Метод бинарно-векторного полиномиального

разложения булевых функций

Сергей Владимирович Тюрин

Воронежский Государственный Технический Университет

2University

Объект исследованияСтруктуры полиномиальных логических преобразователей

а)

б)

tn KKKСxxxF ...)...,( 2121 (1)

mt

mmn KKKСxxxF ...)...,( 2121 (2)

ESOP (exclusive-or sum-of-products).

PPRM (positive-polarity Reed-Muller

expressions)

3University

Объект исследованияСтруктуры полиномиальных логических преобразователей

в)

г)

FPRM (fixed-polarity Reed-Muller expressions)

PPP mt

mmpn

pp VVVСxxxF n ...)...,( 212121

(3)

(4)

PPP mt

mmpn

pp KKKСxxxF n ...)...,( 212121

VAR- EXOR (Var-Exor expressions)

4University

Бинарное разложение

n-1

Геометрическая интерпретация побитового полиномиального разложения булевой функции

вычислительная сложность порядка n2 проходов

по x1 по x2 по x3

Разложение Давио (фрактальное разложение)

5University

Векторное разложение

Метод i-поляризации БФ: часть вектора значений БФ f, составленная только из компонент, где переменная x имеет значение 0, сдвигается на 2 позиций вправо, и результат складывается по модулю 2 с исходным вектором f.

ii-1

1001 1100 1011 1001 f

1111 0000 1111 0000 x3/

1001 0000 1011 0000 g := f & x3/

0000 1001 0000 1011 g := g:23-1

1001 0101 1011 0010 f (x3/) := f g

вычислительная сложность порядка 2 проходов n-1

6University

Б-В разложение

по x3 по x2 по x1 Суть: • учитывает ограниченность разрядности ЭВМ;• проводится в два этапа;• первый этап реализуется на основе метода обратных конечных разностей, а второй – на основе фрактального разложения.

7University

Б-В разложение

Пусть задана БФ Q(x0, x1, x2, x3, x4) = Q(f0, f1, … f31) и разрядность ЭВМ m=4.

Разобьём исходный вектор Q(f0, f1, … f31) на подвекторы

A0 = (f0, f1, f2, f3) ; A1 = (f4, f5, f6, f7) ;A2 = (f8, f9, f10, f11) ; A3 = (f12, f13, f14, f15) ;A4 = (f16, f17, f18, f19) ; A5 = (f20, f21, f22, f23) ;A6 = (f24, f25, f26, f27) ; A7 = (f28, f29, f30, f31) ;

8University

Б-В разложение

На примере вектора A0 = (f0, f1, f2, f3) покажем последовательное преобразование каждого подвектора

23

22

33

22

32

21

31

20

30

13

12

23

12

11

22

11

21

10

20

321321

1210

110

10

*0

fff0;ff0;ff0;ff

fff;fff0;ff0;ff

fff;fff;fff0;ff

A

9University

1. Ввод количества (n) переменных xn функции F;

2. Ввод вектора F(x0, x1,… xk, … xn-1) = (f0, f1, …fi, …fd);

3. Подготовка вспомогательных d-разрядных двоичных векторов S =(11…1), G =(00…0);

4. G := F & S;

5. G := G/2;

6. G := F G;

7. S:= S/2;

8. F := G;

9. Если S > 0, то перейти на пункт 4;

10. Конец алгоритма: вектор F(f0, f1, …fi, …fd) преобразован в вектор коэффициентов полинома Жегалкина P(p0, p1, … pi, … pd).

Алгоритм первого этапа

(d=2 -1)n

10University

Б-В разложение В последующем к подвекторам As*, как к индивидуальным m-разрядным объектам, применяется алгоритм фрактального разложения.

А11*= А0

1* А11*; А3

1*= А21* А3

1*;

А51*= А4

1* А51*; А7

1*= А61* А7

1*;

А22*= А0

1* А21*; А3

2*= А11* А3

1*;

А62*= А4

1* А61*; А7

2*= А51* А7

1*;

А43*= А0

2* А42*; А5

3*= А12* А5

2*;

А63*= А2

2* А62*; А7

3*= А32* А7

2*.

11University

Эффективность Б-В разложения

Вычислительная сложность предлагаемого алгоритма Б-В полиномиального разложения булевых функций имеет следующую оценку:

)log1(2

22)log(2

)1( mnn

mnm

mW

m – разрядность ЭВМ;n – количество переменных булевой функции.

12University

ЗаключениеМетод бинарно-векторного полиномиального разложения булевых функций, предельно ориентирован на реализацию с помощью инструментальных ЭВМ, требует для реализации объема основной памяти порядка 2 бит и обладает наименьшей вычислительной сложностью по сравнению с известными методами разложения булевых функций.

Поляризованные полиномы Рида – Маллера могут быть получены с использованием данного метода путем предварительной поляризации булевой функции.

n