а р а л л е л я м и поверхности вращения.

Параллели лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения i. Наибольшую из параллелей называют э к в ат о р о м поверхности, а наименьшую – г о р ло м . Когда i π1 , экватор определяет горизонтальный очерк поверхности (рис. 8).

Плоскости, проходящие через ось i, называют м е р и д и о н а л ь н ы м и п ло с к о ст я м и . Линии сечения поверхности вращения меридиональными плоскостями называют м е р и д и ан а м и п о в е р х н о ст я м и (на рис. 8 в качестве примера показан меридиан, полученный сечением поверхности горизонтально проецирующей пл. β ). Меридиан, расположенный в пл. γ // π2 , называют г л а в н ы м ф р о н т а л ь н ы м м е р и д и ан о м . Он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Меридиан, расположенный в пл. σ//π3 , называют г л а в н ы м п р о ф и л ь н ы м м е р и д и ан о м . Он определяет профильный очерк поверхности вращения.

Таким образом, при задании поверхности вращения на чертеже изображают проекции оси вращения, главных меридианов (или одного из них ) и экватора.

При построении проекций точек, расположенных на поверхности вращения, используют параллели, проходящие через эти точки. На рис. 8 показан пример построения горизонтальной проекции К ' точки К по заданной ее фронтальной проекции К " с помощью параллели радиуса R.

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике, так как значительное количество деталей представляет собой тела вращения: валы, оси, зубчатые колеса, втулки, кольца, ролики, шары, поршни и т.д. (рис. 9). Из большого многообразия тел

19

вращения наибольший практический интерес представляют: цилиндр вращения, конус вращения, шар, тор.

Рис. 9. Клапан двигателя, ограниченный поверхностями вращения: сферической (1); торовой (2); конической (3); цилиндрической (4)

Ц и л и н д р в р ащ е н и я (или прямой круговой цилиндр) –

геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными основаниями – кругами.

Ц и л и н д р и ч е с к а я п о в ер х н о с т ь – это след образующей прямой при ее вращении оси i (рис. 10, а). На чертеже цилиндра вращения (рис. 10, б), когда i π1, горизонтальную проекцию изображают в виде круга, который является проекцией обоих оснований цилиндра; окружность представляет собой в ы р о ж -д е н н у ю проекцию цилиндрической поверхности. Во фронтальной и в профильной проекциях цилиндр изображают в виде прямо-угольников, являющихся фронтальным и профильным о ч ер к ам и поверхности. Очерковые образующие определяют границы видимости поверхности.

20

Рис.

10.

Гра

фиче

ское

зада

ние

цили

ндри

ческ

ой п

овер

хнос

ти (а

); че

ртеж

цил

индр

а вр

ащен

ия (б

)

21

Построение п р о е к ц и й т о ч ек А и В, расположенных на поверхности цилиндра, по одной заданной проекции, например, фронтальной, очевидно из чертежа (рис. 10, б). Горизонтальная проекция любой точки будет принадлежать вырожденной проекции цилиндрической поверхности – окружности. Профильная проекция А" точки А построена с помощью линий связи. Профильная проекция В'" точки В найдена координатным способом.

К о н у с в р а щ ен и я (или прямой круговой конус) – геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоским основанием – кругом.

К о н и ч е с к а я п о в ер х н о с т ь – поверхность, образованная вращением прямоугольной образующей вокруг пересекающейся с ней оси i (рис. 11, а). Точку пересечения S образующей с осью i называют в е р ш и н о й конуса. Поверхность σ, описываемую образующей, называют б о к о в о й п о в ер х н о с т ь ю конуса.

На рис. 11, б, в показаны трехпроекционные чертежи конуса вращения, когда i π1 . На пл. π1 конус проецируется в круг, центр которого является проекцией вершины конуса. Круг – горизонтальный очерк поверхности. Фронтальный и профильные очерки поверхности представляют собой равнобедренные треугольники (главные меридианы поверхности), боковые стороны которых равны натуральной величине образующих конуса.

Поверхность конуса вращения покрывает д в а с е м е й с т в а линий: а) образующие (рис. 11, б); б) параллели – окружности переменного радиуса (рис. 11, в). Используя их, легко построить недостающие п р о е к ц и и т о ч е к , лежащих на конической поверхности. Графические построения, выполняемые при нахождении проекций А' и А"' точки А по заданной ее фронтальной проекции, очевидны из приведенных примеров. На пл. π1 и π2 точка А видима, на пл. π3 – невидима.

22

Рис.

11.

Гра

фиче

ское

зада

ние

и об

разо

вани

е ко

ниче

ской

пов

ерхн

ости

(а);

черт

ежи

кону

са в

ращ

ения

(б, в

) 23

Ш а р – геометрическое тело, ограниченное сферой (шаровой поверхностью).

С ф е р а – поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси i , проходящей через ее диаметр (рис. 12, а). Все точки

сферы находятся на одинаковом расстоянии от одной точки – центра сферы О.

На комплексном чертеже на всех плоскостях проекций сферу изображают в виде круга с одинаковым радиусом, равным радиусу сферы (рис. 12, б).

Фронтальный очерк сферы (фронтальная проекция главного фронтального меридиана) а" проецируется на пл. π1 и π3 в виде отрезков прямых линий а', а"', совпадающих с соответствующими проекциями осей вращения сферы.

Профильный очерк сферы (профильная проекция главного профильного меридиана) b'" проецируется на пл. π1 и π3 в виде отрезков прямых линий b', b" , совпадающих с соответствующими проекциями осей вращения сферы.

Горизонтальный очерк сферы (горизонтальная проекция экватора) С" проецируется на пл. π2 и π3 в виде отрезков прямых линий С", С"', совпадающих с соответствующими проекциями осей вращения сферы.

На чертеже осями вращения сферы выбирают диаметры, которые перпендикулярны к плоскостям проекций. Следовательно, на сфере можно построить т р и с е м е й с т в а окружностей, которые являются параллелями поверхности.

Для определения видимости точек и линий, расположенных на сфере, целесообразно использовать секущие плоскости σ, β и γ, проведенные через ее центр (рис. 12, б):

σ – фронтальная плоскость уровня (при определении видимости на пл. π2);

24

Рис.

12.

Гра

фиче

ское

зада

ние

и об

разо

вани

е сф

ерич

еско

й по

верх

ност

и (а

), че

ртеж

шар

а (б

)

25

β – горизонтальная плоскость уровня (при определении видимости на пл. π1 );

γ – профильная плоскость уровня (при определении видимости на пл. π3).

При построении п р о е к ц и й т о ч ек , лежащих на сфере, используют ее параллели (рис. 12, б). Например, по заданной проекции А" точки А с помощью параллели диаметром (12) построена горизонтальная проекция А'. Координатным способом найдена проекция А"' . Точка В находится на экваторе. Ее горизонтальная проекция В' определяется без вспомогательных построений; профильная проекция В"' находится координатным способом.

Т о р – геометрическое тело, ограниченное торовой поверхностью.

Т о р о в а я п о в ер х н о с т ь (ее чаще называют тором) – поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр О (рис. 13).

Когда ось вращения i не пересекает образующую окружность (при t > R), получается о т к р ы т ы й т о р (иначе – круговое кольцо).

Если ось вращения i касается очерка образующей окружности (при t = R), формируется з а м к н у т ы й т о р .

В случае пересечения оси вращения i с образующей окружностью (когда t < R) образуется с а м о п е р е се к а ю щ и й с я т о р .

На рис. 14, в качестве примера, показан трехпроекционный чертеж открытого тора. Окружность 1-2-3-4 и ей симметричную относительно оси вращения называют главным фронтальным меридианом тора. Окружность 5-6-7-8 и ей симметричную называют главным профильным меридианом. Точки 1-5 принадлежат экватору поверхности; точки 3-7-горлу поверхности.

26

Рис. 13. Графическое задание и образование

торовой поверхности

27

Рис.

14.

Чер

теж

отк

рыто

го т

ора

28

Тор имеет д в е си с т е м ы круговых сечений: одну в плоскостях, перпендикулярных к его оси вращения, вторую – в плоскостях, проходящих через ось вращения тора.

При построении п р о ек ц и й т о ч ек на торе используют параллели, получаемые при его сечении плоскостями, перпен-дикулярными к оси вращения. Например, проекции точки А определены с помощью параллели, лежащей в секущей плоскости α1 ; проекции точки В – посредством параллели, получаемой при сечении тора плоскостью α2.

Для определения видимости точек, расположенных на торе, целесообразно использовать плоскости уровня β, γ, δ. Анализ рис. 14 показывает, что точка А видима на всех проекциях тора, а точка В невидима на всех его проекциях.

Из вышеизложенного очевидно, что для задания на чертеже любого геометрического тела необходимо и достаточно построить две его проекции (табл. 1). Нанесение размеров на изображениях тел вращения способствует уменьшению количества проекций, достаточных для задания формы тела. При этом изображают только одну проекцию тела на плоскость, параллельную оси его вращения; вторую проекцию заменяют знаком (диаметр) или (сфера).

2. СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ

2.1. Общие сведения

Формообразование многих технических деталей связано с выполнением плоских срезов. Построение чертежей таких деталей сопровождается необходимостью изображения гео-метрических форм, усеченных плоскостями.

29

Таблица 1 Задание геометрических тел на чертеже

30

На пересечении тел плоскостью основаны графические способы и приемы выявления и отображения на чертежах формы и внутреннего устройства деталей, а также построения разверток гранных и кривых поверхностей.

