高中课标教材教与学的若干思考

福建师范大学数学与计算机科学学院福建师范大学数学与计算机科学教育研究所

陈清华 电话： 13600822237

邮箱： cqhmath@fjnu.edu.cn

课标课程改革之必要 改革是非常困难的（无理数的发现、伽利略

的自由落体学说等），但我们仍要改革；没有改革就没有出路（教育进展国际评估组织对世界 21 个国家的调查显示 , 中国孩子的计算能力排名世界第一 , 而创造力却排名倒数第五 ） .

习惯势力是非常可怕的 .

本讲座的工作基础 《福建中学数学》的编辑出版； 福建省教育厅重点科研课题《新课程背景下的高考

命题改革研究之 --- 数学学科命题研究》； “ 十五”期间福建省中学数学骨干教师、学科带头

人的培训、培养工作； 课标课程福建省骨干教师的首期培训工作； “ 高考命题研究中心”的挂牌成立 .

我们的具体工作 九个地市调研（ 176 个中学、 200 多节省级公开课、

30 多场的座谈会、 20 多场讲座）； 50 多所学校子课题的链接工作； 参与教育部《考试大纲》、《考试说明》的修订工

作 , 高考评价（专家）工作回忆，福建省数学科高考相关工作；

参与组织命题专家人选的培训工作； 近三年研究小组发表论文 100 多篇（含三个选修专

题的导教论文 10 多篇） .

高中数学教学的核心地位 1. 高一是基础：重在初高中衔接（内容衔

接、教法衔接、学法衔接），重在数学思想方法、学习方法培养 .

2. 高二是核心：从教学内容、教学方法、学习方法看 .

3. 高三是提高（巩固） .

需要加强的课标理念 1. 构建共同基础、提供发展平台：适应社会发展的数学基础，

进一步学习的数学基础 . 2. 提供多样课程、适应个性选择：文理分科，选修必修 . 3. 倡导积极主动、勇于探索的学习方式：探究、建模、创新

意识的培养 . 4. 注重提高学生的数学思维能力：直观感知、观察发现、归

纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思建构 .

注：诺贝尔奖与高考；发现问题比解决问题更重要（爱因斯坦）；一流的考生与一流的学生（人才）；科学与技术（四大发明、神舟、核弹等是技术）；中国的高中教育特别差（旅美教育家黄全愈） .

需要加强的课标理念 5. 发展学生的数学应用意识：应用题是最基本的数学应用

（防止伪应用） . 6. 与时俱进地认识“双基”：基础知识与基本技能（能力）

的内涵与外延（数据处理、统计知识的增加） . 7. 强调本质、注意适度形式化：数学（概念、法则、结论

等）的本质是什么（源？）？ 8. 体现数学的文化价值：情景创设、试题背景 ( 文化名题 ) 、

问题之源、提高兴趣等 . 9. 注重信息技术与数学课程的整合：不是形式的（ TI 手持

计算器、试题探究、试题命制等） ！ 10. 建立合理科学的评价体系 .

变中不变的数学思想 1. 陈省身的故事：“三角形的内角和等于 180 度”不

是好定理； 2. 椭圆中的变与不变（焦点、动点）； 3. 正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值（及

其推广）； 4. 等差（比）数列的公差（比）； 5. 概率与频率； 6. 背景与数学实质； 7. 三角形中的变与不变； 8.轨迹中的变与不变 .

改革并非“革命” 世界数学史表明：习惯势力是非常可怕的

（无理数的出现、伽利略的自由落体运动等） .

科学与习惯势力的斗争 . 成为真正的改革者 . 考试的改革是导向 .

