Неопределенный интеграл и основные

методы интегрирования

Функция называется

первообразной для функции

на промежутке , если

для всех выполняется

равенство

xF

xf ba; bax ;

.xfxF

Теорема. Если – первообразная

от функции на сегменте то

всякая другая первообразная от функции

отличается от на постоянное

слагаемое, т.е. может быть представлена в виде

xF

xf , ;ba

xf xF

. CxF

Если - одна из первообразных Если - одна из первообразных для функции , то выражение для функции , то выражение , где называется, где называетсянеопределенным интеграломнеопределенным интегралом

xF xf

CxF constC

. CxFdxxf

.

;

;

анияинтегрировпеременнаяx

выражениельноеподинтеграdxxf

функцияльнаяподинтеграxf

Вычисление неопределенного Вычисление неопределенного

интеграла от заданной функции интеграла от заданной функции

называется называется интегрированиеминтегрированием.

• Дифференциал первообразной равен подинтегральному выражению:

dxxfdxxFdxxFxFd

CxFxFd

Cxdx

Геометрический смысл

неопределенного интеграла

X

Y

xFy

1CxFy 2CxFy

000 ;yxM

0x

0y

00

00

xFyC

CxFy

Таблица основных интегралов

Cedue

Ca

adua

Cuu

du

Cudu

nCn

uduu

uu

uu

nn

ln

)4

ln )3

)2

1 1

)11

Carctguu

du

Ca

uarctg

aua

du

Cctguu

du

Ctguu

du

Cuduu

Cuduu

2

22

2

2

1

1 )9

sin 8)

cos 7)

sincos )6

cossin )5

Cau

au

aau

du

Cauuau

du

Cuu

du

Ca

u

ua

du

ln2

1 )12

ln )11

arcsin1

arcsin )10

22

2

2

2

22

Основные свойства неопределенного

интеграла

0 )2

)1

kduufkduufk

duugduufduuguf

Основные методы интегрирования

Метод разложение

Cxx

xx

Cxx

xx

dxxdxxdxx

dxx

dxxxx

xdxx

xxx

2

2

212

32

323

24

2

12ln4

2

212ln4

2

21

4

124124

Метод замены переменной

Cx

Czdzzdz

z

dzdx

dxdz

xz

dxx

3cos3

1

cos3

1sin

3

1

3sin

3

3

3

3sin

CxCz

dzz

x

dz

z

x

x

dzdx

dxxdz

xz

x

dxx

3 23

3

2

3

1

23

2

2

2

3

3 3

2

12

1

323

1

3

1

3

3

3

1

1

Метод интегрирования по частям

• Пусть - две функции,

имеющие непрерывные производные.

xvvxuu и

duvdvuuv

duvdvuuvd

duvdvuuvd

duvvudvu

Виды интегралов, которые берутся по частям

остальноевсёdv

xPu

dxtgkxxP

dxkxxP

dxkxxP

dxexP

dxaxP

n

n

n

n

kx

n

kx

n

cos

sin

.1

остальноевсёu

dxxPdv

dxarcctgkxxP

dxarctgkxxP

dxkxxP

dxkxxP

dxxxP

n

n

n

n

n

an

arccos

arcsin

log.2

частям по аниеинтегриров Двукратное

cos

sin.3

dxkxxP

dxkxxP

n

n

Метод интегрирования рациональных дробей

• Рациональной дробью называется

отношение двух многочленов

Если , то дробь наз. неправильной;

Если , то дробь наз. правильной

.xQ

xP

n

m

nmnm

Простейшие рациональные дроби

nbax

A

bax

A

.2

.1

0 .4

0 .3

2

2

Dqpxx

BAx

Dqpxx

BAx

n

Правило интегрирование

рациональных дробей

Метод интегрирования тригонометрических функций

а)хотя бы один из показателей нечетный;

б)показатели – четные, неотрицательные.

dxxx mn cossin