При пересечении геометрического тела плоскостью получается плоская фигура, которую называют с е ч е н и е м ; плоскость, с помощью которой выполняют пересечение, называют с е к у щ е й п л о ск о ст ь ю . Так, например, сечение многогранника – плоский многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересеченных плоскостью, а число вершин – количеству ребер, пересеченных плоскостью, (рис. 15). При пересечении тел вращения плоскостью получают разнообразные сечения, очертания которых представляют собой окружности, эллипсы, параболы, гиперболы, отрезки прямых линий и др.

Рис. 15. Примеры пересечения геометрических тел плоскостью

Форма сечения непосредственно зависит от вида поверхности, которой ограничено геометрическое тело; расположения тела и секущей плоскости относительно плоскостей проекций; взаимного расположения пересекающихся геометрических образов.

31

Любая из задач на пересечение поверхности тела с плоскостью в общем случае сводится к построению проекций плоской кривой или прямой линии, являющейся их общим элементом. Построение проекций линии производят по ее отдельным точкам. Начинают построение с определения проекций о п о р н ы х т о ч е к , к которым относят:

о ч ер к о в ы е точки – точки, расположенные на очерковых образующих поверхности тела (они определяют границы видимости проекций линии сечения);

э к ст р е м а л ь н ы е точки – точки, находящиеся на максимальных и минимальных расстояниях от плоскостей проекций.

Далее строят п р о м е ж ут о ч н ы е точки линии сечения. Основным способом построения проекций точек линии пересечения поверхности с плоскостью является с п о со б в с п о м о г а т е ль н ы х п р о е ц и р у ю щ и х п ло с к о ст е й (плоскостей – посредников), который заключается в следующем: вводится ряд проецирующих плоскостей, пересекающих данную поверхность по некоторым линиям, а данную секущую плоскость – по прямым. Точки пересечения этих линий с соответствующими прямыми будут точками искомой линии пересечения.

Задачи на построение проекций линии пересечения поверхностей с плоскостью разделяют на три вида (табл. 2): 1 - й в и д з ад а ч – пересекающиеся геометрические образы являются проецирующими в заданной системе плоскостей проекций. На комплексном чертеже две проекции линии пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующей поверхности и проеци-рующей секущей плоскости, обладающими собирательными свойствами.

32

Табл

ица

2 П

риме

ры за

дач

на п

ерес

ечен

ие п

овер

хнос

тей

с пл

оско

стью

33

2 - й в и д з ад а ч – один из пересекающихся геометрических образов является проецирующим, второй – непроецирующим в заданной системе плоскостей проекций. На комплексном чертеже одна проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией проецирующего образа, вторая проекция строится из условия ее принадлежности ко второму непроецирующему образу.

3 - й в и д з ад а ч – оба пересекающихся геометрических образа непроецирующие в заданной системе плоскостей проекций. На комплексном чертеже для получения проекций линии пересечения необходимо выполнить вспомогательные построения с использованием плоскостей-посредников.

Если в задачах 2-го и 3-го видов секущая плоскость занимает общее положение, то с целью упрощения решений и уменьшения количества построений необходимо п р ео б р а з о в а т ь исходные данные (например, способом замены плоскостей проекций) – секущую плоскость перевести в частное положение.

Решение задач на пересечение поверхностей с проецирующей плоскостью рекомендуется выполнять в такой последовательности:

1) произвести анализ исходных данных: выяснить вид геометри-ческого тела и форму его поверхности; установить расположение тела и секущей плоскости относительно друг друга и плоскостей проекций; определить вид решаемой задачи;

2) построить проекции опорных точек (очерковых и экстремальных), затем проекции промежуточных точек линии сечения;

3) разграничить на всех изображениях видимые и невидимые участки проекций линии сечения;

4) проверить правильность построений; обвести изображения с учетом видимости линий, выполнить обозначения и надписи.

34

2.2. Сечение многогранников плоскостью

Сечение многогранника, как отмечалось, представляет собой плоский многогранник с числом сторон, равным числу пересеченных плоскостью граней. Вершины многоугольника, располагаются на ребрах многогранника. Задачи на построение проекций сечений многогранников решают двумя способами:

с п о со б о м р еб е р – находят вершины многоугольника как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью;

с п о со б о м г р ан е й – находят стороны многоугольника как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.

Рассмотрим примеры построения проекций линий пересечения гранных поверхностей с проецирующими плоскостями.

С е ч е н и е п р и зм ы п ло с к о ст ь ю . При пересечении призмы плоскостью могут получаться различные фигуры:

плоский многоугольник, параллельный и равный основанию, если секущая плоскость параллельная основанию (рис. 16, а);

плоский многоугольник, не равный основанию, если секущая плоскость наклонена к ребрам призмы (рис. 16, б, в);

плоский многоугольник для прямой призмы или плоский параллелограмм для наклонной, если секущая плоскость параллельна боковым ребрам призмы (рис. 16, г).

В качестве примера на рис. 17 показано построение трех проекций линии пересечения прямой шестиугольной правильной призмы фронтально проецирующей плоскостью, т. е. решена задача 1 - г о в и д а . Плоскость α пересекает все шесть боковых ребер и граней призмы. Фронтальная проекция сечения представляет собой

35

Рис.

16.

при

меры

сеч

ения

при

зм п

лоск

ость

ю ч

астн

ого

поло

жен

ия

36

отрезок 1" – 4". Он принадлежит фронтальному следу секущей плоскости ( α" ), который обладает собирательным свойством. Горизонтальная проекция сечения совпадает с вырожденной проекцией боковой поверхности призмы. Профильные проекции 1'"... 6'" вершин сечения найдены по принадлежности точек сечения соответствующим ребрам призмы. Соединив точки 1'"…6"', получаем профильную проекцию сечения.

Рис. 17. Прямая шестиугольная призма, пересеченная

37

С е ч е н и е п и р ам и д ы п ло с к о с т ь ю . В зависимости от положения секущей плоскости сечение пирамиды может иметь форму:

плоского многоугольника, подобного основанию, если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды (рис. 18, а);

плоского многоугольника, не подобного основанию, если секущая плоскость наклонена к основанию (рис.18,б);

треугольника, если секущая плоскость проходит через вершину пирамиды (рис.18,в).

Рис. 18. примеры сечения пирамид плоскостью

На рис. 19 показано построение проекций сечения,

получающегося при пересечении правильной шестиугольной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью α. Решена задача 2 -г о в и д а .

Фронтальная проекция сечения представляет собой отрезок 1" – 4", совпадающий с фронтальным следом секущей плоскости. На этом отрезке находятся фронтальные проекции 1" , 2"... 6" точек пересечения боковых ребер пирамиды. Горизонтальные проекции

38

точек 1', 2'... 6 ' найдены с помощью линий связи, перпендикулярных к оси Ох . Профильные проекции точек 1'", 2"'... 6'" построены проведением линий связи, перпендикулярных к оси Оz . Соединив последовательно одноименные проекции точек, находим горизонтальную и фронтальную проекции сечения.

Рис. 19. Правильная шестиугольная пирамида, пересеченная

39

2.3. Сечение тел вращения плоскостью

С е ч е н и е ц и ли н д р а в р а щ е н и я п л о с к о ст ь ю может иметь форму (рис. 20):

круга, если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра; эллипса, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра; прямоугольника, если секущая плоскость параллельна оси

цилиндра.

Рис. 20. примеры сечения цилиндра вращения плоскостью

В качестве примера выполним трехпроекционный чертеж

цилиндра вращения, пересеченного фронтально проецирующей плоскостью, наклоненной к оси цилиндра (рис. 21). Решим задачу 1 -г о в и д а . Фигура сечения – эллипс. Ее фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом пл. σ. Горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра и представляет собой круг.

40

Рис. 21. Цилиндр вращения, пересеченный фронтально

На всех трех плоскостях проекций первоначально отмечаем точки пересечения пл. σ с образующими, которые являются очерковыми относительно пл. π2. Это точки 1 и 7. Отрезок [1-7] –большая ось эллипса. Она спроецировалась в натуральную величину на пл. π2 (1"-7"). Далее отмечаем точки пересечения пл. σ с образующими, которые являются очерковыми относительно пл. π3 . Это точки 4 и 10. Отрезок [4-10] малая ось эллипса. Она спроецировалась в натуральную величину на пл. π1 (4'-10') и на пл. π3 (4'''-10'").

41

Делим горизонтальную проекцию основания на двенадцать равных частей. Из точек деления проводим еще восемь образующих цилиндра и отмечаем точки их пересечения с пл. σ. Это точки 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11 и 12. Соединив профильные проекции этих точек плавной кривой, получаем проекции эллипса.

С е ч е н и я к о н ус а в р а щ е н и я п л о с к о ст я м и называют коническими сечениями. В зависимости от положения секущей плоскости такие сечения могут иметь форму окружности, эллипса, параболы, гиперболы, треугольника (рис. 22).

Пример построения проекций конического сечения показан на рис. 23. Р е ш е н а з а д а ч а 2 - г о в и д а . Фронтально проецирующая плоскость σ пересекает все образующие конуса и не перпендикулярна к его оси, поэтому фигурой сечения является эллипс. На пл. π2 сечение проецируется в отрезок [1"-6"] фронтального следа пл. σ. Он равен натуральной величине большой оси эллипса-сечения. Точки 1" и 6" являются очерковыми относительно пл. π2 . Разделив этот отрезок пополам, находим фронтальную проекцию малой оси эллипса, которая спроецировалась в двойную точку (3"=9").

