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第五章 大数定理和中心极限定理. 第一节 大数定理 第二节 中心极限定理. 第一节 大数定理. 依概率收敛的序列有如下性质：. 由数学期望和方差的性质. 第二节 中心极限定理定理. 独立地掷 10 颗骰子，求掷出的点数之和在 30 到 40 点之间的概率。. 在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付 12 元保险费。在一年内这些人死亡的概率都为 0.006 ，死亡后家属可向保险公司领取 1000 元，试求： （ 1 ）保险公司一年的利润不少于 6 万元的概率； （ 2 ）保险公司亏本的概率。. 公司一年的利润为：. - PowerPoint PPT Presentation
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第五章 大数定理和中心极限定理
第一节 大数定理第二节 中心极限定理
第一节 大数定理1定义 是一个常是一个随机变量序列设 aYYY n ,,,,, 21
有若对任何正数数 ,,
1lim
aYP nn
aYaYYY Pnn 记为依概率收敛于则称序列 ,,,,, 21
依概率收敛的序列有如下性质： 则连续在点又设设 ,),(),(,, bayxgbYaX P
nP
n
),(),( bagYXg Pnn
)(1伯努利大数定律定理 AE 事件是可重复进行的设试验 ,
将试验率在每次试验中出现的概 ),10()( ppAP
则出现的次数表示其中事件用次独立地进行 ,, Ann A
有对于任意正数
1lim
pn
nP A
n
0lim
pn
nP A
n
或者
证明： pnbnA ,~因为
故 npnE A pnpnD A 1
由数学期望和方差的性质 p
n
nE A
n
ppnD
nn
nD A
A )1(12
由切比雪夫不等式可得任取 ,0
0)1(1
22
n
pp
n
nDp
n
nP AA n
11 limlim
pn
nPp
n
nP A
n
A
n
若记
不出现次试验中事件第出现次试验中事件第Ai
AiX i
0
1
则
n
iiA Xn
1
n
ii
A Xnn
n
1
1
n
ii
n
i
XEn
APn
p11
11
111
1 1lim
n
i
n
iii
n
XEn
Xn
P可写成定理1
的数学期望 ,,,, 21 nXXX若随机变量序列一般地,
满足则称随机变量序列且满足上式都存在 }{,, nX
大数定理
)(2 殊情况切比雪夫大数定律的特定理且具有相同相互独立设随机变量 ,,,,, 21 nXXX
的数学期望和方差： kXE 2kXD ),2,1( k
个随机变量的算术平均作前n
n
kkXn
X1
1
有则对于任意正数 ,
111
1 1limlim
n
k
n
kkk
nn
XEn
Xn
PXP
证明：由于
nn
XEn
Xn
En
kk
n
kk
111
11
n
nn
XDn
Xn
Dn
kk
n
kk
22
122
1
111
由切比雪夫不等式可得任取 ,0
2
2
1
11
nX
nP
n
kk
11
1lim
n
kk
n
Xn
P
)(3辛钦大数定律定理
,,,,,, 21 服从同一分布相互独立设随机变量 nXXX
有则对于任意具有数学期望 0),,2,1( kXE k
11
1lim
n
ik
n
Xn
P
第二节 中心极限定理定理)(1 极限定理独立同分布情形的中心定理
,,,,,, 21 服从同一分布相互独立设随机变量 nXXX
2, ( ) 0( 1,2 )i iE X D X i 具有数学期望 方差
则随机变量之和
n
iiX
1的标准化变量
n
nX
XD
XEX
Y
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
1
1
11
满足：对于任意的分布函数 xxFn )(
xn
nXPxF
n
ii
nn
n
1limlim
xdtex
t
2
2
2
1
nNX
nX
n
ii
2
1
,1 ～
21
, nnNXn
ii～
实际说明定理1
1,01 Nn
nXn
ii
～
近似
近似
近似
充分大时当由此可见 n,
)(2 拉普拉斯中心极限定理—德莫佛定理
的二项服从参数为设随机变量 )10(,),2,1( ppnnn 有则对于任意分布 ,, x
xpnp
npP n
n 1lim
xdte
xt
2
2
2
1
pnp
npb
pnp
np
pnp
npaPbaP n
n111
pnp
npa
pnp
npb
11
有对任意充分大时当 ,, ban
1例 独立地掷 10颗骰子，求掷出的点数之和在 30
到 40点之间的概率。 解： )10,2,1( iiX i 颗骰子掷出的点数表示第
则 6
1 jXP i 6,,2,1 j
从而 2
7iXE
12
352 iXD
10
1
30 40ii
P X
由题意即求：
12
3510
2
71040
12
3510
2
710
12
3510
2
71030
4030
10
110
1
ii
ii
XPXP
12
3510
3530
12
3510
3540
65.017
62
2例 在一家保险公司有一万人参加保险，每年每人付12元保险费。在一年内这些人死亡的概率都为 0.006，死亡后家属可向保险公司领取 1000元，试求：
（ 1）保险公司一年的利润不少于 6万元的概率；
（ 2）保险公司亏本的概率。
解： ,X一年内的死亡的人数为设参加保险的一万人中
其分布律为则 ,006.0,10000~ bX
kk
kkXP
10000994.0006.010000
10000,,2,1,0 k
公司一年的利润为：
XX 12010001000120000
(1) 保险公司一年的利润不少于 6万元的概率为 600001201000 XP 600 XP
72.7
600
72.7
6060
5.005.077.70
(2) 保险公司亏本的概率为 12001201000 XPXP
72.7
60120
72.7
60XP
dtet
77.7
2
2
2
1
01177.71
3例 独立地测量一个物理量，每次测量产生的误差都服从区间（－ 1 ， 1 ）上的均匀分布
求为测量结果次测量的算术平均值作如果取 ,)1( n
的概率个小的正数它与其真值的差小于一
时的概率的近似值中当计算 6/1,36)1()2( n
应进行要使上述概率不小于取 ,95.0,6/1)3( ?多少次测量
解： 次测量值表示第表示所测物理量的真值用 iX i,)1(
差次测量所产生的随机误表示第ii ni ,,2,1
,i iX 于是 ~ 1,1 ,i U 由题设
21 1 1
0,12 3i iE D
所以
3
1, iii DXDXE
充分大时故独立同分布又 nXXX n ,,,, 21
3
1
n
nXn
ii
近似服从标准正态分布
nnXPXn
Pn
ii
n
ii
11
1
nn
nXP
n
ii
3
3
1
132 n
于是所求概率为
所求概率为时当 ,6/1,36)2( n
13636
12
6
1
36
1 36
1
i
iXP
132
173.12
92.0
使得要求 ,)3( n
1321
1
nXn
Pn
ii
2
13
n即 使得为此求
2
1
nn 由此确定再令 ,3
96.1,6/1,95.0 查表得对于
从而
46
36
13
96.1
3
2
2
2
n
