多变的“ ”多变的“ ”多变的“ ”多变的“ ”

如图所示的由街道构成的两个三角形全等吗 ?

294m

170m

294m

340m

30

30

南京路

重庆路

曙光路中山

路

环西路

浙教版七下 P35, 第 15 题 : 浙教版八上 P47, 第 2 题 :

如图， AB⊥BD 点 B ， CD⊥BD于点Ｄ ， P 是 BD 上一点，且AP=PC, AP⊥PC ，则请说明理由 .

PDCABP

P

C

正方形中 ABCD 中，作 AE 交 BC 于 E ， DF⊥AE 交 AB 于 F ，求证： AE=DF

如图， B ， C ， E 是同一直线上的三个点 , 四边

形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形．连接 BG ，DE ．观察猜想 BG 与 DE 之间的数量、位置关系，并证明你的结论 .

B C

G

A D

E

F

如图，∠ ACE=900 ，且 AC=CE, 过点 C 有一直线 m,过点 A作 AB m⊥ 交m于点 B，过点 E作 ED m⊥ 交m于点Ｄ ，请问线段 AB 、 ED 、 BD之间有什么数量关系 ,并证明 .

A

B C D

E

m

将上题的条件改为：若将直线m绕 C点逆时针旋转，当直线旋转到∠ ACE 内部时，直线 m 与 CE 所成的

锐角为 , （ ) ，其余条件不变。 请问线段 AB 、 ED 、 BD之间有什么数量关系 ,画出图形并证明 .

若将直线 m 继续旋转，当

结论会改变吗？

45

9045 A

C

E

(08 河北 ) 如图 14-1 ， 的边 BC 在直线 l 上， AC⊥BC ，且 AC=BC ； 的边FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP ．（ 1 ）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（ 2 ）将 沿直线 l 向左平移到图 14-2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ，连结 AP ， BQ ．猜想并写出与 BQ,AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（ 3 ）将 沿直线 l 向左平移到图 14-3 的位置时， EP 的延长线交 AC的延长线于点 Q ，连结 AP ， BQ ．你认为（ 2 ）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

ABC△ EFP△

EFP△

EFP△

如图 1 ，四边形 ABCD是正方形， G是 CD边上的一个动点( 点 G与 C、 D不重合 ) ，以 CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG，连结 BG， DE．我们探究下列图中线段 BG、线段 DE的长度关系及所在直线的位置关系： （ 1 ）①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE的长度关系及所在直线的位置关系；② 将图 1 中的正方形 CEFG绕着点 C按顺时针 ( 或逆时针 ) 方向旋转任意角度，得到如图 2 、如图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立 , 并选取图 2 证明你的判断．

(08 义乌 )

通过证明全等三角形， 证明线段的数量关系和位置关系。

【 08 滨州】在梯形 ABCD 中，AB∥CD ， ， AB=2 ， BC=3 ，CD=1 ， E 是 AD 中点，试判断 EC 与 EB的位置关系，并写出推理过程。

D

C

EA

B

090A 如图， ADBC 中，∠ A=∠B=900 ，E 是 AB 上一点，且 AE=BC ，∠ 1=∠2.(1)Rt△ADE 与 Rt△BEC 全等吗？请说明理由。(2)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由 .

2

1

E

D

CB

A

浙教版八上 P50, 第 12 题 :

在直线 l 上依次摆放着七个正方形 ( 如下图所示 ) 。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 、 2 、 3 ，正放置的四个正方形的面积依次是 S1 、 S2 、 S3 、 S4 ，则 S1 ＋ S2 ＋ S3 ＋ S4

的值是多少 ?

l

321 S4S3S2S1

通过证明全等三角形，利用特殊三角形的知识，进行计算和证明。

【 08 梅州】如图所示， E 是正方形 ABCD 的边AB 上的动点， EF⊥DE 交 BC 于点 F ．

• （ 1 ）求证 : ADE∽ BEF ；• （ 2 ） 设正方形的边长为 4 ， AE=x ， BF=y ．

当 x 取什么值时， y 有最大值 ? 并求出这个最大值．

【 08 荆门】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图 (1) 所示）是边长为0.4 米的正方形 ABCD ，点 E 、 F 分别在边 BC 和 CD 上，△ CFE 、△ ABE和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成△ CFE 、△ ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30元、 20元、 10元，若将此种地砖按图 (2) 所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH．(1) 判断图 (2) 中四边形 EFGH是何形状，并说明理由；(2)E 、 F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