На пл. π1 и π3 сечение проецируется в эллипсы разной величины и формы. Горизонтальную и фронтальную проекции отрезка [1-6] находим с помощью линий связи. Горизонтальную и профильную проекции отрезка [3-9] строим при помощи горизонтальной плоскости уровня β1, пересекающей поверхность конуса по параллели.

Точки 4 и 8 являются очерковыми относительно пл. π3. По фронтальным проекциям этих точек находим сначала их профильные проекции 4"' и 3"' , а затем – горизонтальные 4' и 8'. Для нахождения проекций промежуточных точек 2, 5, 7, 10 используем горизонтальные плоскости уровня β2 и β3 .

42

Рис.

22.

Кон

ичес

кие

сече

ния

43

Соединив точки 1', 2'...10' плавной кривой линией, получаем эллипс. Фигура, ограниченная этим эллипсом, является гори-зонтальной проекцией сечения конуса. Соединив точки 1"', 2"'...10"' плавной кривой линией, получаем другой эллипс. Фигура, ограниченная этим эллипсом, является профильной проекцией сечения конуса.

Рис. 23. Конус вращения, пересеченный фронтально проецирующей плоскостью

С е ч е н и е ш ар а п л о ск о с т ь ю всегда является кругом. Если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость сечение проецируется в натуральную величину (рис. 24). При пересечении шара проецирующей плоскостью сечение вырождается в отрезок прямой линии, совпадающий со следом секущей плоскости. На две другие плоскости проекций круг проецируется в фигуры, ограниченные эллипсами.

44

Рассмотрим порядок построения трехпроекционного чертежа шара, пересеченного фронтально проецирующей плоскостью σ (рис. 25). Решаем з а д а ч у 2 -г о в и д а .

Построение начинаем с определения проекций опорных точек 1, 2, 3 и 4, являющихся концами взаимно перпендикулярных диаметров сечения-круга. Фронтальные проекции точек 1" и 2" принадлежат фронтальной проекции главного фронтального меридиана. Отрезок [1"-2"] [1-2] . Горизонтальные 1', 2' и профильные 1"', 2"' проекции точек находим с помощью линий связи.

Опустив перпендикуляр из фронтальной проекции центра сферы О"' на фронтальный след σ" секущей плоскости, получаем тройную точку О"1 3" 4", где О"1 – проекция центра сечения. Горизонтальную [3' – 4'] и профильную [3"' 4"'] проекции отрезка [3 – 4] строим с помощью линий связи.

Цифрами 5" и 6" обозначим фронтальные проекции точек пересечения пл. σ с экватором, а цифрами 7'' и 8" – фронтальные проекции точек пересечения пл. σ c главным профильным меридианом. Строим горизонтальные и профильные проекции этих точек, используя координатный способ. Далее находим проекции промежуточных точек 9, 10, 11 и 12, используя плоскости – посредники β1 и β2 , параллельные пл. π1 и пересекающие сферу по параллелям.

Соединив точки 1', 2'….12" плавной кривой линией, получаем эллипс. Фигура, ограниченная этим эллипсом, – горизонтальная проекция сечения. Отрезок [3'- 4'] – большая ось эллипса, отрезок [1' – 2'] – его малая ось.

Соединив точки 1"', 2"'... 12"' плавной кривой линией, получаем другой эллипс. Фигура, ограниченная этим эллипсом, – профильная проекция сечения. Отрезок [3"'- 4"'] – большая ось эллипса, отрезок [1"'-2"'] – его малая ось.

45

Рис. 24. Примеры пересечения шара плоскостью уровня

46

Рис. 25. Шар, пересеченный фронтально проецирующей плоскостью С е ч е н и я т о р а п л о с к о ст ь ю представляют собой плоские

фигуры, ограниченные различного вида кривыми линиями. Как уже отмечалось (см. с. 25), для тора характерны две системы круговых сечений (рис. 26):

сечения, ограниченные окружностями – образующими, когда секущие плоскости проходят через ось вращения тора ( рис. 26, а);

сечения, ограниченные окружностями-параллелями, когда секущие плоскости перпендикулярны оси вращения тора (рис. 26, б ) .

47

Рис. 26. Примеры круговых сечений тора

48

Рис. 27. Разновидности кривых Персея

49

Практическую значимость имеют также сечения (рис. 27), получаемые при пересечении тора плоскостями σ1, σ2, σ3 , σ4 , параллельными его оси вращения. При этом характер кривых линий непосредственно зависит от расстояния между осью вращения тора и секущей плоскостью . Кривые линии имеют форму:

– овала с двумя осями симметрии; – волнообразной кривой; – двухлепестковой кривой с узловой точкой; – овала с одной осью симметрии. Эти кривые линии называют кривыми Персея.

2.4. Линии среза

Л и н и и с р е з а – это линия пересечения поверхности вращения с

секущей плоскостью (плоскостью среза), параллельной оси вращения. Например, при пересечении такой плоскостью сферы линией среза является окружность, при пересечении конуса вращения – гипербола, при пересечении цилиндра вращения – прямые линии (образующие цилиндра). Практическую значимость имеют построения линий среза, образующихся при пересечении плоскостью среза комплексных поверхностей, представляющих собой комбинацию тел вращения. Такие линии часто встречаются на поверхностях деталей технической формы. При выполнении чертежа детали (рис. 28), имеющей линии среза, рекомендуется такая последовательность построения изображений.

1. Вычертить тонкими линиями контуры трех изображений детали, обеспечивая проекционные связи между ними.

2. Установить разновидности поверхностей тел вращения, из ко-торых составлена деталь; наметить границы поверхностей этих тел.

50

Рис.

28.

Пос

трое

ние

лини

и ср

еза

на и

зобр

ажен

ии к

омби

ниро

ванн

ого

тела

вра

щен

ия

51

В рассматриваемом примере деталь составлена из полусферы, части тора, цилиндра и усеченного конуса. Их границы указаны сплошными тонкими линиями.

3. Установить положение плоскости среза относительно детали; изобразить эту плоскость следами.

На рис. 28 плоскость среза σ является фронтальной плоскостью уровня. На пл. π1 и π3 она изображается горизонтальным σ' и про-фильным σ"' следами.

4. Построить проекции линии среза. В нашем примере горизонтальная и профильная проекции линии

среза представляют собой отрезки прямых линий, совпадающих со следами плоскости среза σ' и σ"'. Фронтальная проекция линии среза строится по точкам, начиная с о п о р н ы х точек, лежащих на границах поверхностей.

Полусфера пересекается пл. σ и по окружности радиуса R. Опорная точка 1" находится проведением линии среза на точки 1'. Опорная точка 2" ( и ей симметричная ) расположена на границе по-лусферы и тора. Опорные точки 4" и 5" (и им симметричные) являются концами отрезка – образующей цилиндра, полученной от пересечения цилиндра пл. σ. Они находятся проведением линии связи из точки 4"' 5"' до границы цилиндра. На участке конуса пл. σ пересекает поверхность по гиперболе, вершиной которой является точка 8. Фронтальная проекция опорной точки 8" определяется проведением линии связи из точки 8'.

Чтобы построить кривую линию на участке тора, необходима промежуточная точка 3". Для ее нахождения используем плоскость-посредник β1 – профильную плоскость уровня, которая рассекает тор поокружности. Эта окружность, пересекаясь с σ"', дает точку 3"'. Проведя из этой точки горизонтальную линию связи, находим точку 3".

52

Аналогично находим проекции промежуточных точек 6 и 7, необ-ходимых для построения фронтальной проекции гиперболы на участке конуса. Используем вспомогательные плоскости-посредники β2 и β3. Соединив проекции найденных точек с помощью циркуля, линейки и лекала, получаем фронтальную проекцию линии среза.

5. Обвести все линии, включая и линии среза, принимая толщину линий видимого контура равной 0,8...1,0 мм.

2.5. Сечение комбинированных геометрических тел наклонной

плоскостью

Значительное практическое значение имеют графические задачи, связанные с построением проекций наклонных сечений на комплексных чертежах комбинированных геометрических тел. Комбинированным называют сложнофаcонное геометрическое тело, составленное из совокупности простых тел: призмы, пирамиды, цилиндра вращения, конуса вращения и др. Когда секущая плоскость наклонена к плоскости проекций, то получаемое при этом сечение называют наклонным.

В учебной практике построение проекций и нахождение нату-ральных величин наклонных сечений студенты осваивают на приме-рах сечения проецирующими плоскостями специальных учебных моделей – полых комбинированных геометрических тел. Решение таких задач углубляет и расширяет знания и умения в области проекционного черчения, способствует развитию пространственных (объемных) представлений, логического мышления, обеспечивает эффективную подготовку к чтению и выполнению изображений на рабочих чертежах и эскизах деталей.

53

Построение комплексного чертежа усеченного комбини-рованного геометрического тела рекомендуется выполнять в определенной последовательности (рис. 29).

1. Вычертить тонкими линиями контуры трех изображений заданного геометрического тела, обеспечивая проекционные связи между ними; нанести след (следы) плоскости среза.

Выполнение этого этапа сводится в основном к построению третьего изображения по двум заданным.

2. Провести анализ формы комбинированного тела: мысленно расчленить его на простые геометрические тела, установить вид и границы этих тел.

В рассматриваемом примере комбинированное тело составлено из прямой шестиугольной призмы I, цилиндра вращения II и параллелепипеда III. Границы этих тел указаны сплошными тонкими линиями. Заданное тело имеет продольное сквозное отверстие призматической формы. Секущая фронтально проецирующая плоскость β пересекает каждое тело фронтальная плоскость уровня γ является плоскостью симметрии комбинированного тела.

3. Построить наложенные проекции сечений, образующихся при пересечении секущей плоскости с каждым геометрическим телом и продольным отверстием.

