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第七章 线性变换. §7.7 线性变换的定义. 一、 不变子空间的概念. 二、线性变换在不变子空间上的限制. 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简. 四、线性空间的直和分解. 设 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换, W 是 V 的. 的子空间,若 有. 则称 W 是 的不变子空间 ,简称为 -子空间. 个变换 来说,都是 -子空间. 一、不变子空间. 1 、定义. 注:. V 的平凡子空间( V 及零子空间)对于 V 的任意一. 1 ) 两个 -子空间的交与和仍是 -子空间. - PowerPoint PPT Presentation
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§§7.77.7 不变子空间不变子空间
一、一、不变子空间的概念 不变子空间的概念
二、线性变换在不变子空间上的限制二、线性变换在不变子空间上的限制
§7.7 §7.7 线性变换的定义线性变换的定义
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
四、线性空间的直和分解四、线性空间的直和分解
第七章 线性变换第七章 线性变换
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
设 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换, W 是 V 的 A
的子空间,若 有 ,W ( ) ( )即W W W A A
则称 W 是 的不变子空间,简称为 -子空间 . A A
V 的平凡子空间( V 及零子空间)对于 V 的任意一
个变换 来说,都是 -子空间 . A A
一、不变子空间一、不变子空间1 、定义
注:
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
1 )两个 -子空间的交与和仍是 -子空间 .A A
2 )设 则 W 是 -子空间1 2( , , ),sW L A
1 2( ), ( ), , ( ) .s W A A A
证: 显然成立 ." "
" " 任取 设 ,W 1 1 2 2 ,s sk k k
则 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).s sk k k A A A A
故 W 为 的不变子空间 .A
2 、不变子空间的简单性质
由于 1 2( ), ( ), , ( ) ,s W A A A ( ) .W A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
1 )线性变换 的值域 与核 都是 的A ( )VA 1 0A A
不变子空间 .
证: ( ) ( ) ,V V V A A
, ( ) ( ).V V A A A有
故 为 的不变子空间 .( )VA A
又任取 有 1 0 , A 1( ) 0 (0). A A
3 、一些重要不变子空间
1(0) A 也为 的不变子空间 . A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
2 )若 则 与 都是 -子空间 . ,AB=BA ( )VB 1(0)B A
证: ( ) ( ) .V V B B
对 存在 使( ), ,V V B ( ), B
于是有,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V A A B AB BA B A B
( )VB 为 的不变子空间 . A
1 0 , 0 ,V B B其次,由
对 有 1 0 , B 0. B
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. B A BA AB A B A
1( ) 0 . A B
故 为 的不变子空间 . 1 0B A
的多项式 的值域与核都是 的不变子空间 . A ( )f A A
这里 为 中任一多项式 .( )f x [ ]P x
( ) ( )f f A A A A
注:
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
,W k W
4 )线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间 . A0
V A , .o o oV V A有
5 )由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间 . A A
证:设 是 的分别属于特征值 1 2, , , s A
1 2, , , s 的特征向量 .
3 )任何子空间都是数乘变换 的不变子空间 .
任取 1 2( , , , ),sL
设 1 1 2 2 ,s sk k k 则
1 1 1 2 2 2 1 2( ) ( , , , )s s s sk k k L A
1 2( , , , )sL 为 的不变子空间 . A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
事实上,若 , 0 .W L k k P
则 为 的一组基 . L 因为 W 为 -子空间,A
( ) ,W A 即必存在 使,P . A
是 的特征向量 . A
特别地,由 的一个特征向量生成的子空间是一A
个一维 -子空间 . A 反过来,一个一维 -子空间A
必可看成是 的一个特征向量生成的子空间 . A
注:注:
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
二、 在不变子空间二、 在不变子空间 WW 引起的线性变换引起的线性变换A
定义:
不变子空间 W 上的限制 . 记作 .W
A
在不变子空间 W 上引起的线性变换,或称作 在 AA
设 是线性空间 V 的线性变换, W 是 V 的一个 的 A A
不变子空间 . 把 看作 W 上的一个线性变换,称作A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
① 当 时, W ( ) ( ).W A A
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零 A
变换,即 1 00 ;
AA
即有 0
.V oEA
注:注:
当 时, 无意义 . W ( )W A
.W W WA②
在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换,0
VA
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
1 、设 是 维线性空间 V 的线性变换, W 是 V 的A n
-子空间, 为 W 的一组基,把它扩允为1 2, , , k A
V 的一组基: 1 2 1, , , , , .k k n
若 在基 下的矩阵为 ,则 WA 1 2, , , k
1k kA P
A在基 下的矩阵具有下列形状 : 1 2, , , n
1 2
3.0
A AA
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
反之,若 1 21 2 1 2
3, , , , , , ,0n n
A AA
A
1 .k kA P 则由 生成的子空间必为 的1 2, , , k A
不变子空间 .
事实上,因为 W 是 V 的不变子空间 .
1 2( ), ( ), , ( ) .k W A A A
即, 均可被1 2( ), ( ), , ( )k A A A1 2, , , k
线性表出 .
