1112/04/21

機率及機率分配 ( 一 )

Yu, Hsiao-Li

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機率學與統計學

統計 - 在不確定的情況下，做成決策的一套科學方法Q: 今年八月會發布多少颱風警報 ?觀察 –觀察母群

ex. 過往的八月颱風資料假設 –對未知的母群先給予假定的特定值

ex. 假設發布兩次轟颱緊報以上實證 –以機率數值幫助判斷假設之合理程度，

藉以推翻 (reject ) 或接受 (accept) ex. 過往十年，八月平均發布轟颱緊報 1.8 次，所以今年有機會沒發佈兩次以上

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機率理論

古典機率1

後天機率2

主觀機率3

機率公理4

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古典機率

一實驗有 N 種互相排斥及同等出現可能的結果，其中含性質 A 者有 Na 種，則事件 A 發生的機率

優 –不需實驗即可知道缺 –出象無限或不明則無法使用、 每一樣本點機率不同皆無法求出機率

e.g. 投一顆骰子，出現”一點”的機率

N

NaAp

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後天機率

一實驗重複試行，事件 A 發生的機率為該實驗長期試驗後，實際上 A 發生的次數 (fa) 與總次數 (N) 的比值

特 - 機率須經實驗試行才能獲得，除非以前有資料缺 - 當試驗無法重複實驗時，則不適用

e.g. 丟一枚硬幣一萬次後，算出正面的機率

N

Na

N

falimP(A)n

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主觀機率

機率來自吾人對於事件 A 發生的信任程度

P(A)=( 對 A 發生的信任程度 )

特 –適用於不能實驗的事件缺 –無理論支持

e.g. 在光復路遇到飆車族的機率e.g. 顯著水準的訂定

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機率公理

公理 1: 事件 A 發生的機率 P(A) 為實數，且 1≧ P(A) 0≧公理 2: 令 S 為全事件，則 P(S)=1公理 3: 設 A1 、 A2 、 A3….. 各為互斥事件， 則 P(A1 A2 …Ai) ∪ ∪ =P(A1)+P(A2)+…+P(Ai)

1P(S) 3.

E )P(E...)P(E)P(E)E...EP(E 2.

1)P(E0 1.

n21n21

i

之間為互斥事件

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舉例來說 ~

今年九月有颱風侵台機率 ?古典理論先天有或沒有 P( 有 )=1/2

後天理論過往十年有八年被入侵 P( 有 )=0.8

主觀理論世界末日逼近，應該變多 P( 有 )=0.99

機率公理有颱風為一事件，其機率符合公理 1 P(≧ 有 ) 0≧

年份 近十年年平均

近十年九月平均

2008 6 3

2007 6 1

2006 7 1

2005 7 3

2004 9 2

2003 9 0

2002 3 1

2001 10 3

2000 7 1

1999 3 0

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集合論

一、集合、聯集 (∪) 、交集(∩)

二、事件的關係1 、互斥事件：事件間無共同樣本點 e.g. A & B

2 、獨立事件：兩事件機率不互相影響 e.g. A & C

3 、相依事件（不獨立）：一事件機率會影響另一事件機率 e.g. A & D ； e.g. C & D

A

C

B

D

C B A

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機率運算

簡單事件：在機率試驗裡僅實驗一次e.g. 一顆骰子丟ㄧ次，為 2 或 6 的機率

加法定理設有 A 、 B 兩事件 P(A B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)∪

複雜事件：凡有關機率的計算裡，利用一個個體試驗多次或數個個體試驗一次e.g. 一顆骰子丟兩次，為 6.6 的機率

乘法定理獨立事件 : P(A∩B) = P(A)P(B) 相依事件 : P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

， A 、 B 事件為互斥事件

A

B

~A~B

C

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貝氏定理

處理條件機率 設一實驗結果是兩種分類標準加以二重分割，

按第一種分類標準分割為 A 與 A’( 強颱 / 非強颱 ) ， 按第二種分類標準分割為 B 與 B’( 九月 / 非九月 ) ，若P(A) ≠0 ，則P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = P(B) P(A|B) / P(A) [P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)]

P(B|A) : A 出現後再出現 B 的條件機率 P(A|B) : B 出現後再出現 A 的條件機率

ex. 強颱情況下，是九月發生的機率 ?

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舉例來說 - 健康檢查

陽性 (T+) 、陰性 (T-) 、有病 (Dx+) 、沒病 (Dx-)陽性預測值 (predictive value positive, PV+): P(Dx+|T+)=a/(a+b)陰性預測值 (predictive value negative, PV-): P(Dx-|T-)=d/(c+d)敏感度 (sensitivity, sen): P(T+|Dx+)=a/(a+c)特異度 (specificity, spe): P(T-|Dx-)=d/(b+d)盛行率 (prevalence)=(a+c)/(a+b+c+d)精確率 (accuracy)=(a+d)/(a+b+c+d)

Results of screening test (T)

Disease status (Dx)

+ - Total

+ a b a+b

- c d c+d

Total a+c b+d a+b+c+d

a

d

TP FP

FN TN

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在高血糖盛行率為 20%的成人族群中，假定 84%高血糖的人，及 23%正常血糖的人會被血糖計歸類為高血糖。請問該儀器的陽性及陰性預測值。

Results of screening test (T)

Disease status (Dx)

+ - Total

+ 84% 23% a+b

- C d c+d

Total 20% b+d a+b+c+d

16%

84%×20%

16%×20%

16.8%

3.2% 77%

23%×80%

77%×80%

18.4%

61.6%

80% 100%

35.2%

64.8%

PV+ = 16.8% / 35.2% *100% = 47.7%

PV- = 61.6% / 64.8% *100% = 95.0%

47.7%

95.0%

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