Первоначально следует построить проекции линий пересечения наружных поверхностей тел с секущей плоскостью, а затем - линию пересечения поверхности продольного отверстия с этой же плоскостью. Построение проекций линий пересечения сводится к решению вышерассмотренных задач на пересечение геометрических тел проецирующими секущими плоскостями (см. п. 2.2 и 2.3).

Как видно из чертежа (рис. 29), наклонное сечение модели состоит из двух плоских многоугольников (результат сечения шестиугольной призмы I и параллелепипеда III) и части эллипса

54

Рис.

29.

Ком

плек

сны

й че

ртеж

усе

ченн

ого

поло

го к

омби

ниро

ванн

ого

тела

55

(результат сечения цилиндра вращения II). Фронтальная проекция наклонного сечения принадлежит следу секущей плоскости β". Горизонтальная и фронтальная проекция сечения построены нахождением проекций точек 1, 2, 3, 4 и 5. Проекции вершин плоских многоугольников, опорных и экстремальных точек найдены проведением линий связи и координатным способом. Призматическое продольное отверстие пересечено секущей плоскостью β по четырехугольнику. Его проекции построены с помощью линий связи.

4. Найти натуральную величину наклонного сечения, используя способ замены плоскостей проекций или способ плоскопараллельного перемещения.

На чертеже (рис. 29) применен способ замены плоскостей проек-ций. Система плоскостей проекций х–π2/π1 заменена на новую систему – х1–π4/π2. При этом π4 π2 ; π4 // β; х1 //β". В условиях, когда наклонное сечение симметрично, построение выполнено в такой последовательности:

на свободном месте поля чертежа проведена ось х1 параллельно следу β" секущей плоскости; от этой оси на расстоянии y , взятом на пл. π1, проведена ось симметрии наклонного сечения;

из характерных точек фронтальной проекции сечения 1", 2", 3"... проведены линии связи, перпендикулярные к оси х1;

по линиям связи в обе стороны от оси симметрии сечения отложены отрезки, взятые на пл. π1, т. е. c горизонтальной проекции сечения; это дало возможность найти проекции точек 1,2,3...;

по точкам 1,2,3... построена натуральная величина наклонного сечения комбинированного тела, состоящего из совокупности натуральных величин сечений простых геометрических тел.

5. Проверить правильность построений, обвести изображения с учетом видимости линий; выполнить обозначения и надписи.

56

Окончательный чертеж усеченного комбинированного тела офор-мляют следующим образом: на каждой проекции заданное комбинированное тело и натуральную величину наклонного сечения обводят толстыми основными линиями с учетом их видимости; на плоскостях проекций π1 , π2 и π3 наклонное сечение изображают тонкими сплошными линиями; на всех изображениях наклонное сечение заштриховывают; характерные точки симметричной фигуры сечения обозначают только на одной ее половине.

3. РАЗВЕРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

3.1. Общие сведения

Р а з в ер т к а поверхности геометрического тела – это плоская

фигура, полученная совмещением всей поверхности тела с плос-костью без разрывов и складок. Построение разверток поверхностей выполняют при конструировании изделий из листового материала.

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися. К ним относят линейчатые поверхности: гранные, цилиндрические, конические и торсы. Все остальные кривые поверхности относят к неразвертывающимся. Они не могут быть совмещены с плоскостью без деформаций.

В инженерной практике цилиндрические и конические поверхности часто аппроксимируют (заменяют) вписанными (или описанными) гранными поверхностями и строят п р и б л и ж е н н ы е развертки.

57

Для неразвертывающихся поверхностей строят ус л о в н ы е развертки. При этом поверхности разбивают на части, которые приближенно заменяют развертывающимися поверхностями.

Построение разверток развертывающихся поверхностей основано на использовании трех графических способов: нормального сечения, раскатки, триангуляции (способ треугольников). Каждый из них имеет свою область применения [3].

3.2. Развертывание гранных поверхностей

Р а з в ер т к а гранной поверхности – это плоская фигура, составленная из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Р а з в ер т к и п р и з м строят, как правило, способами нормального сечения и раскатки.

С п о со б н о р м а л ь н о г о с е ч ен и я удобно применять, когда ребра призмы занимают частное положение относительно плоскостей проекций, т . е . являются фронтальными или горизонтальными прямыми уровня. Если не обеспечивается это условие, необходимо преобразовать чертеж способом замены плоскостей проекций. Рекомендуется такая последовательность построения развертки призмы способом нормального сечения (рис. 30):

1) вычертить тонкими линиями призму в двух проекциях. Если боковые ребра призмы занимают общее положение относительно плоскостей проекций, прежде всего необходимо преобразовать их в прямые уровня. В рассматриваемом примере призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее боковые ребра являются фронталями. На пл. π2 они проецируются в натуральную величину;

58

Рис.

30.

Пос

трое

ние

разв

ертк

и пр

измы

спо

собо

м но

рмал

ьног

о се

чени

я

59

2) выполнить нормальное сечение призмы, т . е . пересечь поверх-ность призмы вспомогательной плоскостью σ, перпендикулярной к боковым ребрам. Любым способом преобразования чертежа, например, способом плоскопараллельного перемещения, определить натуральную величину фигуры нормального сечения – Δ123. Стороны Δ123 являются высотами параллелограммов, из которых состоит боковая поверхность призмы;

3) построить полную развертку призмы. На произвольной прямой линии т, проведенной на свободном месте рабочего поля чертежа, отложить натуральные величины сторон нормального сечения [1 2] , [2 3], [3 1]. Через точки 1, 2, 3 провести прямые линии, перпен-дикулярные к прямой т. На этих линиях от точек 1, 2, 3 в обе стороны отложить отрезки, конгруэнтные длинам боковых ребер [1A] , [1D] , [2В], [2Е], ... . Полученные точки А,В,С,А и D,S,F,D соединить отрезками прямых линий. Построенная плоская фигура представляет собой развертку боковой поверхности призмы. К этой плоской фигуре способом засечек необходимо пристроить основания призмы – Δ ABC и ΔDЕF. В результате получим полную развертку призмы;

4) обвести и оформить чертеж. Обводку всех изображений, вклю-чая развертку, выполнить линиями видимого контура толщиной 0,8... 1,0 мм. Линии сгиба на развертке – штрихпунктирные с двумя точка-ми выполнить толщиной 0,4 ... 0,5 мм. Над изображением развертки поместить специальный знак . Его диаметр 12 мм, угол раскрытия стрелки 90°, толщина линий 0,3...0,4 мм. Надписи на изображениях выполнить строчными буквами, цифрами (шрифт №5) и прописными буквами (шрифт №7).

С п о со б р а с к ат к и применяют для построения развертки призмы, когда ее боковые ребра параллельны одной из плоскостей проекций, а основание – параллельно другой плоскости проекций.

Способ основан на использовании свойств вращающейся точки и

60

теоремы о проецировании прямого угла. За ось вращения принимают боковое ребро призмы. Рекомендуется такая последовательность построений (рис. 31):

1) вычертить тонкими линиями призму в двух проекциях. При необходимости преобразовать исходные данные так, чтобы боковые ребра и основание призмы заняли частное положение;

2) построить полную развертку призмы. Принимаем за плоскость развертки фронтальную плоскость уровня β , проходящую, например, через ребро [AD] . Совмещаем грань ADEB с пл. β, поворачивая ее вокруг ребра [AD]=i . Для этого: из точки В" проводим луч, перпендикулярный к [A"D"]; из точки А" дугой радиуса [А'В'] засекаем на луче точку В; через точку В проводим отрезок [BE], параллельный и равный отрезку [В"Е"].

Рис. 31. Построение развертки призмы способом раскатки

61

Из построений видно, что точка А при ее вращении перемещается во фронтально проецирующей плоскости γ1, перпендикулярной к ребрам призмы. Луч, проведенный через точку В", является фронтальным следом пл. γ1 .

Для нахождения точек С и А выполняем аналогичные построения, используя вспомогательные плоскости γ2 и γ3 . Соединив построенные точки прямыми и пристроив основания, получаем полную развертку призмы;

3) обвести и оформить чертеж (с учетом изложенных выше тре-бований).

Р а з в ер т к и п и р а м и д строят способом триангуляции (треугольников). Построение развертки боковой поверхности сводится к изображению совокупности прилегающих друг к другу натуральных величин треугольных граней. На рис. 32 показан пример построения полной развертки треугольной пирамиды, усеченной фронтально проецирующей плоскостью σ. Основание пирамиды параллельно пл. π1. Рекомендуется такая последовательность подобных построений:

1) вычертить тонкими линиями пирамиду в двух проекциях; 2) определить натуральные величины ребер SA, SB и SC (в

примере использован способ вращения ребер вокруг оси i π1 и проходящей через вершину пирамиды S); определить натуральную величину фигуры сечения – Δ123 (в примере применен способ плоскопараллельного перемещения);

3) построить полную развертку пирамиды (в рассматриваемом примере построение развертки ясно из чертежа);

4) обвести и оформить чертеж (с учетом изложенных ниже требований).

62

Рис.

32.

Пос

трое

ние

разв

ертк

и пи

рами

ды с

посо

бом

триа

нгул

яции

(тре

угол

ьник

ов)

63

3.3. Развертывание цилиндрических и конических поверхностей вращения

Р а з в ер т к и ц и л и н д р и ч е ск и х п о в ер х н о с т ей в р а щ е н и я

строят графоаналитическим способом, способами нормального сечения и раскатки [4].

Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о со б построения развертки цилиндра применяют в простейших случаях (рис. 33), когда заранее известно, что разверткой боковой поверхности будет прямоугольник. Одна его сторона равна длине образующей, а вторая – длине окружности основания πD. Для получения полной развертки по-верхности добавляют два круга-основания цилиндра.

Рис. 33. Построение развертки цилиндра вращения графоаналитическим способом

С п о со б ы н о р м а л ь н о г о с е ч ен и я и р а с к ат к и являются

основными при построении приближенных разверток цилиндри-ческих поверхностей. Для применения способов цилиндрическую

64

поверхность аппроксимируют вписанной (или описанной) призматической поверхностью. Замена цилиндрической поверхности гранной (с большим числом граней) позволяет построить приближенную развертку. Рекомендуется такая последовательность построений таких разверток (рис. 34):

1) вычертить тонкими линиями исходные данные. В рассматри-ваемом примере задан цилиндр вращения, усеченный фронтально проецирующей плоскостью σ. Сечение представляет собой эллипс. Его фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом плоскости σ. Отрезок [1"- 7"] равен большой оси эллипса. На пл. π' эллипс проецируется в окружность, которая совпадает с вырожденной проекцией цилиндра. Отрезок [10'-4']=D равен малой оси эллипса. Основание цилиндра является его нормальным сечением;

2) цилиндрическую поверхность аппроксимировать призма-тической поверхностью. Делим окружность основания цилиндра на 12 равных частей. Через точки деления проводим фронтальные проекции образующих цилиндрической поверхности. Эти обра-зующие являются ребрами призмы, которой заменена цилиндри-ческая поверхность. На пл. π2 образующие спроецировались в натуральную величину. Фронтальные проекции точек встречи образующих с секущей плоскостью расположены на следе этой плоскости;

3) построить развертку боковой поверхности цилиндра. Для этого проводим прямую линию и на ней откладываем хорды, стягивающие дуги нормального сечения. Из полученных точек восстанавливаем перпендикуляры и откладываем на них натуральные размеры соответствующих образующих. Концы этих отрезков совпадают с точками эллипса. Полученные точки соединяем плавной лекальной кривой, которая представляет собой синусоиду. Эта фигура и будет

65

Рис.

34.

Пос

трое

ние

разв

ертк

и ус

ечен

ной

част

и ци

линд

ра в

ращ

ения

спо

собо

м но

рмал

ьног

о се

чени

я

66

разверткой боковой поверхности усеченного цилиндра, построенной способом нормального сечения;

4) дополнить развертку боковой поверхности натуральными величинами сечения и основания цилиндра. Натуральная величина сечения может быть построена любым способом преобразования чертежа или одним из способов геометрических построений. На рис. 34 использованы два варианта таких построений;

5) обвести и оформить чертеж (с учетом изложенных выше требований) .

Р а з в ер т к и п о в ер х н о с т ей к о н у с о в в р а щ е н и я выполняют графоаналитическим способом и способом триангуляции.

Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о с о б основан на построении развертки боковой поверхности конуса (рис. 35) по предварительно подсчитанному параметру – углу кругового сектора:

где R – радиус окружности основания в мм; – длина образующей в мм. Радиус сектора определяется длиной образующей. Длина дуги сектора равна длине окружности основания. Пристроив основание, получают полную развертку поверхности конуса вращения.

С п о со б т р и ан г у л я ц и и позволяет построить приближенную развертку боковой поверхности конуса вращения. Для реализации способа коническую поверхность аппроксимируют вписанной (или описанной) пирамидальной поверхностью. Построение развертки целесообразно вести в такой последовательности (рис. 36):

1) вычертить тонкими линиями конус в двух проекциях, провести анализ исходных данных. В рассматриваемом примере задан конус вращения, усеченный фронтально проецирующей плоскостью σ. Фигура сечения – эллипс. Фронтальная проекция сечения совпадает

67

со следом секущей плоскости. Отрезок [1" – 7"] равен большой оси эллипса. На пл. π1 сечение спроецируется в эллипс;

2) коническую поверхность аппроксимировать пирамидальной поверхностью; построить горизонтальную проекцию сечения. С этой целью делим окружность основания конуса на 12 равных частей. Через полученные точки на пл. π1 и π2 проводим проекции вспомогательных образующих. В результате этих построений коническая поверхность заменена вписанной пирамидальной поверхностью.

Рис. 35. Построение развертки конуса вращения графоаналитическим способом

Далее отмечаем фронтальные проекции точек сечения 1"...12", лежащих на следе секущей плоскости σ"; с помощью линий связи находим их горизонтальные проекции 1'...12'. Поделив большую ось эллипса пополам, находим фронтальную проекцию малой оси эллипса [К"М"]. Ее горизонтальную проекцию [K'M'] строим с помощью параллели.

68

Рис.

36.

Пос

трое

ние

разв

ертк

и ус

ечен

ной

част

и вр

ащен

ия с

посо

бом

триа

нгул

яции

69

Натуральную величину отрезков образующих (ребер пирамиды), определяющих кривую сечения, находим способом вращения образующих вокруг оси вращения конуса до совмещения с пл. γ. Для реализации этого способа достаточно фронтальные проекции точек сечения снести на любую крайнюю образующую конуса;

3) построить развертку боковой поверхности конуса. Проводим ось симметрии развертки, на которой берем произвольную точку S . Из этой точки радиусом, равным натуральной величине образующей конуса , описываем дугу. На этой дуге от оси симметрии в обе стороны откладываем 12 хорд, каждая из которых стягивает дугу окружности основания между соседними точками делений.

Полученные точки соединяем с вершиной S прямыми – образующими. На этих прямых от вершины S откладываем натуральные величины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости. Полученные точки соединяем плавной лекальной кривой;

4) дополнить развертку боковой поверхности натуральными величинами сечения и основания конуса. Натуральная величина сечения может быть найдена любым способом преобразования чертежа или одним из способов геометрических построений. На рис. 36 она определена способом замены плоскостей проекций;

5) обвести и оформить чертеж (с учетом изложенных выше требований).

70

4. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

4.1. Общие сведения

Детали технических форм состоят из сочетаний разнообразных

геометрических тел. Поверхности этих тел, пересекаясь между собой, образуют пространственные линии, называемые л и н и я м и п е р е с е ч е н и я . Знание характера линий взаимного пересечения поверхностей, умение строить проекции этих линий – необходимые условия правильного понимания, чтения и выполнения чертежей деталей.

В качестве примера на рис. 37 показаны варианты конструкции крышки подшипника, используемой в редукторах. Несмотря на внешнее сходство изображений, в основу их образования взяты различные геометрические тела вращения – цилиндр, тор, шар. Правильно прочитать изображения детали позволяет форма линий пересечения поверхностей (на рисунке эти линии выделены утолщением).

Рис. 37. Примеры форм линий пересечения поверхностей крышки редуктора

В зависимости от вида поверхностей линия их взаимного пересе-чения может быть ломаной, состоящей из отрезков прямых или участков плоских кривых, а также пространственной кривой линией.

71

Любая из этих линий определяется точками, принадлежащими одновременно каждой из пересекающихся поверхностей. Изображение линий пересечения поверхностей на чертежах деталей сравнительно часто связано с необходимостью выполнения специальных графических построений. Для выполнения таких построений разработано значительное число способов.

Линии взаимного пересечения многогранных поверхностей строят, в основном, способом ребер или способом граней. Часто эти два способа комбинируют.

Линии пересечения многогранных поверхностей с поверхностями вращения, а также линии взаимного пересечения поверхностей вращения строят с п о со б о м в с п о м о г ат е л ь н ы х с ек ущ и х п о в е р х н о ст е й - п о ср ед н и к о в . Сущность способа показана на рис. 38.

Рис. 38. Схема построения точек линии пересечения двух поверхностей с помощью поверхности-посредника

72

Заданные поверхности σ1 и σ2 пересекают поверхностью-посред-ником β. Тогда σ1 ∩ β=m; σ2 ∩ β=n. Построив линии m и n, находят две точки их взаимного пересечения – А и В. Эти точки принадлежат одновременно трем поверхностям – двум заданным и вспомогательной, а, следовательно, и искомой линии пересечения. Используя несколько поверхностей-посредников, находят требуемое количество точек. Последовательно соединяя их плавной кривой линией, получают искомую линию пересечения.

Построение проекции линии пересечения поверхностей, как и линии пересечения поверхностей с плоскостью (см. п. 2.1), начинают с определения проекций о п о р н ы х (характерных) точек, к которым относят:

э к ст р е м а л ь н ы е (крайние) точки – наивысшие и наинизшие, крайние левые и крайние правые, передние и задние относительно каждой плоскости проекций;

о ч ер к о в ы е точки – точки видимости, расположенные на очерковых образующих, пересекающихся поверхностей (они отделяют видимую часть проекции линии пересечения от невидимой на каждой плоскости проекций); в ряде случаев часть опорных точек может быть определена или без дополнительных построений, или на основе простых геометрических построений.

Используя поверхности-посредники, находят проекции ряда промежуточных (случайных) точек искомой линии пересечения.

В качестве поверхностей-посредников используют: плоскости уровня, проецирующие плоскости, плоскости общего положения, сферические цилиндрические к конические поверхности. Посредники выбирают так, чтобы они пересекали заданные поверхности по п р о ст е й ш и м л и н и я м – прямым или окружностям. Наиболее часто применяют плоскости уровня и концентрические сферы. В зависимости от этого различают два основных способа решения

73

графических задач: способ вспомогательных секущих плоскостей уровня и способ вспомогательных концентрических сфер. Сравнительно часто применяют комбинированный вариант решения задач, используя оба способа.

