МИНОБРНАУКИ РОССИИ

______________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

______________________________________

Математическое моделирование случайных процессов и их преобразования в радиотехнических

устройствах

Санкт-ПетербургИздательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2012

0

МИНОБРНАУКИ РОССИИ______________________________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

______________________________________

Математическое моделирование случайных процессов и их преобразования в радиотехнических

устройствах

Учебное пособие

Санкт-ПетербургИздательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2012

1

2

УДК 51-7:621.37(07)ББК В171я7М 34

Авторы: Андреева О. М., Богачев М. И., Красичков А. С., Маругин А. С., Пыко С. А., Соколова А. А., Соколов А.А.,Ульяницкий Ю. Д.

М 34 Математическое моделирование случайных процессов и их преобразования в радиотехнических устройствах. Учеб. пособие / Под общ. ред. проф. Ю. Д. Ульяницкого. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. 160 с.

ISBN 978-5-7629-1170-2

Рассматриваются математические модели случайных процессов и методы их компьютерного моделирования. Приводятся сведения по методам оценивания статистических характеристик и даются рекомендации по их практическому применению. Изучается преобразование случайных процессов линейными и нелинейными цепями.

Предназначено для бакалавров и магистров факультета радиотехники и телекоммуникаций, обучающихся по направлениям «Радиотехника» и «Инфотелекоммуникационные сети и системы связи», а также для специалистов по специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы».

УДК 621.396.9ББК В171я7

Рецензенты: 32-я каф. ВКА им. А. Ф. Можайского; заведующий каф. РС НовГУ им. Ярослава Мудрого, д-р техн. наук, проф. Л. А. Рассветалов.

Утвержденоредакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

3

ISBN 978-5-7629-1170-2 ©СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012

4

Введение

Название данного учебного пособия «Математическое моделирование случайных процессов и их преобразования в радиотехнических устройствах» требует определенных пояснений. На самом деле адекватным названием было бы «Случайные процессы в радиотехнике», однако наличие в каждой главе раздела, посвященного компьютерному моделированию изучаемых случайных процессов, в известной степени оправдывает название пособия, стоящее на титульном листе. Как и предыдущие учебные пособия [1, 2, 4], данное пособие написано коллективом авторов, обеспечивающих подготовку студентов бакалавриата, магистратуры и специалитета по таким дисциплинам как «Информатика», «Математический аппарат радиотехники», «Радиоавтоматика», «Статистическая теория связи», «Статистическая теория радиотехнических систем». Это многообразие педагогических и научных интересов отразилось, надеемся положительным образом, на содержании предлагаемому Вашему вниманию учебного пособия.

По существу оно (пособие) продолжает линию, начатую в компьютерном практикуме «Математический аппарат радиотехники» и «Статистическая теория РТС». Эта линии состоит в объединении в одном издании достаточно глубокого и полного изложения изучаемого материала и компьютерного моделирования, позволяющего обеспечить наглядность получаемых результатов и освоение соответствующих программных продуктов.

Пособие состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются общие вопросы теории случайных процессов с последующим изучением отдельных классов случайных процессов (нормальный случайный процесс, негауссовские узкополосные процессы, модуляция гармонического колебания случайным процессом, импульсные случайные процессы, марковские и кусочно-постоянные случайные процессы, выбросы случайных процессов). В этой же главе достаточно подробно рассматриваются методы получения характеристик случайных процессов. Этот материал необходим для грамотного компьютерного моделирования изучаемых процессов.

Вторая глава посвящена вопросам преобразования случайных процессов линейными системами. Рассматриваются линейные системы с постоянными, переменными и случайными параметрами.

5

Наконец, в третьей главе изучаются преобразования случайных процессов нелинейными системами. Подробно рассматривается прохождение случайных сигналов через типовое звено радиотехнических устройств.

В разделах, связанных с компьютерным моделированием даются рекомендации по его выполнению и приводятся ожидаемые результаты (сформированные реализации, оценки статистических характеристик). Соответствующее программное обеспечение будет предоставлено студентам при проведении практических и лабораторных занятий.

Данное учебное пособие будет также полезно аспирантам при изучении дисциплины «Математический аппарат теории сигналов и систем».

