Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство

Ванина Снежанна

135 группа

Основные этапы решения

Цель: Определение и исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в

рамках теории плоской деформации идеального жесткопластического тела на примере задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство

Этапы:1. Построение геометрии решения пластической области; составление уравнений, определяющих

положение особенностей поля линии скольжения и свободных подвижных поверхностей, ограничивающих деформированное тело в процессе пластического течения.

2. Определение поля скоростей перемещений в пластической области, удовлетворяющего граничным условиям.

3.Определение нормальной скорости распространения линии разрыва, скоростей перемещений и скорости подвижного центра веера линий скольжения, по которым определяется поле деформаций в пластической области.

Внедрение клина в жесткопластическое полупространство.Автомодельное решение

v – скорость внедрения клина

с – глубина внедрения клина

Вследствие симметричности пластического течения рассмотрим правую половину пластической области ABDEC деформированного материала, состоящую из треугольников ABD и AEC равномерного напряженного состояния и центрированного веера ADE, в центре которого сходятся прямолинейные линии скольжения семейства β.

α ,β – взаимно ортогональные семейства линий скольжений

u ,v – компоненты скорости перемещений

Геометрия пластической области

)sin(cos

1

c

h

sin1

cos2cos

Рассмотрим ∆OBF и ∆AFC. Т.к. площадь вытесняемого материала равна площади внедренной части клина, то:

AFCOBF SS

hACc

hAFгде

hc

hAFACS

tgcOFcOBгде

tgcOFOBS

CAF

CAF

,cos

:

),90sin()cos

(2

1)90sin(

2

12

1,:

,2

1)90sin(

2

1 2

Выражая AH из ∆AFH и ∆ACH, получаем:

OB=cAB=AC=h

И подставляя (2) в (1), получим:

(2)

(1)

(3)

Геометрия пластической области

cyx BB ,0

)sin(,sin hyhx AA

0)),cos((sin CC yhx

Согласно выбранной системе координат , крайние точки рассматриваемой части пластической области имеют следующие координаты: точка A:

точка B:

точка C:

Точка C, согласно предложенной схеме, всегда лежит на первоначальной линии контакта. Уравнения для соответствующих линий BDEC имеют вид:

Линия BD:

)( 00 xxkyy

cxtgy )4

(

Линия DE:

Линия EC:

2,

2:,

sin

cos

h

RгдеRyy

Rxx

A

A

))cos((sin)4

( hxtgy

(4)

(6)

(5)

Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

4cosG

Известно, что модуль градиента функции определяется через производную этой функции по нормали к линии уровня:

dn

dt

dn

dfyxgradf ),(

С другой стороны, производная

Следовательно, нормальная скорость движения линии разрыва определяется из соотношения:

22

11

y

f

x

fgradfG (7)

Используя формулу (7) для уравнений соответствующих линий BDEC будут иметь вид:

Уравнение задано в явном виде

Линия BD: cxtgy )4

(

tyxf ),( , то функция дифференцируема по соответствующей координате.

Тогда: (8)

Gdt

dn

: ,L f x y tL dn

Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

)sin(cos2

1,

)sin(cos

)sin(,

)sin(cos

sin

,4

,4

,sincos

dt

dR

dt

dy

dt

dxгде

dt

dR

dt

dy

dt

dxG

AA

AA

Это уравнение задано в параметрическом виде, тогда частные производные функции определяются соотношениями:

Линия DE:

.

,,2

,2

:,sin

cos

областиойпластическвскольжениялиниивееранногоцентрирова

положениезадающийпараметрнекоторыйгдеh

RгдеRyy

Rxx

A

A

Принимая это во внимание, получим:

(9)

y

t

y

fx

t

x

f constx

constx

consty

consty

,

Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

0,, tyx

t

y

y

f

t

xx

f

,

Уравнение линии EC представляет собой уравнение заданное в неявном виде

частные производные определяются следующим образом:

, тогда

Линия EC: ))cos((sin)4

( hxtgy

Значит, нормальная скорость G будет иметь вид:

sincos

cossin4

sin

G (10)

)sin(cos

1

c

h, где

Нормальная скорость распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

EC;

DE

BD;

для

дляdt

dR

dt

dy

dt

dx

для

G AA

,sincos

cossin4

sin

;4

,4

,sincos

,4

cos

sincos

sin

dt

dx A

sincos

sin

dt

dyA

sincos2

1

dt

dR

Учитывая полученные ранее соотношения скорости G, можем написать:

, где:

Деформация на жесткопластической границе

йперемещенискоростей

разрывалинииненияраспростраскоростьнормальнаяG

разрывалинииначастицдвиженияскорости

нормальнаяиякасательнаVVгдеVG

VW n

n

,,

sin2u

Абсолютное значение величины удельной диссипации энергии рассчитывается по формуле:

Поле скоростей однородно во всей пластической области. На жесткопластической границе BDEC проекция

скорости перемещения вдоль равна нулю. Тогда, согласно уравнениюГейрингер:- вдоль линии : 0 vddu

- вдоль линии : 0 vddv,где

- направленный против движения часовой стрелки угол наклона характеристик семейства α к оси абсцисс

Проекция u на каждой линии α является постоянной, и при краевом условии на AB (скорость клина V=1 при глубине внедрения c) равна

Тогда:G

Wsin2

(11)

sin2,0 uuVvVn

Деформация на жесткопластической границе

0cossinsin

0cossinsin

0coscossin

0coscossin

222

1222

212

1121

22212

12

22111

11

aaAa

aaAa

aaAa

aaAa

)sin(cos

)sin(,

)sin(cos

sin

dt

dyb

dt

dxa AA

vu

bauA

sincos

Определение деформаций в окрестности точки А, являющейся центром линии скольжения DAE, сводится к решению системы :

Для рассматриваемой задачи центр веера линий скольжения движется по закону:

, где

Траектория движения частиц в пластической области проходит через жесткопластическую границу BDEC. В частности, частица, попадающая в веер, получает начальные деформации на линии EC. Следовательно, решение системы (12) для закона движения вершины центрированного веера DAE (13) удовлетворяет начальным условиям (для случая 2=60°):

(12)

(13)

1W

01A

EC

,где 5790WEC . - удельная диссипация энергии на линии ЕС.

A- компоненты дисторсии

][][,0 0

,ijij

i

kkjk

k

ijij xaAx

VaV

x

a

t

a

Определение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения

матрицаованнаятранспонирA

дисторсиикомпонентыA

АльманситензорEгдеAAIE ij

*

,*2

1

212

22211

2211

1

42

12

1

,

EEEg

EEe

гдеgeE

1

41

4 2

2

1 W

WE

2221

1211

EE

EEEij

212

1 ,0

0EE

E

EE

В качестве меры деформаций выбран тензор конечных деформаций Альманси:

Или в главных значениях:

При плоской деформации:

Первое главное значение тензора Альманси:

, i,j=1,2

На линии разрыва поля скоростей перемещений

Поле деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения

μ=30°