Сложность графических задач на построение линий пересечения непосредственно зависит от вида поверхностей пересекающихся геометрических тел, расположения поверхностей относительно плоскостей проекций и их взаимного расположения. В зависимости от этого задачи на построение проекций линии пересечения поверхностей, как и при построении линий пересечения поверхностей с плоскостью (см. п. 2.1), подразделяют на следующие три вида (табл. 3).

1 - й в и д з ад а ч – поверхности обоих пересекающихся тел являются проецирующими в заданной системе плоскостей проекций. На комплексном чертеже две проекции линии пересечения совпадают с вырожденными проекциями поверхностей: третью проекцию строят с помощью линий связи.

2 - й в и д з ад а ч – поверхность одного тела проецирующая, а другого тела – непроецирующая в заданной системе плоскостей проекций. На комплексном чертеже одна проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией проецирующей поверхности; вторую проекцию строят из условия ее принадлежности ко второй непроецирующей поверхности с помощью поверхностей-посредников; третью проекцию строя с помощью линий связи.

3 - й в и д з ад а ч – обе пересекающихся поверхности непроецирующие в заданной системе плоскостей проекций. На комплексном чертеже проекции линии пересечения поверхностей строят с помощью поверхностей-посредников.

74

Табл

ица

3 За

дачи

на

взаи

мное

пер

есеч

ение

пов

ерхн

осте

й ге

омет

риче

ских

тел

75

Рекомендуется следующий общий план решения задач: 1) вычертить тонкими линиями в трех проекциях контуры

пересекающихся поверхностей; 2) провести анализ геометрической формы и положения

пересекающихся поверхностей; установить вид решаемой задачи и состав проекций

линии пересечения, требующих построения; 3) найти проекции экстремальных и очерковых точек линии пере-

сечения; 4) выбрать рациональный способ построения и построить

проекции промежуточных точек линии пересечения; 5) соединить полученные точки в определенной последо-

вательности и тем самым построить проекции искомой линии пересечения; на каждой плоскости проекций провести анализ видимости всех участков этой линии;

6) проверить правильность построений; обвести изображения с учетом видимости линий; выполнить обозначения и надписи.

Во многих задачах, решаемых при выполнении расчетно-графических работ, сначала необходимо построить фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения, а по этим проекциям – профильную. На чертеже задачи следует обозначить минимальное количество точек. У симметричных линий пересечения поверхностей достаточно обозначить точки только на одной половине линии.

4.2. Построение линии взаимного пересечения поверхностей

способом вспомогательных секущих плоскостей уровня

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня приме-няют, когда обе пересекающихся поверхности возможно пересечь по графически простым линиям – прямым или окружностям. Способ широко используют при построении линий пересечения:

76

а) двух поверхностей вращения, оси вращения которых располагаются перпендикулярно одной из плоскостей проекций;

б) поверхности вращения с многогранником; в) двух многогранных поверхностей. Сущность способа рассмотрим на примерах решения

конкретных задач. На рис. 39 показано построение линии пересечения поверхностей

усеченного конуса вращения и профильно-проецирующего полу-цилиндра вращения. Решена задача 2-го вида. Фронтальная плоскость уровня γ является плоскостью симметрии обоих тел.

Профильная проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией боковой поверхности полуцилиндра – дугой полуокружности, на которой находятся точки 1"' 5"';2"' 4"';3"' и им симметричные. Решение задачи сводится к построению фронтальной и горизонтальной проекций линии пересечения. Построение проекций очерковых точек 1, 3 и 5 очевидно из чертежа.

Для нахождения проекций промежуточных точек 2, 4 и им симметричных использована вспомогательная секущая плоскость уровня β (горизонтальная). Она проведена между высшими 1, 5 и низшими 3 и ей симметричной точками. Плоскость β пересекла поверхность усеченного конуса по окружности (параллели) радиуса R, a поверхность полуцилиндра – по двум образующим (прямым линиям), положение которых определяется на профильной проекции (см. точку 2"' и ей симметричную). Горизонтальные проекции образующих полуцилиндра построены координатным способом; проекция параллели представляет собой окружность радиуса R. Пересечение этих вспомогательных линий сечения дает проекций четырех промежуточных точек 2', 4' и им симметричных.

77

Рис.

39.

Пос

трое

ние

лини

и пе

ресе

чени

я по

верх

ност

ей у

сече

нног

о ко

нуса

вра

щен

ия

спос

обом

всп

омог

ател

ьны

х се

кущ

их п

лоск

осте

й ур

овня

78

Они принадлежат горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей, фронтальные проекции точек 2", 4" и им симметричных найдены с помощью линий связи; они расположены на фронтальном следе секущей плоскости β".

Найденные одноименные проекции точек соединены лекальными кривыми. Линия пересечения поверхностей представляет собой пространственную кривую линию. Большая точность ее построения может быть получена введением нескольких вспомогательных секущих плоскостей уровня.

На рис. 40 с использованием способа вспомогательных плоскостей уровня построена линия пересечения поверхностей конуса вращения и фронтально проецирующей призмы. Решена задача 2-го вида. Фронтальная проекция линии пересечения поверхностей совпадает с фронтальными проекциями боковых граней призмы. Следовательно, решение задачи сводится к построению горизонтальной и профильной проекций линии пересечения.

Коническая поверхность пересекается гранями призмы по окружности (нижняя грань), неполному эллипсу (левая грань) и неполной параболе (правая грань). При их построении использованы способы, изложенные в гл. 2. Горизонтальные проекции опорных точек 1, 11, 2, 21, 3, 31 линий пересечения построены с помощью параллелей конуса, образующихся при его пересечении плоскостями β1 и β4. Профильные проекции этих точек найдены координатным способом.

В качестве промежуточных выбраны точки 4, 41, 5, 51, 6, 61. Точки 4 и 41 являются концами малой оси эллипса. При построения точек 4, 41, 5, 51 использована параллель конуса, образующаяся при его пересечении вспомогательной секущей плоскостью уровня β3.

79

Рис.

40.

Пос

трое

ние

лини

и пе

ресе

чени

я по

верх

ност

ей к

онус

а вр

ащен

ия и

при

змы

сп

особ

ом в

спом

огат

ельн

ых

секу

щих

пло

скос

тей

уров

ня

80

Очерковые точки 6 и 61 определяют границы видимости линий пересечения поверхностей на плоскости π3. Проекции этих точек построены введением вспомогательной секущей плоскости уровня β2.

Соединяем одноименные проекции точек плавными кривыми или дугами окружности – получаем проекции линий пересечения поверхностей. Как видно из чертежа, они представляют собой два замкнутых контура, состоящих из участков плоских кривых – частей окружности, эллипса и параболы.

4.3. Построение линии взаимного пересечения поверхностей

способом вспомогательных концентрических сфер

Способ вспомогательных концентрических сфер основан на особенностях пересечения с о о сн ы х (имеющих общую ось) поверхностей вращения (рис. 41):

соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям (параллелям);

плоскости этих окружностей перпендикулярны к оси вращения. Если одна из соосных поверхностей вращения – сфера, то она пе-

ресекает другую поверхность по окружностям (параллелям), число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов поверхностей. Когда ось пересекаемой поверхности вращения перпендикулярна к плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения (окружность проецируется без искажения; на другие плоскости проекций она проецируется в виде о т р ез к о в прямых, перпендикулярных к проекциям оси вращения. Перечисленные свойства сферы с центром на оси поверхности вра-щения и положены в основу способа вспомогательных концентри-ческих сфер. Пересекая сферами-посредниками поверхности тел вращения, находят точки линии их взаимного пересечения.

81

Рис. 41. Построение линий пересечения соосных

поверхностей вращения

Обычно этот способ используют в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей.

Способ сфер применяют при построении линии пересечения поверхностей, если выполняются следующие три условия:

1) пересекаются поверхности вращения; 2) оси этих поверхностей пересекаются; 3) оси вращения поверхностей параллельны одной из плоскостей

проекций. Центр вспомогательных концентрических сфер располагают в

точке пересечения осей заданных поверхностей вращения. Радиусы сфер берут в диапазоне Rmах... R min .

82

Сфера максимального радиуса (Rmax) – сфера, радиус которой определяется самой удаленной от центра точкой пересечения контур-ных образующих поверхностей.

Сфера минимального радиуса (Rmin) – сфера, вписанная в большую поверхность и пересекающая другую.

Использование способа вспомогательных концентрических сфер рассмотрим на конкретном примере.

Заданы две поверхности вращения – коническая и цилиндрическая (рис. 42). Оси этих поверхностей пересекаются и параллельны пл. π2. Следовательно, исходные данные отвечают условиям применения способа вспомогательных концентрических сфер. Решается задача второго вида, так как цилиндрическая поверхность занимает проецирующее положение относительно пл. π3, а коническая поверхность – непроецирующая в любом положении. Профильная проекция линии пересечения уже имеется на чертеже – она совпадает с вырожденной проекцией цилиндрической поверхности. Следовательно, необходимо построить ее фронтальную и горизонтальную проекции.

У заданных пересекающихся поверхностей есть общая фронтальная плоскость симметрии β. Пересекаем этой плоскостью обе поверхности (проводим след β ' ) . Главные фронтальные меридианы поверхностей пересекаются и дают о ч е р к о в ы е т о ч к и 1 и 5 – точки видимости линии пересечения относительно пл. π2 или самую высокую 1 и самую низкую 5 точки. Первоначально отмечаем фронтальные проекции этих точек – 1" и 5", затем горизонтальные проекции – 1' и 5'. Профильные проекции 1"' и 5"' находим с помощью линий связи.