一个强调 三维目标之”过程与方法”目标

一、关于课标教材使用的调研

不到位、不适应、不认同、不放心、不清晰 1. 课标课程设置落实不到位

2．知识展现方式变化引发的不适应

“螺旋式”的知识展现方式与 “直进式”的知识展现方式

3 ．知识之间关联度变化引发的不认同

一、关于课标教材使用的调研（续）

课标教材中，在大纲教材里成块展现的知识被切割，在不同的模块中展现，这使得知识的内在逻辑联系在直接展现上削弱了、甚至混乱

4．知识要求变化引发的不放心 课标在知识要求上体现为总体降低 5. 教师对课标课程高考的认识不清晰

二、调研引发的思考1 ．关于不适应的思考

福建省九个地市无一例外地选择了与《大纲》教材最为接近的人教 A版作为 2006 年下半年入学的高一学生的数学教材，并且为此找出了一个“冠冕堂皇”的理由——平稳过渡． 所谓的“平稳过渡”、所谓的“不适应”都是针对教师而言的，教师已有的教学经历、教学体验正是“不适应”的源头！ “平稳过渡”从某种意义上说，就是教师不愿意转变教学观念、变革教学方式的托词！ 于学生而言，无论何种教材都是新知识的载体，无所谓适应与否． 从“平稳过渡”的角度说，与《大纲》教材最为接近的课标教材过渡最不平稳，因为 2006 年下半年入学的高一学生在初中阶段所使用的就是课标教材！

　　认真研读《课标》，以《课标》所倡导的课程理念为引领，转变教学观念，应该是消除“不适应感”的惟一途径．

2．关于不认同的思考　　《课标》基于模块对数学知识的切割方式存在着值得进一步完善之处． 　　如果撇开其他因素，仅以课标教材中知识的内在逻辑联系在直接展现上削弱了、甚至混乱了这一因素为由而不认同课标教材，应该是可以理解的． 　　问题在于，在国家教育部没有对《课标》进行修订之前，是否应该允许这种“不认同”的存在？ 　　广大中学教师应该从情感上欣赏课标课程，从理智上接受课标课程． 　　　　　　　　——国家教育部考试中心副主任　梁育民

3 ．关于不放心的思考

一个不该出现的问题！

　　《课标》在其第三部分“内容标准”里，对不论是必修内容、限定选修内容，还是选考内容都从要求上作了极为明晰的界定．甚至，对目标要求所涉及的行为动词水平也作了明晰的解读．应该认为，这些界定和解读已经使中学教学有了极其明确的教学依据．

　　在“教考分离”日渐全面实施的今天，置《课标》的“内容标准”于不顾，凭借教师自身已有的经验拓宽知识、拓展方法的做法，正是对学生最大的不负责任！

三、关于教材使用的建议 1 ．正确认识教材 1.1 重新认识数学 （ 1）数学的两重性 数学内容的形式性和数学发现的经验性． 数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学象是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来象是一门试验性的归纳科学．——波利亚（ G.Polya ）

（ 2）数学的基本要素 数学的基本要素为：逻辑和直觉，分析和构造，一般性和个别性．——柯朗（ R.Courant ） （ 3）数学发展的动态性 数学是一门有待探索的、动态的、进化的思维训练，而不是僵化的、绝对的、封闭的规则体系；数学是一种科学，而不是一堆原则，数学是关于模式的科学，而不是仅仅关于数的科学．——《人人关心数学教育的未来》

1.2 重新认识数学的价值、数学的教育价值的认识 （ 1）数学的科学价值、应用价值和文化价值 （ 2）数学的教育价值 1.3 重新定位教师在课标课程实施中的地位和角色

帮助学生认识到： ①如果只是重复前人的结论而缺乏自己的思考，就难有新的创造． ②对人的创造能力来说，有两个东西比记忆更重要，一个是他要知道到哪里去寻找他所需要的比他能够记忆的多得多的知识，再一个是他综合使用这些知识进行新的创造的能力． 努力做到使学生学会学习． ①在学生记忆公式和定理的同时，更多地、想方设法地使学生学会怎样去思考问题、提出问题，学会面对陌生的问题和领域寻找解决问题的方法； ②设法把学生的眼光引向广阔的知识海洋，让学生知道，生活的一切时间和空间都是他们学习的课堂．

1.4 正确认识课标课程理念下的高中数学学习内容 （ 1）对 10个模块内容的认识 ①知识领域 从代数、几何、概率统计、微积分、与信息技术相关的内容（算法、框图、推理与证明）等五个领域考虑．解决“有什么”内容的问题． ②知识结构 揭示数学各部分内容、各分支之间的有机联系，提高对高中课标课程数学内容整体的认识． ③思想方法 对数学内容的进一步提升，进一步加深对高中课标课程数学内容和教育价值的认识．

