История тригонометрии

Мы надеемся узнать об истории тригонометрии какие-то неизвестные нам факты. Мы думаем что проект поможет

исследовать что-то новое и неизведанное нами.

Тригонометрия (от греч. Тригонометрия (от греч. trigonontrigonon-треугольник и -треугольник и metrio-metrio-измеряю) – измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла линии синусов угла a a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2равную 2aa..

Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого

теолога и математика ПитискусаПитискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами,

тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении

географических карт.

cossin22sin,

2

cos1

2sin

cossincossinsin

Птолемей

Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть Радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян. В первом тысячелетии нашей эры происходит бурный расцвет культуры и науки в странах Арабского Халифата, и поэтому основные открытия тригонометрии принадлежат ученым этих стран. Туркменский ученый аль-Маразви первым ввел понятие tg и ctg как отношение сторон прямоугольного треугольника и составил таблицы sin, tg, и ctg. Основным достижением арабских ученых является то, что они отделили тригонометрию от астрономии.

Развитие тригонометрии в странах Средней Азии , Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.)

Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой (Х III в.)

В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).

Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как:

sin a + cos a = 1,sin a = cos (90 - a)

sin (a + b) = sin a. cos B + cos a. sin b

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса..

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами

в период с V по XII в.

В отличие от греков индийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса - половины центрального угла.

Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos=sin(90-) и sin2+cos2=r2, а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами

в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

. Тангенсы возникли в связи с решением задачи об . Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль - Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа введен в X веке Аль - Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил Мухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.1/604. Однако эти открытия долгое время оставались Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1через 1’’ с точностью до 7-й значащей цифры и его с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVIIXVI – XVII веках. веках.

Позже тригонометрияначала широко изучаться

в Европе.

Его обширные таблицы синусовчерез 10 с точностью до 7-ой цифры

и его изложенный тригонометрический труд

«Пять книг о треугольниках всехвидов» имели большое значение длядальнейшего развития тригонометрии

в XVI – XVII вв.

Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символыОбратных тригонометрическихфункций.

Якоб Бернулли

Якоб Бернулли, совместно с братом Иоганном, положил

начало вариационному исчислению. Они доказал в

1713г. так называемую теорему Бернулли - важный

частный случай закона больших чисел.

Тригонометрия: 1) плоская - изучает только плоские треугольники

2) сферическая – изучает только сферические треугольники 3) прямолинейная – не входит в школьную программу.

Плоская тригонометрия начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы ее встречались и раньше, так например 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (III в. до н. э.) выражают

по существу теорему косинусов. Плоская тригонометрия получила развитие у аль-Баттани (2-я половина IX – начало Xв.), Абу-ль-Вефа, Бхскала и Насиреддина Туси, которым была уже известна теорема

синусов. Тригонометрия, занимающаяся сферическими треугольниками, называется сферической, также она рассматривает соотношения

между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. В работах математика Франсуа Виета (1540-

1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Франсуа Виет

Франсуа Виет дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и

сферических треугольников, открыл

формулы для тригонометрических функций от кратных

углов.

Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера.

Леонард Эйлер

Исключил из своих формул R – целый синус, принимая

R = 1, и упростил такимобразом записи и

вычисления.

Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г) трактует синус, косинус и т.д. не как

тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как

тригонометрические функции, которые онрассматривал как отношения сторон

прямоугольного треугольника, как числовыевеличины.

Разрабатывает учениео тригонометрических функциях

любого аргумента.

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и

принятую в наши дни символику.

Он придал всей тригонометрии ее современный вид.

В XIX веке продолжилразвитие теории

тригонометрическихфункций.

« Геометрические рассмотрения ,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

Редко используемые тригонометрические функции

Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелкой дуги»):

Косинус-верзус (другие написания: коверсинус, косинус версус):

Гаверсинус (англ. haversinus, сокращение от half the versed sine):

Эксеканс (англ. exsecant) или экссеканс:

Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу:

«Сближение теории и практики дает самые благотворные результаты, и не одна только практика выигрывает; сама наука развивается под влиянием ее». П.Л.Чебышев

Каждого изучающего математику интересует как и где применяются полученные знания

?

Тригонометрия в артиллерииКоординаты этого тела в момент времени t выражается так:

2sin

cos2

0

0

tv

vg

ty

tx

(1)

Определяем из первого уравнения системы t

и подставляем полученное значение во второе уравнение: y=xtg- cos

22

0

2

2vxg

Мы получили формулу, выражающую зависимость между высотой у, на которой находится брошенное тело над Землей, и горизонтальным расстоянием его х от начальной точки полета. Эта формула принадлежит к типу : у=bx-ax2. Следовательно, перед нами квадратичная функция и графиком ее будет парабола, ось которой параллельна оси ординат и ветви которой обращены вниз от ее вершины. Координаты вершины параболы мы найдем по

формулам: xA=- и yA= .a

b

2 a

ac b4

42

xA= = = g

tg v2

2 cos22

0

g

tg v cos22

0

gv

2

2sin2

0

Дальность полета артиллерийского снаряда, начальная скорость которого v0 будет:

D=2xA= gv 2sin

2

0

Последняя формула показывает, что дальность полета зависит от угла .Функция y=sin2 принимает наибольшее значение, равное1, если 2=90,т.е. =45.А это и значит, что наибольшая дальность поражения получится, если наклонить орудие под углом 45 к горизонту.

Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме.

В начальный момент, когда кривошип занимает положение ОА1, точка В шатуна находится в В1. Если в данный момент кривошип находится в положении ОА, образуя угол с линией мертвых точек, соответственно чему шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой угол , то, следовательно, палец В ползуна за время поворота кривошипа на угол переместился на величину х=В1В. Выразим перемещение х в зависимости от данных величин.Опустим перпендикуляр АК на ОВ1; тогда :ОВ=ОК+КВ. Из треугольников АОК и АВК имеем: ОК=ОА cos=rcos и KB=ABcos=lcos;следовательно, ОВ=rcos+lcos и x=r+l- rcos- lcos =r(1-cos)+l(1-cos).Выразим cos в зависимости от угла из треугольников АОК и АВК; найдем

АК=rsin и AK=lsin. Отсюда: rsin= lsin и sin=

sinl

r

].

cos = sin2

1 )sin(

2

1 lr

)sin(2

1 lr

х=r(1-cos)+l[1- ] =

Кривошипно-шатунный механизм служит для преобразования равномерного вращательного движения конца кривошипа в неравномерное прямолинейное движение ползуна, и обратно. Аналогично работает двигатель автомобиля.

Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый.

Пусть расстояние между центрами шкивов равно d и радиусы их- R и r. Длину ременной передачи разобьем на части АВ, ВС, СD=AB, DE, EF, EA=DF.Определим длину каждой отдельной части.Из треугольника О1КО имеем: О1К=АВ=

AOE=BO1G=KO1O; обозначим AOE через и найдем его величину.Из треугольника О1КО sin=

)(22 rRd

d

rR

Зная sin, мы сможем по таблицам определить и угол .

AE=DF= = AEFD=R+2 =R+ ;

BG=CH= = ; BC=r- .

360

2 R180

R

180

R

90

R

360

2 R

180

R

90

R

90

R)(22 rRd

90

RДлина всего ремня =2 +R+ +R- =

2 +(R+r)+ (R-r).90

R)(22 rRd

Определение коэффициента трения. Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона . Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k.Решение.Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos.Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psin-kPcos=P(sin-kcos).(1)Если тело движется по наклонной плоскости, то

ускорение а= tS2

2

=

.(2)С другой стороны, ускорение а= m

F

g

PF=gF ;следовательно, t

S

P

gF2

2=.

Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin-kcos)=

tS2

2

Отсюда: k==gtg-

cos

2

cos

sin2

tg

Sg =gtg-

cos

22

tg

S

.

Зависимость между угловой и линейной скоростями

Пример1.Маховое колесо диаметром в 320 см вращается с угловой скоростью 9 радианов в секунду. Определить линейную скорость в точке на внешней части обода колеса в м/мин.

Решение.R=100cм; v=R;v=1609 cм/сек=160960 см/мин=864 м/мин.Пример2.Определить угловую скорость шлифовального камня диаметром

90 см, если его линейная скорость на окружности равна 225 м/сек.

Решение.R=45 см; = =500 1/сек.(рад/сек)R

v

45

22500;

=

находим, что l=R.Подставим произведение R вместо l

в формулу линейной скорости : v=

Выразим зависимость между угловой ()и линейной (v) скоростями равномерного движения по окружности .Пусть за время t секунд материальная точка проходит по окружности радиуса R путь, равный l, и совершает при этом поворот вокруг центра окружности на угол . Тогда линейная скорость точки : v=

, а угловая ее скорость :=t

. Из равенства =

R

lt

l

t

l

t

R= =R.

По этой формуле можно находить линейную скорость точки, зная угловую ее скорость и радиус окружности, по которой движется точка; по линейной скорости точки и радиусу окружности, по которой она движется, можно найти угловую скорость.

Соединение двух труб

Практическая задача.Пусть жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа шириной D ( без учета швов), он должен разрезать его по синусоиде и согнуть в виде трубы. В зависимости от угла α, под которым должно быть изготовлено колено, амплитуду А следует сделать равной D/2·tg(α/2).Аналогичным образом мастер поступит со вторым листом, затем соединит обе трубы по образовавшимся из синусоид эллипсам.

Периодические процессы и колебания в окружающем мире

Многие процессы, протекающие в окружающем нас мире, по истечении

некоторого промежутка времени более или менее точно повторяются.

В течение месяца Луна меняет свой облик, превращаясь из тонкого серпа сначала в

полукруг, потом в полный диск, а затем снова убывая до полного исчезновения. Ежедневно мы

видим, как восходит Солнце, движется по небосводу и заходит за горизонт, с тем, чтобы на

другое утро вновь появиться на востоке. А ночью звезды вращаются вокруг Полярной звезды, возвращаясь обратно по истечении

суток.

Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные- для радио, телевидения, связи с космическими ракетами.

Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложнейших процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках. С помощью электромагнитных колебаний советскими учеными были получены снимки обратной стороны Луны. Такие колебания сопровождают и биологические процессы, например передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая их, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы.

Гармонические колебания

Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. x= R cos(t+).

Уравнение гармонического колебания имеет вид: y = A sin ( t+ α )График гармонических колебаний называется синусоидой, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями.

Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом толкнем ее со скоростью v0, то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin(t+) .

Груз на пружинеВозьмем, например, гирю, подвешенную на пружине и толкнем ее вниз. Отклонение гири от положения равновесия

выражается формулой s= sint.v0

Здесь v0-скорость, с которой мы толкнули гирю,а =m

k

где m-масса гири,k- жесткость пружины( сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Колебания маятникаКолебания маятника тоже происходят по синусоидальному закону. Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой:=0sin(t ), l-длина маятника, 0-начальный угол

отклонения.

l

g

Чем длиннее маятник, тем медленнее он качаетсяИзменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется.

Разряд конденсатора

И в электрических цепях также возникают синусоидальные колебания ,например, в цепи, изображенной в правом верхнем углу, где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки, - угловая частота колебаний в цепи.

Полярные координаты

При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки М в этом случае определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом у = угол РОМ . Числа r (полярный радиус) и (полярный угол) называются полярными координатами точки М.

Рис. 16

Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой системы, а полярной осью - ось абсцисс ; рисунок сам подсказывает связь между полярными и декартовыми координатами

точки:

у=m·arcsin(sin k(x-)). k=2 =0 m=1; -2 ;0,5

А

в

с

Кривые r=n

msin

Первый лепесток будет заключен

в секторе ( 0; ), т.к. в этом

секторе 0≤ ≤180.

При 1 лепесток будет занимать сектор, больший 180, но меньший 360, а при для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360.

На рис. показан вид

лепестков при =

m

n180

n

m

2

1

n

m

n

m

2

1

n

m

3

2

I. r=sin3 ( трилистник ) (рис.1)II.r=1/2+sin3 (рис.2), III. r=1+ sin3 (рис.3), IV. r=3/2+ sin3 (рис.4) . У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют

незаконченный вид.(рис.IV в приложении). Таким образом при а 1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.

Кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3в полярных координатах

Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений.

Например, уравнениям r=4(1+cos3) и r=4(1+cos3)+4sin23

4sin

r

3sin

r

2sin

r

при а=0; 1/2; 1;3/2

При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4).

3

5sin

arРассмотрим кривые

Кривые Лиссажу.

Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:

В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в. Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Рассмотрим это на следующих примерах:

)(sin

sin

tnby

mtax

Замкнутые кривые.

(y2-arcsin2(sinx))(y2-arcsin2(sin(x+ )))<06

Математические орнаменты

Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3)

превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.

Решение системы неравенств

xy

xy

sin

,sin Решение неравенства

(y-sinx)(y+sinx)<0.

Математические орнаменты

(y2-sin2x)(y2-sin2(x+ ))(y2-sin2(x- ))<06

6

Математические орнаменты

Прикладная направленность тригонометрииКак глава математического анализа

Как глава геометрии

Учение о тригонометрических функциях

Решение треугольников

Периодические процессы.

Гармонические колебания (механические колебания, колебания маятника, разряд конденсатора, исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. задача на соединение двух труб, ).БиенияЗависимость между угловой и линейной скоростями.

Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый.Определение коэффициента трения. Тригонометрия в артиллерииЗадача на применение винтовой линииПостроение интересных кривых в

полярных координатах (розетки, геометрические формы, встречающиеся в мире растений ).Построение интересных кривых в декартовых координатах (кривых Лиссажу, у=m·arcsin(sin k(x-))).

Математические орнаменты на основе решений тригонометрических уравнений, неравенств , систем

1

3 2

4

5 6

7 8

КРОССВОРД

1. Наука об измерении треугольников

2.Автор работы«Пять книг о треугольниках всех видов» в XVI-XVII в.

3.Греческий астроном,основоположник тригонометрии

4.График гармонических колебаний

5.Математик, придавший тригонометрии современный вид

6. «синус дополнения»

7.Русский ученый математик, продолживший развитие тригонометрии в XIX веке

8.Колебания , задаваемые уравнением y=Asin(wt+)

Проверь!

ТР

Г И П П А Р ХГ ЕО Г

С И Н У С О И Д АО ОМ М

Э Й Л Е Р К О С И Н У СТ НР Т

Л О Б А Ч Е В С К И Й Г А Р М О Н И Ч Е С К И ЕЯ Н

КРОССВОРД

В данной презентации макси

мально

сжато

рассказа

но о

тригонометрии.

Если

вы хотите

знать

её в

совершенст

ве, то эт

о потребует не

один год…

ДАННАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ СОЗДАНА ШАЙХЛИСЛАМОВОЙ МАСТУРОЙ ГУЛЯМОВНОЙ- ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ УФИМСКОГО ТОПЛИВНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО КОЛЛЕДЖА УЧИТЕЛЬ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