Проекции других точек линии пересечения находим посредством вспомогательных концентрических сфер с центром в точке О пересечения осей заданных поверхностей.

83

Рис.

42.

Пос

трое

ние

прое

кций

лин

ии п

ерес

ечен

ия п

овер

хнос

тей

усеч

енно

го к

онус

а вр

ащен

ия

и ци

линд

ра в

ращ

ения

спо

собо

м вс

помо

гате

льны

х ко

нцен

трич

ески

х сф

ер

84

Радиусы сфер-посредников изменяем в пределах Rmin< R < Rmax. Радиус максимальной сферы определяется самой удаленной от центра О очерковой точкой 5 линии пересечения (Rmax=[О"5"]). Радиус минимальной сферы определяется нормалью, проведенной из центра О на поверхность конуса (Rmin =[О"A"]. Сфера с Rmin касается поверхности конуса по окружности – параллели, фронтальной проекцией которой является отрезок [А"В"]. Цилиндрическую поверхность она пересекает по окружности, проецирующейся на пл. π2 в отрезок [C'D"]. Пересечение этих отрезков дает фронтальные проекции двух крайних правых точек линии пересечения поверхностей – точку 2 и ей симметричную. Горизонтальные проекции этих точек находим с помощью окружности-параллели радиуса r .

Аналогично строим проекции точек 3 к ей симметричной – точек границы видимости линии пересечения поверхностей на пл. π1 . При этом применяем сферу α1, которую проводим с таким расчетом, чтобы она пересекла конус по окружности, лежащей в осевой плоскости цилиндра. Сфера α1 позволила также построить проекции точек 4 и ей симметричной.

Используя сферу α2 произвольного радиуса, находим проекции промежуточных точек 5 и ей симметричной. Проведя достаточное количество сфер, можем получить множество точек линии пересе-чения поверхностей. Одноименные проекции пространственных точек соединяем лекальными кривыми с учетом видимости их частей.

4.4. Построение линии взаимного пересечения поверхностей

многогранников Относительное положение пересекающихся многогранников

может быть весьма разнообразным. При этом различают два основных случая их взаимного пересечения:

85

п о лн о е п р о н и ц а н и е одного многогранника другим или полное пересечение; поверхности многогранников пересекаются по двум пространственным ломаным линиям – линии входа одного мно-гогранника в другой и линии выхода;

н е п о л н о е п р о н и ц ан и е (врезка), когда один многогранник частично пересекается другим; линия пересечения поверхностей представляет собой одну замкнутую пространственную ломаную ли-нию.

Ломаные линии – многоугольники. Они состоят из отрезков прямых (звеньев), по которым взаимно пересекаются грани многогранников. Вершинами таких многоугольников являются точки пересечения ребер каждого многогранника с гранями другого.

При построении линии взаимного пересечения поверхностей многогранников многократно решается задача либо на пересечение прямой с плоскостью, либо на пересечение двух плоскостей. Из этого следуют два основных способа графических построений:

с п о со б р еб е р – находят вершины линии пересечения поверхностей как точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого;

с п о со б г р ан ей – строят звенья линии пересечения поверхностей как линии пересечения граней многогранников.

При решении графических задач любым способом используют вспомогательные секущие плоскости – плоскости общего положения, проецирующие и уровня. Это значительно упрощает, снижает трудоемкость построений.

Решение задач на построение линии взаимного пересечения поверхностей многогранников рекомендуется выполнять по следующей схеме:

86

1) выявить ребра каждого многогранника, которые не пересе-каются с гранями другого, и тем самым определить вид решаемой задачи;

2) построить проекции точек взаимного пересечения ребер одного многогранника с гранями другого или проекции линий пересечения граней многогранников;

3) соединить последовательно между собой найденные точки, имея в виду, что соединять можно лишь точки, лежащие на общих гранях двух многогранников;

4) установить видимость полученных линий, соблюдая следующие условия: а) видимыми звеньями ломаной линии на каждой проекции будут те, которые принадлежат видимым на этой проекции граням многогранников; б) если одна из пересекающихся граней, в которой лежит звено линии пересечения, невидимая, то и звено этой линии будет невидимым.

В качестве примера на рис. 43, а показаны графические построе-ния линии пересечения треугольной пирамиды SАBС и треугольной призмы DEFD1E1F1 их полном проницании. Каждое боковое ребро пирамиды пересекается двумя гранями призмы: ребро SA – в точках 1 и 4, ребро SB – в точках 2 и 5, ребро SC – в точках 3 и 6. Соединив каждые две точки, принадлежащие одной и той же грани призмы или пирамиды, отрезками прямых с учетом их видимости, получаем две замкнутые ломаные линии 1–2–3 и 4–5–6, построенные способом ребер. Звенья 2–3 и 5–6 на фронтальной плоскости проекций невидимы, так как они принадлежат невидимой на этой плоскости проекций грани пирамиды SВС.

На рис. 43, б показано неполное проницание тех же геометрических фигур – треугольной пирамиды SABC и треугольной призмы DEFD1E1F1 . Ребро SА пирамиды в пересечении не участвует.

87

Рис.

43.

Пос

трое

ние

прое

кций

лин

ий п

ерес

ечен

ия п

овер

хнос

тей

треу

голь

ных

пира

миды

и п

ризм

ы п

ри и

х по

лном

(а) и

неп

олно

м пр

ониц

ании

(б)

88

Ребро ЕЕ1 призмы пересекает грани SАВ и SАС пирамиды в точках 1 и 4. Для нахождения проекций этих точек введена горизон-тально проецирующая плоскость β, проведенная через ребро ЕЕ1 призмы и вершину S пирамиды. Плоскость β пересекла пирамиду по треугольнику S78. Его стороны S7 и S8 в пересечении с ребром ЕЕ1 определяют проекции искомых точек 1 и 4.

Построение проекций точек пересечения ребер SВ и SС пира-миды с гранями призмы очевидно из чертежа.

В результате неполного проницания многогранников получена одна замкнутая пространственная ломаная линия пересечения 1–2–3–4–5–6–1. Ее вершинами являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого.

4.5. Линии перехода

В конструкциях многих технических деталей, в особенности

изготовленных из отливок и штамповок, нет явно выраженных линий пересечения поверхностей. Выполняют плавные переходы от одной поверхности к другой при посредстве третьей сопрягающей поверхности относительно большой кривизны.

На чертежах таких деталей в местах сопряжения поверхностей сплошными тонкими линиями изображают л и н и и п е р ех о д а воображаемые линии пересечения поверхностей (рис. 44). Линии перехода проводят там, где находилась бы линия пересечения поверхностей при отсутствии сопрягающей поверхности. Ее не доводят до контура детали (рис. 44, б, г, д, е). По своей форме линия перехода должна приближаться к линии пересечения поверхностей при точном ею построении. В ряде случаев линию перехода не изображают, если при этом не нарушается представление о форме детали.

89

Рис. 44. Примеры упрощенного изображения линий пересечения и перехода

90

На чертежах сложнофасонных и крупногабаритных деталей изображение линий перехода возможно только посредством применения известных способов вспомогательных секущих плоскостей (рис. 45).

Рис. 45. Линии перехода в технических формах (построены способом секущих сфер)

91

4.6. Проецирование геометрических тел со сквозными отверстиями Освоение методики и техники построения проекций простых и

комбинированных геометрических тел, имеющих сквозные поперечные и продольные отверстия (окна, вырезы) различных форм, – весьма значительный этап подготовки студентов к составлению и чтению комплексных чертежей деталей машин и приборов. Особенно важно научиться строить трехпроекционные чертежи таких тел по одной-двум заданным проекциям.

Построение недостающих проекций геометрических тел с отверстиями сводится к многократному построению проекций линий взаимного пересечения поверхностей в разнообразной их сочетании. Применяют описанные выше способы (см. п. 4.1 ... 4.4) нахождения проекций линий пересечения поверхностей с использованием поверхностей-посредников.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей наиболее часто используют проецирующие плоскости и плоскости уровня.

В учебной практике проецирование геометрических тел со сквозными отверстиями студенты осваивают посредством построения трехпроеционных чертежей специальных учебных моделей. Решаются задачи двух видов:

первый вид задач (рис. 46) имеет целью освоение методики и тех-ники построения комплексных чертежей простых или комбинированных геометрических тел с одним сквозным поперечным, как правило, сложнофасонным отверстием (окном, вырезом);

второй вид задач (рис. 47) основан на построении трехпроекционных чертежей простых геометрических тел с двумя сквозными отверстиями – поперечным и продольным.

92

Рис. 46. Примеры задач на построение трехпроекционных

чертежей геометрических тел с одним поперечным отверстием

При решении задач обоих видов графические построения

рекомендуется выполнять в следующем порядке: 1) изучить исходное задание, провести анализ геометрических

форм основного тела, поперечного и продольных отверстий; установить предположительный состав проекций линий пересечения поверхностей, требующих построения;

93

Рис.

47.

При

меры

зада

ч на

пос

трое

ние

трех

прое

кцио

нны

х че

ртеж

ей

геом

етри

ческ

их т

ел с

про

доль

ным

и по

пере

чны

м от

верс

тиям

и

94

2) вычертить тонкими линиями в трех проекциях контуры основного геометрического тела без учета отверстий, обеспечивая проекционные

связи между проекциями; 3) построить в тонких линиях проекции линий пересечения

каждой из поверхностей, ограничивающих поперечное отверстие, с соответствующей наружной поверхностью основного гео-метрического тела;

4) вычертить тонкими линиями продольное отверстие; построить проекции линий пересечения каждой поверхности этого отверстия с соответствующей поверхностью поперечного отверстия и тем самым сформировать внутреннюю полость заданного тела;

5) удалить участки поверхностей исходной фигуры, которые оказались <<вырезанными>> отверстиями;

6) на каждой плоскости проекций провести анализ видимости всех участков линий пересечения поверхностей;

7) проворить правильность построений, обвести изображения с учетом видимости линий, выполнить обозначения и надписи.