（ 2）对选修系列 3 、 4中 16个专题的认识 ①专题内容的构成 选修系列 3和系列 4的专题的学习重在提高数学素养，拓宽视野．大致分为三类． （Ⅰ）在学生已学数学内容基础上进一步加深对已学知识和相关知识的了解和认识，是在学生已学数学内容基础上的延伸和拓广．例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等． （Ⅱ）对近现代数学中一些重要数学思想方法的介绍，但不是把大学有关内容的简化下放．例如对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等． （Ⅲ）反映数学与现实世界紧密联系与广泛应用的内容，通过这些专题的学习，可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识．例如信息安全与密码、优选法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等．

②专题内容的要求 专题的内容不要求严格的系统性，但也不是简单地讲讲故事，又不是科普读物．而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方法，或者基本应用有一个初步的了解． 选修系列 3和系列 4这两个系列的专题在教学要求上是有所区别的． 选修系列 3 的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，以开阔学生视野，从数学的发展或从一个具体的数学分支，来认识数学的魅力和价值． 选修系列 4的专题，虽然也是要深入浅出地介绍各个专题的主要内容和基本思想，同时还要求学生能够运用其中的一些数学知识，计算、证明或处理一些问题． 选修系列 3和系列 4的设置和实施是一个动态发展的过程．

2 ．合理使用教材

与大纲课程的“一纲一本”有着明显区别的是，课标课程的“一标多本”使得所选用的教材不再是教学的主要依据，任何一种版本的教材都只是编写者对《课标》进行个性化解读的成果，教学的主要依据甚至惟一依据是《课标》．

教师必须以学生的发展为本，以帮助学生更好地体验数学发现和创造的历程、发展其创新意识和实践能力为着眼点，根据自身的教学风格，认真研读所选用的教材，进而对所选用的教材做出个性化的解读，为合理使用教材、实施个性化教学奠定基础．这实际上也是课标课程的“选择性”理念在教学中的具体体现．

3 ．若干教学建议 3.1 在课堂教学中努力把关注的焦点放在学生方面 3.2 在学习、实践、探索、研究中进行教与学 3.3 把握好新增内容的教学 案例 1 算法 （ 1）增加的理由 学习和体会算法的基本思想对于理解算理、提高逻辑思维能力、发展有条理的思考和表达是十分重要和有效的． （ 2）教学定位 结合具体实例，感受、学习和体会算法的基本思想；学习和体验算法的程序框图、基本算法语言；并将算法的思想方法渗透到高中数学的有关内容中，学习分析、解决问题的一种方法．

案例 2 推理和证明 （ 1）增加的理由 推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们在一般学习和生活中常用的思维方式，是发展理性思维的重要方面；数学与其他学科最突出的区别在于数学内部规律的真确性必须用演绎推理（逻辑推理）的方式来证明，而在证明或学习数学过程中，又经常要用合情推理去猜测和发现结论、探索和提供思路．因此，无论是学习数学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，都需要在高中数学中加强这方面的学习和训练．此外，随着信息技术的发展，机器证明、自动控制等方面的应用也需要学习推理与证明的有关内容．

（ 2）教学定位 变隐性为显性、化分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，使学生感受和体验学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作用，提高数学素养．

案例 3 矩阵与变换 （ 1）增加的理由 矩阵作为一种表示，在数学上是一个高度有用的工具；矩阵作为一种线性变换，由于线性变换的重要性和它的应用的广泛性，使得矩阵在许多学科中有着广泛的应用．该专题通过几何图形的变换介绍矩阵的基本知识和基本思想，对于高中学生的数学学习就显得更有意义了．

（ 2）教学定位 特别强调从具体实例入手，充分利用几何图形的直观（尽管矩阵表示的变换不仅是几何图形的变换），结合几何图形的变换来介绍有关内容，理解矩阵作为线性变换表示的实质，尽量不引入抽象的形式运算符号，不强调系统性．