（ 2 ）将原题中正方形改为矩形（如图 4—6 ），且 AB=a， BC=b， CE=ka， CG=kb (a≠b， k>0) ，第 (1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由．

（ 3 ）在第 (2) 题图 5 中，连结 DG、 BE，且 a=3 ，b=2 ， k=0.5 ，求的 BE2+DG2 值．

(08 义乌 )

（ 08嘉兴）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3 个有联系的问题，请你帮助解决：（ 1 ）如图 1 ，正方形中 ABCD 中，作 AE 交 BC 于 E ， DF⊥AE 交 AB 于 F ，求证： AE=DF ；（ 2 ）如图 2 ，正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别在 AD 、 BC 上，点 G 、 H分别在 AB 、 CD 上，且 EF⊥GH ，求 的值；

（ 3 ）如图 3 ，矩形 ABCD 中， AB=a， BC=b，点 E 、 F 分别在 AD 、 BC 上，且 EF⊥GH ，求 的值．

EF

GH

EF

GH

【 08沈阳】已知：如图①所示，在 和 中，AB=AC ， AD=AE ，∠ BAC=∠DAE ，且点 B,A,D 在一条直线上，连接 BE,CD,M,N分别为 BE,CD 的中点．（ 1 ）求证：① BE=CD ；② 是等腰三角形．（ 2 ）在图①的基础上，将 绕点 A 按顺时针方向旋转 1800 ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（ 1 ）中的两个结论是否仍然成立；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段 BC 于点 P ．求证：．

ABC△ ADE△

AMN△ADE△

PBD AMN△ ∽△

（ 07双柏）如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形， CB∥OA ， OA=7 ， AB=4 ，∠COA=60°，点 P 为 x轴上的—个动点，点 P 不与点 0 、点 A 重合．连结 CP ，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D ．(1) 求点 B 的坐标；(2) 当点 P运动什么位置时，△ OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标；(3) 当点 P运动什么位置时，使得∠ CPD=∠OAB ，且 ，求这时点 P 的坐标．

5

8

BD

BA

（ 08 义乌）如图 1 所示，直角梯形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 y轴正半轴与轴负半轴上 . 过点 B 、 C 作直线．将直线平移，平移后的直线与 x轴交于点 D ，与轴交于点 E ．（ 1 ）将直线向右平移，设平移距离 CD 为 t (t 0) ，直角梯形 OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为 s， s关于 t 的函数图象如图 2 所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分， NQ 为射线， N点横坐标为 4 ．① 求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积；② 当 2<t<4 时，求 S 关于 t 的函数解析式；（ 2 ）在第（ 1 ）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线 BC 重合），在直线 AB 上是否存在点 P ，使ΔPDE 为等腰直角三角形 ? 若存在，请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 ;若不存在，请说明理由。

（ 2008苏州）课堂上，老师将图①中 绕点 O逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当 旋转 900 时，得到 ．已知， A(4,2),B(3,0).（ 1 ） 的面积是 ；A1 点的坐标为（ ， ）；点 B1 的坐标为（ ， ）；（ 2 ）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中 绕的 AO中点 C(2,1) 逆时针旋转 900 得到 ，设 O’B’交 OA 于 D ，交 X轴于 E ．此时， A’,O’,B’ 的坐标分别为 (1,3) ， (3,-1) 和 (3,2) ，且 O’B’经过点 B ．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与 重叠部分的面积不断变小，旋转到 900 时重叠部分的面积（即四边形 CEBD 的面积）最小，求四边形 CEBD 的面积．（ 3 ）在（ 2 ）的条件下， 外接圆的半径等于 ．

y

x1

1

B1

A1

A(4， 2)

B(3， 0)O

图①

y

x1

1

A(4,2)

B(3,0)O

图②

(1,3)

(3,2)

D

(3,-1)

C

E

AOB△AOB△

AOB△

AOB△

1 1AOB△

1 1AOB△

A O B △

AOB△

利用相似三角形的证明和性质，解决综合性较强的题型。

K字形的变化

动线 变换

加框 变形