6

1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1.1. Классификация случайных процессов

Случайным процессом (СП) называется функция времени (процесс), значения которой в любой момент времени есть случайная величина. Поэтому естественно, что описание случайных процессов опирается на описание СВ, с которыми мы имели дело в компьютерном практикуме [1]. Для случайной величины конкретные значения из области значений реализуются в ходе испытания. Для случайного процесса в ходе испытания мы получаем конкретную функцию времени, называемую реализацией или траекторией случайного процесса. При нескольких испытаниях мы имеем семейство реализаций (рис. 1.1).

Рис 1.1

Часто приходится рассматривать СП, реализации которых в зависимости от представляют неслучайные функции времени, при этом случайный характер определяется наличием случайных параметров. Самым характерным примером такого процесса (по крайней мере для радиотехники)

является гармоническое колебание где , , – все или

часть из них являются случайными величинами.На рис. 1.2 приведены реализации такого процесса для случая, когда A и

– детерминированные величины, а – СВ с плотностью вероятности (ПВ)

вида

7

0 50 100 150-4

-2

0

2

4Пример реализаций случайного процесса

Время

Зна

чени

е

Значения такого СП в произвольный момент времени есть СВ вида

где и . детерминированные величины, а

распределена равномерно в интервале . Читателю предлагается найти

плотность вероятности этой СВ.

Рис 1.2

Рассмотрим вопрос о математическом описании случайных процессов. Представляется разумным свести описание СП к описанию совокупности СВ. Естественным способом замены функции совокупностью чисел является

разложение функции в ряд по некоторой базисной системе функций

см. [2]. Свойства базисных функций должны быть согласованы с особенностями рассматриваемого процесса. Так, например, если все реализации СП имеют финитный спектр, т. е. для любой реализации

, то в качестве базисной следует брать систему

функций где , и для представления i-

ой реализации будем иметь

Таким образом, для описания СП мы имеем совокупность СВ

для полного описания которой надо задать совместную функцию

распределения, плотность вероятности, характеристическую функцию.Для описания с помощью приведённой базисной системы процесса на

ограниченном временном интервале мы будем иметь приближённое

представление

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

Время, сек

Зна

чени

е

Реализации СП со случайной начальной фазой

поскольку ограниченная во времени функция не

может иметь финитный спектр. Для повышения точности представления мы

должны увеличивать или уменьшать , тем самым увеличивая число

СВ необходимых для описания СП на промежутке

Значения СП в моменты времени называют отсчётами, а сами моменты времени задают временные сечения СП, как это показано на рис.1.3, для k = 1, 2, 3.

Временные сечения могут следовать и не через одинаковые промежутки времени. Таким образом, можно сказать, что СП (t) задан, если для любых n и для

любого расположения временных сечений можно задать совместные

функцию распределения (ФР)

плотность вероятности (ПВ)

и характеристическую функцию (ХФ)

Свойства введённых ФР, ПВ и ХФ были подробно рассмотрены в [1]. При неполном описании СП, как и для СВ можно использовать числовые характеристики.

Пусть ПВ отсчёта СП в момент времени t. Тогда можно

задать среднее значение СП (t) и дисперсию как

9

х(t)

t

t

n

t

2

t

1 Рис. 1.3

Среднее значение и дисперсия не характеризуют связь между значениями СП, его частотные свойства.

Для этой цели можно использовать корреляционную функцию СП, определив ее как

.

Нормированную корреляционную функцию называют

коэффициентом корреляции и обозначают как . Рассматривая

как скалярное произведение функций

и с

помощью неравенства Коши-Буняковского легко установить, что

а

В основу классификации случайных процессов могут быть положены различные признаки.

По типам множеств, связанных с областями определения и значения СП выделяют:

- процессы с дискретными значениями и дискретным временем (дискретные случайные последовательности);

- процессы с дискретными значениями и непрерывным временем (дискретные СП);

- процессы с непрерывными значениями и дискретным временем (случайные последовательности);

- процессы с непрерывными значениями и непрерывным временем. Случайные процессы могут быть классифицированы по виду статистической связи между отсчётами СП.

Наиболее простым с точки зрения вероятностного описания будет СП, у которого любая совокупность значений (отсчетов), взятых в произвольные моменты времени, принадлежащие множеству , независима, т. е.

