第二节 一阶微分方程• 可分离变量的微分方程• 齐次方程• 一阶线性微分方程

一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg )()( 可分离变量的微分方程 .

54

22 yxdxdy

例如 ,2 254

dxxdyy

解法 设函数 )(yg 和 )(xf 是连续的,

dxxfdyyg )()(

设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf 的原函

数, CxFyG )()( 为微分方程的解 .

分离变量法

例 1 求解微分方程 .2 的通解xydxdy

解 分离变量 ,2xdxydy

两端积分 ,2 xdxydy

12ln Cxy

.2

为所求通解xCey

典型例题

.0)()(2 通解求方程例 xdyxygydxxyf

,xyu令 ,ydxxdydu 则

,0)()(

xydxdu

xugydxuf

,0)()]()([ duugdxxu

uguf

,0)]()([

)(

du

ugufuug

xdx

.)]()([

)(||ln Cdu

ugufuug

x

通解为

解

例3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成

正比,已知00MMt,求衰变过程中铀含量)(tM

随时间t变化的规律.

解 ,dtdM衰变速度 由题设条件

)0( 衰变系数 MdtdM

dtMdM

, dtMdM

00 MM t 代入

,lnln CtM ,tCeM 即0

0 CeM 得 ,CteMM 0

衰变规律

二、齐次方程)(xy

fdxdy

形如 的微分方程称为齐次方程 .

2. 解法 ,xy

u作变量代换 ,xuy 即

代入原式

,dxduxu

dxdy

),(ufdxduxu

.)(xuuf

dxdu

即 可分离变量的方程

1. 定义

,0)( 时当 uuf ,ln)( 1xCuufdu

得

,)(uCex 即 ）（

uufdu

u)(

)(

,代入将xy

u ,)(xy

Cex

得通解

,0u当 ,0)( 00 uuf使 ,0是新方程的解则 uu

,代回原方程 .0xuy 得齐次方程的解

例 4 求解微分方程

.0cos)cos( dyxy

xdxxy

yx

，令xy

u ，则 udxxdudy

,0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx

,cosxdx

udu ,lnsin Cxu

.lnsin Cxxy

微分方程的解为

解

22

22yxyx

xyydxdy

,

1

2

2

2

xy

xy

xy

xy

,xy

u令 ,udxxdudy 则

,12

2

2

uuuu

uxu

.2 222 xyydy

yxyxdx

例 5 求解微分方程

解

,lnlnln21

)2ln(23

)1ln( Cxuuu

.)2(

123 Cx

uu

u

微分方程的解为 .)2()( 32 xyCyxy

,]1

12

2)

12

1(

21

[xdx

duuuuu

)()( xQyxPdxdy

一阶线性微分方程的标准形式 :

,0)( xQ当 上方程称为齐次的 .

上方程称为非齐次的 .,0)( xQ当

三、一阶线性方程

例如 ,2xydxdy

,sin 2ttxdtdx

,32 xyyy ,1cos yy

线性的 ;

非线性的 .

.0)( yxPdxdy

,)( dxxPydy

,)( dxxPydy

,ln)(ln CdxxPy 齐次方程的通解为 .

)( dxxP

Cey

1. 线性齐次方程

一阶线性微分方程的解法

( 使用分离变量法 )

2. 线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy

讨论 ,)()(

dxxPyxQ

ydy

两边积分 ,)()(

ln dxxPdxyxQ

y

),()(

xvdxyxQ 为设 ,)()(ln dxxPxvy

.)()( dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式

与齐次方程通解相比 : )(xuC

常数变易法

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 .

实质 : 未知函数的变量代换 .

),()( xyxu 原未知函数新未知函数

作变换 dxxPexuy

)()(

,)]()[()()()(

dxxPdxxPexPxuexuy

代入原方程得和将 yy

,)()()(

CdxexQxudxxP

),()()(

xQexudxxP

积分得

一阶线性非齐次微分方程的通解为 :

dxxPdxxP

eCdxexQy)()(

])([

dxexQeCedxxPdxxPdxxP

)()()()(

对应齐次方程通解

非齐次方程特解

.sin1 的通解求方程xx

yx

y

,1

)(x

xP ,sin

)(xx

xQ

Cdxe

x

xey

dxx

dxx

11sin

Cdxex

xe xx lnln sin

Cxdxx

sin1 .cos

1Cx

x

解

例 6

例 7 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段 PQ 之长数值上等于阴影部分的面积 , 求曲线 .

y)(xfy )0(3 xxy

)(xf

,)()( 23

0yxdxxf

x

x

yxydx0

3 ,

两边求导得 ,3 2xyy

解

解此微分方程x

y

o x

P

Q

3xy

)(xfy

dxexCey

dxdx 23

,663 2 xxCe x

,0| 0xy由 ,6C得

所求曲线为 ).222(3 2 xxey x

23xyy

分离变量法步骤 :

1 、分离变量 ;

2 、两端积分 ------- 隐式通解 .

四、小结

一阶线性方程解法

1. 齐次方程

2. 线性非齐次方程

)(xy

fy ;xuy 令

;)()(

dxxPexuy令