3.4 把握有关内容在要求和处理上的变化 案例 4 函数 强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题；注重与方程的联系及函数观点在二分法中的应用；加强了函数作为重要数学模型的应用；充分注意到学生对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历一个多次接触、螺旋上升的较长过程．减弱对反函数、对数函数的要求． 案例 4 统计 强调统计基本思想和方法的认识和理解，而不能把统计作为计算统计量的学习．让学生比较系统地参与收集数据、整理、分析数据、从数据中提取信息、进行估计、作出推断的全过程，并让学生在经历解决问题的活动过程中，感受和体验统计用样本来估计总体，即从局部来推断整体的归纳思想，学会收集数据的一些基本方法，体会统计思维与确定性思维的差异．

3.5 借助几何直观，揭示基本概念和基础知识的本质和关系，同时学会数学学习和思考的一种基本方法

几何直观形象、直观，能启迪思路、帮助理解．因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方法和途径．从某种意义上来说，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解．

案例 5 函数的性质

案例 6 导数的概念

案例 7 圆锥曲线

3.6 鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，更好地认识和理解数学 把自己知道得最多、最好、最生动的东西给学生； 考虑如何引导学生参与，应该给学生一些什么，不给什么；先给什么，后给什么； 考虑以什么样的形式能给他带来最大的思考空间； 考虑怎样创设问题情境？怎么提问？在什么时候、提什么样的问题才会有助于学生认识和理解基本概念、掌握基础知识． 案例 8 集合、集合的基本关系、集合的运算 案例 9 直线与方程、圆与方程 案例 10 圆锥曲线的概念

3.7 注重联系，提高对数学和数学教育价值的整体认识，发展学生的应用意识和实践能力 注重联系是数学学习的要求．课标课程模块的结构和对数学应用的要求更应关注数学不同内容、不同分支之间的联系，数学与日常生活的联系，以及数学与其它科学的联系． 案例 11 把握好函数与其他内容之间的联系，通过内容之间的种种联系，通过与社会生活的联系，理解函数的概念及其应用，体会为什么函数是高中数学的核心概念． 案例 12 在学习向量时或在学习向量后，有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较，感受和体验向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．

案例 13 有目的、有意识地将算法思想渗透和应用在有关内容中，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用．

案例 14 把握好数学与现实生活、与其它学科之间的联系，使学生对数学的应用有感性的认识．比如教学中要重视向量与力、速度、加速度的联系，三角函数 与力学中单摆运动、波的传播、交流电之间的联系．导数与现实社会、与其他学科的联系，所描述的现实社会、以及其他学科中的种种变化率，如：绿地面积的增长率、人口的增长率、排污率、运动物体的瞬时速度和加速度、药物浓度在人体内的瞬时变化率，等等．

3.8 恰当使用信息技术，改善学生的学习方式，加深对基本概念和基础知识的理解

在鼓励学生运用现代信息技术学习数学时，应让他们认识到现代信息技术的飞速发展，方便了数学的教与学，为数学的教与学注入了新的活力； 同时认识到，现代信息技术不能替代艰苦的学习和人脑精密的思考，而只是作为达到目的的一种手段、一种无可比拟的工具，从而合理而非盲目地使用信息技术，做到非“为‘使用’而‘使用’”，而是“因‘需要’而‘使用’”．

四、关于学习评价的思考 课标课程的学习评价包括过程评价和终结评价，最受关注的是终结评价． 1 ．终结评价应该评价什么的问题

共识—— 不能是：教师认为应该评价什么，终结评价就应该评价什么！ 而应该是：数学的终结评价应该评价的是“数学的本质”、是学生作为社会人所必需的“数学素养”． 2 ．评价内容的选择与试题的数量问题

2007年广东省“课标卷”“超量命题、限量答题”做法值得借鉴．

3 ．试卷与试题难度值的问题 恰当、甚至偏低的试卷难度值符合课标课程的“大众数学”理念，有助于中学数学教育的健康发展．

注重基础知识，考查基本数学思想方法、基本数学能力，考查通性通法是较好地把握难度值的基本途径．

4．运算能力的考查问题 运算能力于数学学习的重要性毋庸置疑．但把运算能力的考查体现为大量的、机械的运算，甚至体现为运算技巧的运用，而不是侧重算理和逻辑推理的考查，无疑是值得商榷的． 应该认识到，是对算理和逻辑推理的考查才是必须关注的．

5．关于课标卷的认识与思考

（ 1）一个必须明确的认识

｛高考试卷｝｛《考试说明》｝ ｛《考纲》｝｛《课标》｝

高考试卷命制的最主要依据是当年的《考试说明》． 《考试说明》编写的依据有二：一是当年的《考纲》；另一是本省中学教学的实际，包括所选用的教材和本省中学教学的实际水平． 《考纲》编写的依据是《课标》．

案例 15 选修系列 “ 4-5—不等式选讲”（Ⅰ）《课标》规定的主要内容与学习要求 1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．

2.理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式

a b a b 以及 a b a c c b ；

会利用绝对值的几何意义求解形如 ax b c ， ax b c 以及 x c x b a

的不等式．

3.认识柯西不等式的几种不同形式．理解它们的几何意义．

（1）证明：柯西不等式的向量形式—— a b a b．

（2）证明： 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd ．

（3）证明： 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y x x y y x x y y

（通常称作平面三角不等式）．

4.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： 2 2 2

1 1 1

( )n n n

i i i ii i i

a b a b

．

5.用向量递归方法讨论排序不等式．

6.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问

题．

7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1 ) 1nx nx （ 1x ， 0x ， *n N ）．

并且了解当 n为大于 1的实数时，贝努利不等式也成立．

8.会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式

求一些特定函数的极值．

9.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、

反证法、放缩法．

10.完成一个学习总结报告．报告应包括三方面的内容：

（1）知识的总结．对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背

景进行总结．

（2）拓展．通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨

不等式的应用．

（3）对不等式学习的感受、体会．

1.理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式

① a b a b ；② a b a c c b ；③会利用绝对值的几何意义求解形

如 ax b c ， ax b c 和 x c x b a 的不等式．

2.了解柯西不等式的几种不同形式．理解它们的几何意义．并会证明：

①柯西不等式的向量形式： a b a b．

② 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd ．

③ 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y x x y y x x y y

（通常称作平面三角不等式）．

（Ⅱ）课标版《考试大纲》规定的考试内容与要求

3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： 2 2 2

1 1 1

( )n n n

i i i ii i i

a b a b

．

4.用向量递归方法讨论排序不等式．

5.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问

题．

6.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1 ) 1nx nx （ 1x ， 0x ， *n N ）．

并且了解当 n为大于 1的实数时，贝努利不等式也成立．

7.会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式

求一些特定函数的极值．

8.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法． 严格遵照《课标》的“内容标准”控制教学的深度与广度是毋庸置疑的．

（ 2）课标卷的考试形式 考试采用闭卷、笔答形式，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . （ 3）课标卷的试卷结构

①试卷包括选择题、填空题和解答题等题型 . 选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤和推证过程 . ②试卷包括容易题、中等题和难题，以中等题为主 . ③试卷包括必做试题和选做试题 .

（ 4） 2007年课标卷的两种基本结构

广东卷的基本结构

题型 题量 每题赋分 分值小计

选择题 8 5分 40分

填空题 6（7） 5分 30分

解答题 6 16-17：12分；18-21：14分 80分

总计 20（21） 150分

备注：

其中 13-15题考查选考内容，超量命题（3题）、限量作答（2题）.

海南与宁夏卷的基本结构

题型 题量 每题赋分 分值小计

选择题 12 5分 60分

填空题 4 5分 20分

解答题 6 17-21：12分；22：10分 70分

总计 22（24） 150分

备注：

其中 22题考查选考内容，超量命题（3题）、限量作答（1题）.

（ 5） 2009年福建省课标卷的两种基本结构（征求意见稿） 基本结构一

题型 题量 每题赋分 分值小计

选择题 10 5分 50分

填空题 5 5分 25分

解答题 6 16:14分；17-20:12分；21:13分 75分

总计 21（23） 150分

备注：其中 16题考查选考内容，超量命题（3题）、限量作答（2题）.

基本结构二

题型 题量 每题赋分 分值小计

选择题 10 5分 50分

填空题 5（6） 11-14:4分；15:10分 26分

解答题 6 16-20:12分；21-22:14分 74分

总计 21（23） 150分

备注：

其中 15题考查选考内容，超量命题（3题）、限量作答（2题）

祝各位身体安康、心想事成！

谢 谢！