,

10

,

.

Существуют СП, у которых статистические связи распространяются лишь на два соседних отсчета. К их числу относится марковский процесс, для которого

.

Пользуясь представлением многомерной ПВ через условные ПВ, можно по аналогии записать

,

а так как , то ясно, что для

марковского процесса многомерная ПВ выражается через двумерные ПВ.Другим примером СП такого вида является процесс с независимыми

приращениями, для которого СВ 2 – 1, 3 – 2, …, n – n1 независимы для любых п и t1, t2, …, tn T. Напомним, что i – значение СП в момент ti. Для того, чтобы записать ПВ любого порядка для процесса с независимыми приращениями, достаточно знать лишь одномерные ПВ (t) и (ti-1) – (ti), а так как ПВ разности двух СВ выражается через их совместную ПВ, то для полного вероятностного описания СП с независимыми приращениями достаточно знания двумерной ПВ.

Рассмотренное выше описание СП на основе задания распределения представляет собой косвенный способ описания. В то же время для многих задач более удобным является прямой способ описания СП, при котором задаётся способ формирования реализаций случайного процесса, основанный на непосредственной функциональной связи значения СП в данный момент времени с его значениями в прошлом и возмущающим воздействием, которое и определяет случайный характер формируемого процесса.

Примером прямого описания может служить параметрическая модель случайной последовательности, определяемой линейным разностным

11

уравнением вида , где – значение процесса в

момент и – постоянные коэффициенты и – последовательность

некоррелированных СВ, имеющих нулевое среднее значение и дисперсию

. Последовательность определяет возмущающее воздействие.

Случайные процессы, формируемые таким образом, называют регрессионными.

Если , то записанное уравнение называют уравнением

авторегрессии, а при – уравнением скользящего среднего.

Более сложным примером прямого описания СП является задание

стохастического дифференциального уравнения

где , – заданные функции, а – нормальный белый шум, СП

с которым мы познакомимся ниже.Заканчивая разговор о прямом описании СП, упомянем о возможности

получения случайных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение нелинейных детерминированных систем. Этот парадокс (детерминированная система при отсутствии случайных возмущений порождает СП) называют «детерминированным хаосом». Более подробно с этим явлением можно познакомиться с помощью [3].

1.2. Непрерывность, дифференцируемость и интегрирование случайных процессов

Для детерминированных функций важнейшими свойствами являются непрерывность, дифференцируемость, существование интеграла. Рассмотрим, как они определяются для случайных процессов. Перечисленные свойства связаны с операцией предельного перехода и понятием предела последовательности СВ, которое в отличие от обычного понятия сходимости последовательности, рассматриваемого в математическом анализе, зависит от принятого критерия сходимости. Поясним сказанное более подробно.

Говорят, что последовательность СВ 1, 2, …, п сходится по

вероятности к СВ , если для любого  > 0 или

12

. Если последовательность  сходится по

вероятности к СВ , то последовательность ПВ Wn(x) сходится при п в

обычном смысле к W(x). Если = а – детерминированная величина, то

последовательность {Wn(x)} сходится к  (х – а), – дельта-функция [2].

Сходимость по вероятности обозначают как (по вер.) или

.

Другой вид сходимости последовательности СВ – это сходимость в

среднеквадратическом, определяемая как или

, где обозначение l. i. m. – аббревиатура английского названия

этого предела (limit in the mean square). Если = а, то учитывая, что

=

=

и тот факт, что предел суммы двух неотрицательных слагаемых равен нулю, только если предел каждого слагаемого равен нулю, получим

, .

Таким образом, предел средних значений СВ п есть а, а предел их

дисперсий равен нулю.

Для последовательности ПВ Wn (x) полученное условие означает

сходимость Wn (x) к  (х – а), т. е. сходимость по вероятности. Обратное

утверждение в общем случае неверно, так как среднеквадратическая

сходимость предполагает конечность , а это требование не всегда

выполняется.Теперь мы подготовлены к тому, чтобы дать определение

непрерывности и дифференцируемости случайного процесса.Случайный процесс (t) называется непрерывным в точке t в

среднеквадратическом, если . