Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα

Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Επιτάχυνση σύγκλισης των επαναληπτικών επιλύσεων Gauss-Seidel, κατά την προσομοίωση αναλογικών και μικτών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, με μέθοδο χαλάρωσης μητρικών μεταβλητών.

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

του TANCIC NENAD (Α.Ε.Μ.: 3800)

Επιβλέπων:Σταύρος Π. Δοκουζγιάννης

Επίκουρος Καθηγητής

Θεσσαλονίκη, Α.Π.Θ. 2006

Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας

• Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης

• Περιγραφή της μεθόδου μερικής χαλάρωσης

Gauss-Seidel (PGS)

• Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος

• Εφαρμογή της PGS σε ένα προσομοιωτή κυκλώματος

• Σύγκριση της PGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους

• Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του

SPICE με Μatlab

• Συμπεράσματα

Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης• Έστω ότι έχουμε μια εξίσωση:

• Η φασματική ακτίνα του πίνακα Β :

• Ο μέσος ρυθμός σύγκλισης του πίνακα Β :

• Ο μέσος αριθμός των επαναλήψεων :

• Η εξάρτηση των μέσων αριθμών επαναλήψεων από τη φασματική ακτίνα:

1 1 1 1( ) m m m m mAx b M N x b Mx Nx b x M Nx M b Bx k

1 1

1 1

max | | max | | 1n n

ij iji n i nj j

B B B Bb b

lim ( ) ( ) ln( ( )) ( ) ln( ( ))m

R B R B B R B B

1

kN R B x x

N N

0.99 100.0 0.1 0.43

0.9 10.0 0.01 0.22

0.5 1.42 0.001 0.15

B

Εισαγωγή στις μεθόδους χαλάρωσης

• Οι μέθοδοι Gauss-Seidel και Gauss-Jacobi

• Ο πίνακας Α πρέπει να είναι αυστηρά διαγώνιος

δεσπόζων

• Ο διαγώνιος πίνακας καθορίζεται εξαρχής

• Η φασματική ακτίνα

• Η σύγκλιση τους είναι συνήθως αργή

• Σε ορισμένες περιπτώσεις αποκλίνουν

bxULDxJacobiGauss

bUxxLDSeidelGaussmm

mm

1

1

:

:

1D U L

D L U

Μέθοδος μερικής χαλάρωσης Gauss Seidel

• Η διαδικασία PGS παραγοντοποίηση:

• Η PGS προς τα εμπρός αντικατάσταση

• Η PGS προς τα πίσω αντικατάσταση

• Η χαλάρωση των fill in ορών στους πίνακες LU

1 1( )m mUx L b Nx

Ax b M N x b ( )LU N x b

1m mLUx b Nx

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0

1 0 0

1 0 0

u u u

ύ LU l u u

l l u

1 1 1( )m mx U L b Nx 1 1( )m mUx L b Nx

Μέθοδος Μερικής Χαλάρωσης Gauss Seidel

• Αλγόριθμος PGS παραγοντοποίησης

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος

• Η διαδικασία προσδιορισμού μικρών προς

χαλάρωση ορών είναι ευρηματική

• Για κάθε εξίσωση του πίνακα ορίζονται

περιθώρια

• Η φασματική ακτίνα περιορίζεται από το άθροισμα

μέτρων της σειράς

• Θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε τα κριτήρια

χαλάρωσης συγκρίνοντας μονό τους ορούς της

ιδίας σειράς με τα διαγώνια τους;

L

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος• Παράδειγμα : Έστω ότι θέλουμε να χαλαρώσει ο ορός

0.101 0.01 0

0.01 1.01 1

0 1 1

A

21a

0.101 0.01 0 0 0 0

0 1.01 1 0.01 0 0

0 1 1 0 0 0

M N

1 1 1 1m m m mM N x b Mx Nx b x M Nx M b

1 1 1 1 1m mx U L Nx U L b

1 1

0.9900099 0 0

1 0 0

1 0 0

U L N 1 1 0.990099U L N

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος• Προσδιορισμός των κανόνων περιθωρίου Έστω ότι δίνεται ο πίνακας και έστω ότι χαλαρώνει το