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
从而, 1 2( , , , )n A
11 12 1 1, 1 1
11 11 2 2, 1 2
1 2 , 11 2
1, 1
, 1
( , , , )0 0 0
0 0 0
k k n
k k n
k k kk k k knn
k k kn
n k nn
a a a a aa a a a a
a a a a aa a
a a
1 21 2
3( , , , ) .0n
A AA
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
( )( )
( )
k k
k k
k k k kk k
a a aa a a
a a a
AA
A
设
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
在这组基下的矩阵为 iW
A , , 1,2, , .i in ni iA A P i s
若 ,则 1 2 sV W W W
1 211 1 21 2 1, , , , , , , , ,sn n s sn
为 V 的一组基,且在这组基下 的矩阵为准对角阵 A
2 、设 是 维线性空间 V 的线性变换, 都是 nAiW A
的不变子空间,而 是 的一组基,且 iW1 2, , ,ii i in
1
2 .
s
AA
A
( 1 )
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
的子空间 为 的不变子空间,且 V 具有直和分解: AiW
1 2 .sV W W W
由此即得:
下的矩阵为准对角矩阵 (1), 则由 生成 1 2, , ,ii i in
V 的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形A
V 可分解为一些 的不变子空间的直和 .A
反之,若 在基 1 211 1 21 2 1, , , , , , , , ,sn n s sn A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
定理 12 :设 为线性空间 V 的线性变换, 是 A ( )f
1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) srr r
sf
1 2 .sV V V V
四、线性空间的直和分解四、线性空间的直和分解
是 的特征多项式 . 若 具有分解式: A ( )f
再设 ( ) ( ) 0,iri iV E V A
A则 都是 的不变 子空间;且 V 具有直和分解:iV
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
证:令( )
( )( ) ii r
i
ff
( ) ,i iW f V A
则 是 的值域,iW ( )if A 是 的不变子空间 . iW A
又 ( ) ( ) ( )i ir ri i i iE W E f V A A A
( ) ( )iri iE f V f V A A A
( ) 0.iri iE W A ( 2 )
1 111 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,i i sr r rr
i i s
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
下证 分三步: 1 2 .sV V V V
1 . 证明 1 2 .sV W W W
1 2( ), ( ), ( ) 1sf f f
∴ 存在多项式 使1 2( ), ( ), , ( ),su u u
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1s su f u f u f
于是 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s su f u f u f E A A A A A
∴ 对 有 ,V
2 . 证明 是直和 . 1 2 sV V V
3 . 证明 , 1,2, , .i iV W i s
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s su f u f u f A A A A A A
1 1 2 2( ) ( )( ) ( ) ( )( )f u f u A A A A
( ) ( )( )s sf u A A
这里 ( ) ( )( ) ( ) , 1,2, , .i i i if u f V W i s A A A
1 2 .sV W W W
1 1 2 2( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )s su f u f u f A A A A A A
( )E
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
其中 i iV (也即, ),
( ) ( ) 0iri iE A
0, 1,2, , .i i s 则
( ) ( ),jrj if i j
∴ 存在 使 ( ),h ( ) ( )( ) .jr
i jf h
于是 ( ) ( )( ) .jr
i jf h E A A A
1 2 0s (3) 即证,若
2 . 证明 是直和 .1 2 sV V V
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
用 作用( 3 )的两端,得 ( )if A
1 2( )( )i sf A
( )( ) ( )( ) ( )jri j j jf h E A A A
( ) ( ) 0 0, .jrj jh E h j i A A A
又 ( ),( ) 1.iri if
1 2( )( ) ( )( ) ( )( )i i i sf f f A A A
( )( ) 0i if A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
( )(0) ( )(0) 0, 1,2, , .u v i s A A
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )iri i i iu f v E A A A A
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )iri i i i iE u f v E A A A A
从而 ( ) ( ) ( )( ) iri iu f v E E A A A A
所以 是直和 .1 2 sV V V
( ) ( ) ( )( ) 1iri iu f v
∴ 有多项式 ,使( ), ( )u v
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
3 . 证明 : ( ) ( ) 0,iri i iW V E V A
1( ) (0)ir
i iW E
A首先由 (2) ,有
1 2 , .s i iW
即 1 2 ( ) 0i s
其次,任取 设,iV
.i iW V即
令 , ( ); .j j i ij i
( ) 0.iri iE W A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
1 2 1 2s sV V V
0, 1,2, , .i i s
由( 2 ) , 有 ( ) ( ) 0, 1,2, , .iri iE i s A
从而有 ( ) ( ) 0, 1,2, , .iri iE i s A
( ) ( ) ( ) ( ) 0i ir ri i iE E A A
( ) ( ) ( ) ( )i ir ri i i iE E A A又
又 1 2 0,s
由 , 是直和,它的零向量分解式21 2 sV V V
即
,i iV
唯一 .
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
综合 ,即有1 ,2 ,3
1 2 .sV V V V
于是 .i iW
故 ( ) ( ) 0, .iri i iW V E V A
即有 .i iV W
是 的不变子空间,且 iV A
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
练习:练习: 设 3 维线性空间 V 的线性变换 在基A 1 2 3, ,
下的矩阵为 1 2 22 1 2 .2 2 1
A
证明: 是 的不变子空间 . 1 2 1 3( , )W L A
证:令 1 1 2 2 1 3,
由 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )A A
1 2 1 2 3
1 1( , ) ( , , ) 1 0 .
0 1
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
有
1 2 1 2 3
1 1( , ) ( , , ) 1 0
0 1
A A
1 2 3
1 1( , , ) 1 0
0 1A
1 2 3
1 2 2 1 1, , 2 1 2 1 0
2 2 1 0 1
1 2 3
1 1, , 1 0 .
0 1
§§7.77.7 不变子空间不变子空间
即 1 1 2 1( ) A
2 1 3 2( ) A
1 2( ), ( ) .W A A
故 W 为 的不变子空间 .A