Примечание: при решении задач первого вида п.4 не выполняют. Рассмотрим примеры построения изображений геометрических

тел со сквозными отверстиями. На рис. 48, а построены проекции шара со сквозным поперечным

отверстием, имеющим форму призмы, грани которой перпендикулярны пл. π2. Решение основано на построении линий пересечения многогранника со сферой и выполнено с помощью плоскостей-посредников. Фронтальная плоскость уровня σ (главная меридиональная плоскость) является плоскостью симметрии пересекающихся плоскостей.

Фронтальная проекция линий пересечения поверхностей совпала с фронтальным следом призматического отверстия.

95

Рис.

48.

Ком

плек

сны

е че

ртеж

и ш

ара

и ус

ечен

ного

кон

уса

вращ

ения

с п

опер

ечны

м ок

ном

96

Нижняя горизонтальная грань призмы (пл. α) пересекла сферу по дугам окружности, которые ограничены точками 1, 3 и им симметричными. На пл. π1 дуги спроецировались в натуральную величину; на пл. π3 – в виде отрезков прямых линий, лежащего на профильном следе пл. α.

Правая боковая грань призмы (пл. β) пересекла сферу по дугам окружности, ограниченным точками 2, 3 и им симметричными. На пл. π3 дуги спроецировались в натуральную величину; на пл. π1 – в виде прямолинейного отрезка, лежащего на горизонтальном следе пл. β.

Левая боковая грань призмы (пл. γ) пересекла сферу по дугам окружности, ограниченным точками 1, 2 и им симметричными. На пл. π1 и π3 эти дуги спроецировались дугами эллипсов. Для их построения дополнительно введены точки 4, 5 и 6; симметричные им точки; вспомогательные горизонтальные секущие плоскости. Точки 4 и ей симметричная размещены на экваторе сферы. Горизонтальные проекции двух дуг эллипса построены с помощью параллелей; фронтальные проекции дуг эллипса найдены координатным способом.

Проекции ребер призматического отверстия получены соединением соответствующих проекций точек пересечения каждого ребра с поверхностью сферы.

Аналогичное решение выполнено на рис. 48, б, где изображен усеченный конус вращения со сквозным поперечным отверстием в виде треугольной призмы. Для построения проекций дуг окружности, образующихся при пересечении конической поверхности с нижней гранью призматического отверстия, и проекций дуг эллипсов, образующихся при пересечении поверхности тела с боковыми гранями отверстий, использованы горизонтальные секущие плоскости.

97

Рис.

49.

Ком

плек

сны

й че

ртеж

усе

ченн

ого

кону

са в

ращ

ения

с п

родо

льны

м и

попе

речн

ым

отве

рсти

ем

98

На рис. 49 приведен пример построения проекций усеченного конуса вращения, в котором выполнены продольное сквозное цилиндрическое отверстие и поперечное сквозное отверстие призматической формы. Чертеж-задание, изображенный на рис. 49, а, позволяет понять, что ось вращения цилиндрического отверстия расположена перпендикулярно пл. π1 , а грани призматического отверстия – перпендикулярно пл. π2 . Фронтальная проекция линий пересечения поверхностей совпала с вырожденной фронтальной проекцией призматического отверстия. Для нахождения проекций линий пересечения на плоскостях π1 и π3 выполнены дополнительные построения.

Согласно изложенному выше порядку построения первоначально находят, используя плоскости-посредники, проекции линий пересечения конической поверхности заданного тела с поперечным призматическим отверстием (рис. 49, б). Верхняя горизонтальная грань призмы (пл. α) пересекла коническую поверхность по дугам окружности, ограниченным точками 1, 3 и им симметричными. На пл. π1 эти дуги спроецировались в натуральную величину. Боковые грани призмы (фронтально проецирующие плоскости β и γ) пересекли конус вращения по четырем дугам эллипсов. Их проекции на пл. π2 – отрезки 1" – 4" и 3" – 4". Для построения проекций четырех дуг эллипсов на плоскостях π1 и π3 введены вспомогательные горизонтальные секущие плоскости. На пл. π1 построения дуг выполнены с помощью параллелей, на пл. π3 – координатным способом.

На следующем этапе построений рассматривают взаимное пересечение продольного цилиндрического и поперечного призматического отверстий. Горизонтальная пл. α пересекла цилиндрическое отверстие по полной окружности, фронтально проецирующие плоскости β и γ – по эллипсам (в пределах размеров

99

боковых граней призмы – по половинам эллипсов). На пл. π2

полуэллипсы спроецировались отрезками 5" – 6" и 7" – 6", на пл. π1 – в виде полуокружностей, совпавших с поверхностью цилиндрического отверстия. Профильные проекции полуэллипсов построены координатным способом.

Далее построены проекции ребер призматического отверстия – соединены соответствующие проекции точек пересечения каждого ребра с наружной поверхностью конуса и с внутренней – для нижнего ребра.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОДЕРЖАНИЮ ЗАДАНИЙ НА ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Изучение студентами теоретических положений и практических приемов изображения геометрических тел должно сопровождаться самостоятельным решением ряда графических задач по индивидуальным заданиям. Основная цель графических разработок следующая :

а) сформировать и углубить теоретические знания и практичес-кие умения студентов в области проекционного черчения;

б) практически освоить основополагающие способы проецирова-ния геометрических тел, знание которых определяет уровень графической грамотности студентов;

в) приобрести практические умения и навыки по технике выполнения геометрических построений с помощью чертежных инструментов, необходимые при разработке чертежей технических форм;

г) развить у студентов навыки чтения графических изображений предметов;

100

д) усвоить термины и понятия, относящиеся к проецированию геометрических тел, оформлению графических разработок; развить пространственное воображение и техническое мышление.

Содержание задач должно охватывать в полной мере теоретичес-кие положения изучаемого учебного материала. Достаточно полное представление о составе выполняемых заданий дают типовые примеры, приведенные в табл. 4. Каждому студенту необходимо предложить решить семь задач и оформить их в виде специальных чертежей в соответствии с требованиями стандартов ЕСКД.

Конкретные варианты заданий на выполнение чертежей, перечисленных в табл. 4, приведены в сборнике задач [1].

101

Таблица 4 Типовая тематика заданий на выполнение чертежей

расчетно-графических работ

Номер зада-ния

Содержание

задания

Пример исходных данных

Методич. рекомендации

1 Построить двухпроекци-онный комплексный чертеж геометрического тела, усеченного плоскостью. Построить развертку поверхности

с. 29...50,

57...71

2 Построить трехпроекци-онный комплексный чертеж комбинированного полого тела, усеченного проецирующей плоскостью; найти натуральную величину сечения

с. 53...57

102

Продолжение табл. 4

Номер зада-ния

Содержание задания

Пример исходных данных

Методич. рекомендации

3 Построить трехпроекци-онный комплексный чертеж геометрического тела с призматическим вырезом

с. 92...100

4 Построить трехпроекци-онный комплексный чертеж взаимно пересекающих тел, используя способ вспомогатель-ных секущих плоскостей

с. 71...81

5 Построить трехпроекци-онный комплексный чертеж взаимно пересекающихся геометрических тел, используя способ вспомогатель-ных секущих сфер

с. 71...89

103

Окончание табл. 4

Номер зада-ния

Содержание

задания

Пример исходных данных

Методич.

рекомендации

6 Построить трехпроекци-онный комплексный чертеж комбиниро-ванного геометрического тела вращения с плоским срезом

с. 50...53

7 Построить трехпроекци-онный комплексный чертеж полого геометрического тела с поперечным окном

с. 92...101

104

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сборник проекционных задач / В. А. Мартыненко, В. И. Холманова, Г. М. Горшков и др. – Ульяновск : УлГТУ, 1996. – 88 с.

2. Гордон, B. О. Курс начертательной геометрии : учебное пособие для втузов / В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский ; под ред. В. О. Гордона. – 27-е изд., стер. – Москва : Высш. шк., 2007. – 272 с.: ил.

3. Горшков, Г. М. Пересечение многогранников плоскостью. Развертки многогранников [Электронный ресурс] : методические указания / Г. М. Горшков, Д. А. Коршунов. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 4777 Кб. – Режим доступа: http://venec.ulstu.ru/lib/disk/2008/Gorwkov.pdf.

4. Горшков, Г. М. Пересечение поверхностей вращения плос-костью. Развертки поверхностей вращения [Электронный ресурс] : методические указания / Г. М. Горшков, Д. А. Коршунов, Д. А. Курушин. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 1899 Кб. – Режим доступа: http://venec.ulstu.ru/lib/disk/2010/Gorwkov.pdf.

105

 

 

Учебное электронное издание

БУДАРИН Александр Михайлович ГОРШКОВ Геннадий Михайлович

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Учебное пособие

ЭИ № 822. Объем данных 6,03 Мб. Заказ ЭИ № 63.

Редактор Н. А. Евдокимова

Печатное издание ЛР №020640 от 22.10.97.

Подписано в печать 12.12.2016. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 6,28. Тираж 200 экз. Заказ № 64.

Ульяновский государственный технический университет,

432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32. ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32.

Тел.: (8422) 778-113 E-mail: venec@ulstu.ru

http://www.venec.ulstu.ru