Αν ο πίνακας Α είναι αυστηρά διαγώνιος δεσπόζων και όλα τα μη διαγώνια στοιχειά είναι της ιδίας τάξης τότε θα προκύψει:

• First-level error terms

5 5A 31a

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

32 33 34 35 31

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

a a a a a

a a a a a

M a a a a N a

a a a a a

a a a a a

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

a a a a a

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

a a a a a

53 43 541 1 1l l l 54 43 53l l l

53 31 54 43 31 53 31l a l l a l

1 1 1 131

43 31

53 31 54 43 31

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

M N U L N U a

l a

l a l l a


Μετά από απλοποίηση του πίνακα και πολλαπλασιασμού του με πίνακα

Το μέγιστο άθροισμα νορμών σειράς τc:

1L N

1 1 131

43 31

53 31

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

E U L N U a

l a

l a

1U

13 31

33 11

23 31

33 22

1 1 31

33

43 31

44

53 31

55

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

U a

U U

U a

U U

aE U L N

U

l a

U

l a

U

13 31 23 31 31 43 31 53 31

33 11 33 22 33 44 55

c c c c c

U a U a a l a l a

U U U U U U U

1 1 1 131

43 31

53 31 54 43 31

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0

B M N U L N U a

l a

l a l l a


• Εκφράζοντας ως προς το : • Συνοπτικά ισχύει :

• To μέγιστο περιθώριο χαλάρωσης τι:

• Το μέγιστο σφάλμα των μέτρων σειράς τc

31a

33 11 33 2231 31

13 23

31 33

554431 31

43 53

c c

c

c c

U U U Ua a

U U

a U

UUa a

l l

3331

3

31 33

313

3

3

3

kkc

k

c

kkc

k

U Uk a

U

k a U

Uk a

l

• Καταλήγουμε:

Για j<i:

3331 33 3 3

3 3

min ,min ,minkk kkc c ck k

k k

U U Ua U

U l

min ,min ,minkk ii kkij c ii c c

k i k iki ki

U U Ua U

U l

min ,min ,minkk ii kk

i c ii c ck i k iki ki

U U UU

U l

iija

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος • Γενικά ισχύει ότι το τι περιορίζει τους ορούς που χαλαρώνουν να μην

προκαλέσουν ένα νέο σφάλμα μεγαλύτερο από στην εξίσωση κ ;

Αν στην εξίσωση κ τότε:

• Στάδια παραγωγής εσφαλμένων ορών:

1. Εσφαλμένοι οροί από ορούς που χαλαρώνουν:

2. Εσφαλμένοι οροί από τους ορός που έχουν ήδη χαλαρώσει:

• Στάδια υπολογισμού περιθωρίων :

kkc U

c kkU

1min ,min ,minii

i k k kk i k iki ki

U

U l

c kkU

min ,min ,minkk ii kki c ii c c

k i k iki ki

U U UU

U l

` 1N L N

`` 1 `N U N

i c iiU i min ,min 1,iii i k

k i ki

Ui n

U

1min ,min ,1i i k

k i ki

i nl


• Παράδειγμα 2: Έστω ότι δίνεται o πίνακας Α και θεωρούμε ένα μη αποδεκτό σφάλμα

κάθε σφάλμα μεγαλύτερο από 0.02 στον πίνακα Β και θέλουμε να χαλαρώσει το

Εφόσον τ2= <0.02 έχουμε:

21a

1 0.01 0 0 1 0.01 0 0 0 0 0 0

0.01 1.01 1 0 0.01 1.01 1 0 0.1 0 0 0

0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0

0 0 1 1.001 0 0 1 1.001 0 0 0 0

A M N

1 1

0.0009 0 0

0.09 0 0

0.09 0 0

0.09 0 0

B U L N

0.00001 0 0 0

0.001 0 0 0

0.001 0 0 0

0.01 0 0 0

E

min , min ,minkk ii kki c ii c c

k i k iki ki

U U UU

U l

0001.0

0001.0

01.0

01.0

0.01c iiU

1min ,min ,minii

i k k kk i k i

ki ki

U

U l

0.01

0.0001

0.0001

0.0001

a

Περιγραφή των κριτηρίων σφάλματος• Παράδειγμα 1:

Έστω ότι δίνεται o πίνακας Α και θεωρούμε μη αποδεκτό όρο κάθε όρο στον πίνακα Β που είναι μεγαλύτερο από 0.02 και έστω ότι χαλαρώνει

Εφόσον το τότε δεν μπορεί να χαλαρώσει το

31a

02.1101.0

110

01.001

A

1 0 0.01 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 1 1.02 0.01 0 0

M N

1 1

0.005 0 0

0.5 0 0

0.5 0 0

B U L N

0.005 0 0

0.5 0 0

0.5 0 0

E

min ,min ,minkk ii kki c ii c c

k i k iki ki

U U UU

U l

0002.0

0002.0

01.0

31 3a

31a

21 31c cb b


• Συμπεράσματα :1. Τα περιθώρια σφάλματος περιορίζουν το άθροισμα νορμών σειράς

2. Στην πράξη τα περιθώρια υπολογίζονται κατά την PGS παραγοντοποίηση

3. Δυνατότητα διόρθωσης εσφαλμένων ορών (fill in)

• Σύγκριση της PGS με την Gauss Seidel (τc=0.1)

Matrix #Equations

Gauss-Seidel #PGS %LU Ops

#Iteration Iterations Skipped

#1 153 4 4 79%

#2 1.013 5 5 100%

#3 3313 47.349 60 56%

#4 6130 1937 50 99%

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος

• Δυναμικός έλεγχος των αριθμών επαναλήψεων PGS

• Κριτήρια βέλτιστης επιλογής του τc

• Ευρηματικές προϋπόθεσεις για τη μείωση του

αθροίσματος των μέτρων της σειράς

• Ανάλυση αποτελεσμάτων

• Τελικές παρατηρήσεις


• Συνδυασμός των μεθόδων Newton και PGS1. Προβλήματα σύγκλισης τάσεων στα μεγάλα κυκλώματα με

πολλά μη γραμμικά στοιχειά

2. Προσδιορισμός των σημαντικών τάσεων


• Ένα παράδειγμα οπού δεν παρατηρείται πρόβλημα σύγκλισης τάσεων


• Υπόλοιπες τάσεις δεν πρέπει να αλάξουν μέχρι να

σταθεροποιηθούν οι σημαντικές τάσεις

• Προβλήματα σύγκλισης των γραμμικών στοιχειών

• Απαραίτητη εκτίμηση του αριθμού των PGS

επαναλήψεων για να συγκλίνουν οι σημαντικές τάσεις

σε μια προκαθορισμένη τιμή

• Σύγκλιση των σημαντικών τάσεων καθορίζεται από

την επιλογή των περιθωρίων


• Η διαδικασία πρόβλεψης των αριθμών των PGS επαναλήψεων έχει στόχο:

1. Σύγκλιση όλων των σημαντικών τάσεων

2. Επίτευξη μέγιστης ταχύτητας σύγκλισης

• Ο Αλγόριθμος πρόβλεψης των αριθμών PGS επαναλήψεων :

1. Η PGS mode συμβολίζει τον αριθμό PGS επαναλήψεων

2. Όλες οι PGS modes απαιτούν μόνο μια PGS παραγοντοποίηση

3. Η mode PGS = 0 χρησιμοποιείται για την πρώτη επανάληψη κατά το μεταβατικό στάδιο προσομοίωσης οπού υλοποιείται η LU παραγοντοποίηση

4. Η PGS mode συνήθως αυξάνεται από 1-10 κατά την διαδοχική εκτέλεση των επαναλήψεων Newton.

