广州市番禺区市桥桥城中学 李志平

三角形中位线定理的证明

Proof of mid point theorem

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知 : DE 是△ ABC 的中位线。

BC2

1DEDE//BC ，求证： ED

A

B C

ED

A

B C

FED

A

B C

F ED

A

B C

F

延长 DE 到 F ，使DE=EF

AE=CE

∠AED=∠CEF △AED≌△CEF (SAS)

∴AD=CF,

CF=BD CF∥AB

∴四边形 BCFD是平行四边形

∴DF∥BC,DF=BC

BC2

1DEDE//BC ，从而

延长 DE 到 F ，使DE=EF

∵AE=CE

∴四边形 ADCF是平行四边形

∴CF∥AB,CF=AD

CF=BD

连接 CF过点C作 AB的平行线，交 DE的延长线于点F

∴∠EAD=∠ECF

∵∠AED=∠CEF ， AE=CE

∴△AED≌△CEF (ASA)∴AD=CF

CF=BD

∠EAD=∠ECF

、 CD 、AF

ED

A

B CM

N

ED

A

B C

如图，过 E作 AB的平行线，再过A 作 BC的平行线，相交于点 N易得，四边形 ABMN是平行四边形

∴AN=BM 且 AN∥BC ， AB=MN 且 AB∥MN

∵∠EAN=∠C ，∠ N=∠EMC ，AE=CE∴△AEN≌△CEM (AAS)

NE=ME， NN M2

1E 即

ABAD2

1∵

∴NE=AD ， NE∥AD

∴四边形 ADEN是平行四边形∴DE=AN ， DE∥AN

∴AN=MC

BCDE2

1即∴DE=BM=MC，

DE∥BC

“补短”构造平行四边形

“截长”构造平行四边形

ED

A

B C

F方法 1

ED

A

B C

F方法 2

ED

A

B C

F方法 3

ED

A

B CM

N方法 4

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