5. Χρησιμοποιείται η ρουτίνα η οποία επιστρέφει το νέο προβλεπόμενο χρόνο που απαιτεί το CPU για την επίλυση.

6. Συγκρίνουμε αυτό το νέο χρόνο του PGS mode με τον προβλεπόμενο χρόνο της PGS mode-1 και αν είναι μεγαλύτερος τότε η PGS mode μειώνεται στην PGS mode-1 στο τέλος της επανάληψης Newton.


• Ο στόχος της βέλτιστης επιλογής του τc είναι:1. Ο προσδιορισμός των απαραιτήτων αριθμών PGS επαναλήψεων

2. Η καλή απόδοση της μεθόδου PGS

• Υπολογισμός του τc εξαρτάται από :1. Το περιθώριο σύγκλισης των κομβικών τάσεων VNTOL

2. Το απόλυτο περιθώριο σύγκλισης των κομβικών τάσεων TSVTOL

3. Το μέσο αριθμό των PGS επαναλήψεων Ν που απαιτούνται για να μειωθεί η νόρμα του διανύσματος σφάλματος στην τιμή του ε

• Υπολογισμός του τc για μια PGS επανάληψη : Αν θέλουμε να μειώσουμε την για μια επανάληψη ορίζουμε το

kx x 1aN

11. ln

2.

1 13. 1

ln lnln

4. exp exp ln

a

c

c c

c

VNTOLa

e TSTOL

B

aN

B

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Αντίστοιχα όταν έχουμε 2 επαναλήψεις PGS :

• Ενώ για n επαναλήψεις PGS θα έχουμε :

• Υπάρχουν και αλλά κριτήρια που συσχετίζονται με τα προηγούμενα κριτήρια επιλογης του τc που πρεπει να λαβουμε υποψη ;

1. Το περιθώριο σφάλματος ρεύματος IRTΟLi του κόμβου i

2. Το απόλυτο περιθώριο σφάλματος ρεύματος ABSTOL 3. H αγωγιμότητα Gij του κλάδου που συνδέει τους κόμβους i και j


• H νέα τιμή για το τc προκύπτει :

• Ανάλυση αποτελεσμάτων :

Circuit # MOS # BJT # Diodes #Linear# Matrix Ops # Equations

loht 3714 0 16 3356 2.3Μ 3404

joeh 11 298 1194 292 9611 2.4Μ 13 707

vdram 8818 0 0 4271 5.8Μ 6137

rnads1 1600 0 0 1691 8.5Μ 1625

rnads2 3222 0 0 3381 68.5Μ 3245

,mini i jIRTOL G ABSTOL

min , ii

VNTOL IRTOL

TSVTOL

Direct Solution PGS Solution

Circuit # Newton itts Total Solve Time # Newton itts Total Solve Time

Solve Gain

loht 1364 5879 1364 2146 2.73

joeh 6630 23 335 6642 21 068 1.11

vdram 1005 6385 1017 1747 3.65

rnads1 1230 11 713 1320 2436 4.81

rnads2 1421 110 547 1509 11 530 9.59


• Γραμμικότητα του ρυθμού σύγκλισης της PGS σε ένα κύκλωμα τυχαίας παραγωγής δικτύου αντιστάσεων :

• Σωστή λειτουργία της PGS σε κυκλώματα με μεγάλο αριθμό πράξεων

Circuit

Ratio of Matrix Ops, Speedup of PGS Solver Over

to Matrix Nonzero Entries Direct Solver

loht 26 2.73

joeh 12 1.11

vdram 35 3.65

rnads1 78 4.81

rnads2 170 9.59

Εφαρμογή της PGS σε ένα Προσομοίωτη Κυκλώματος • Σωστή λειτουργία και στα κυκλώματα με πολλές αναδράσεις οπού

παρατηρείται μεγάλος αριθμός fill in ορών

• Ο αριθμός των πράξεων κατά τον υπολογισμό περιθωρίου είναι πολύ

μικρότερος από τον αριθμό της LU παραγοντοποίησης

• Ο αριθμός των μαθηματικών πράξεων που χρειάζονται για τον υπολογισμό του περιθωρίου:

1. Απαιτείται ένας πολλαπλασιασμός για κάθε εξίσωση του πίνακα.

2. Απαιτείται ένας πολλαπλασιασμός και μια διαίρεση για κάθε στοιχείο του πάνω τριγωνικού πίνακα.

3. Απαιτείται μια διαίρεση για κάθε στοιχείο του κάτω τριγωνικού πίνακα

• Αντίστοιχα για συμμετρικούς πίνακες είναι 1.5 φορές όσο είναι τα μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα

Circuit

PGS Tolerance Direct Solution

Operations LU Factorization

Operations

lohf 133K 2.3M

joeh 288K 2.4M

vdram 246K 5.8M

rnands1 163K 8.5M

rnands2 603K 68.5M

Σύγκριση της PGS με άλλες επαναληπτικές μεθόδους

• Jacobi :

• Gauss-Seidel :

• SOR (διαδοχική μέθοδος υπερχαλάρωσης) :

• CG ( μέθοδος συζυγών κλίσεων) : Tο διάνυσμα τυχαίων διευθύνσεων:

Tα διανύσματα υπολοίπων:

Η επιλογη του συντελεστη α: ελαστικοποιει το διανυσμα

Η ανανέωση του διανυσματος σφάλματος τυχαίων διευθύνσεων γίνεται

με την επιλογή ώστε να ισχύει

( ) 1 ( 1) 1( )k kx D L U x D b

)()( )1(1)( bUxLDx kk

bLDxDULDx kk 1)1(1)( 1)( 211

2

opt

)(ip

)()( ii Axbr )()()1()1( / iiii

i ApprrTT

)1(1

)()( iii prp

)1()1()()( / iiiii rrrr

TT

)(1)( ii rArT

( ) ( 1) ( ) ( 1)( _ _ )i i i ip Ap r r


• Η PGS ήταν αποδοτική μονό σε παραλλαγές της CG• Σύγκριση της απόδοσης μεθόδου CG ως προς τη μέθοδο

αρχικών συνθηκών: 1. H μέθοδος PGS ως αρχική συνθήκη

2. Η μέθοδος μερικής LU παραγοντοποίησης PLUCGS

• H PLUCGS είχε τα χαρακτηρίστηκα:

1. Μειωμένη χρησιμοποίηση μνήμης

2. Πιο αργή σύγκλιση

3. Περιλαμβάνει μονό fill in ορούς πρώτου επιπέδου

Circuit

Speedup of PLUCGS Speedup of PGS Solver Over

Solver Over Direct Solver Direct Solver

loht 0.66 2.73

vdram 1.11 3.65


• Σύγκριση της PGS με τη μέθοδο CGS που χρησιμοποιεί

την PGS σαν μέθοδο αρχικών συνθηκών:

1. Απαιτεί περισσότερη μνήμη από τη μέθοδο PGS

2. Αυξάνει την ταχύτητα επίλυσης μέχρι 15%

3. Έχει αυξημένη περιπλοκότητα κατά το υπολογισμό του

περιθωρίου

4. Προσφέρει πιο εύκολη software υλοποίηση

5. Πιθανός διάδοχος των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στα

προγράμματα προσομοίωσης των κυκλωμάτων

Υλοποίηση των εξισώσεων του Gummel Poon του SPICE με Matlab

Βήμα 1:

LH0024 High Slew Rate Operational Amplifier


• Βήμα 2:

Break Transistor και Break Diode


• Βήμα 3: Τα αποτελέσματα των παραμέτρων του τρανζίστορ καθώς και η εξάρτηση τους από

τη θερμοκρασία, κατά τον υπολογισμό στο MATLAB


• Βήμα 4: Yπολογισμός των ρευμάτων του Gummel Poon μοντέλου

MATLAB DC solution for BJT break TEMPERATURE=10.00 DEG C

Ibc2 Ibe2 Ibc1p

0 0 -6.31E-18

Ibe1p Rb Ie

2.21E-06 0 0.00022131

Temp=10 deg VBE VBC Ib Ic

Spice Q(1) 0.761 -5.43 0.77948 0.77948

Matlab Q(1) 0.761 -5.43 2.21E-06 0.0002213


Ibc2 Ibe2 Ibc1p

0 0 -1.00E-16

Ibe1p Rb Ie

2.19E-06 0 0.00021942


Spice Q(1) 0.735 -5.45 0.77948 0.77948

Matlab Q(1) 0.735 -5.45 2.19E-06 0.0002194


Ibc2 Ibe2 Ibc1p

0 0 -6.80E-16

Ibe1p Rb Ie

2.11E-06 0 0.00021059


Spice Q(1) 0.714 -5.46 0.77948 0.77948

Matlab Q(1) 0.714 -5.46 2.11E-06 0.0002106


• Βήμα 5 : Xρήση των μοντέλων tnenadNPN, tnenadPNP, tnenadD


• Βήμα 6 : Υπολογισμός των παραμέτρων του Gummel Poon μοντέλου του tnenadNPN


• Βήμα 7 : Υπολογισμός των ρευμάτων του Gummel Poon μοντέλου του tnenadNPN


• Βήμα 8 :

Tο ισοδύναμο κύκλωμα Gummel Poon στις θέσεις των τρανζίστορ


• Συμπεράσματα :

1. Για ορισμένο συνδυασμό παραμέτρων είχαμε μεγάλη

ανακρίβεια κατά το υπολογισμό με το ΜATLAB, δηλαδή

μεγάλη απόκλιση των τιμών σε σύγκριση με το SPICE.

2. Υπάρχει δυνατότητα, τα κυκλώματα που περιέχουν

τρανζίστορ και διόδους να απλοποιηθούν σε ένα κύκλωμα

όπου έχουμε μονό εξαρτημένες πηγές και αντιστάσεις. Κατά

συνέπεια είναι εφικτή και η υλοποίηση του κυκλώματος με

πίνακες καθώς και η επίλυση του με την μεθοδο PGS

Συμπεράσματα1. Εχει καλύτερη απόδοση από ότι οι συνηθισμένες επαναληπτικές

χαλαρωτικές μεθόδους

2. Χαρακτηρίζεται από ένα γρήγορο ρυθμό σύγκλισης ,το οποίο

ελέγχεται δυναμικά, με την ρύθμιση του περιθωρίου σφάλματος

3. Μέχρι και 10 φορές γρηγορότερη επίλυση από την άμεση μέθοδο

και μεγάλα κέρδη σε μεγάλα κυκλώματα

4. Σημειώνει μια εξαιρετική γραμμικότητα του ρυθμού σύγκλισης

5. Είναι ακριβής σε όλα τα κυκλώματα με πολλούς διαφορετικούς

τύπους στοιχείων

6. PGS βελτιώνουν το κέρδος και θα είναι περισσότερα αποδοτική στα

κυκλώματα με περισσοτέρους fill-in όρους στον πίνακα

7. PGS παρουσιάστηκε αποδοτική μονό σε παραλλαγές της μεθόδου

συζυγών κλίσεων

8. Ενδεχόμενη μελλοντική υλοποίηση στο SPICE

ΤΕΛΟΣ

Documents

Σύντομη περιγραφή διπλωματικής εργασίας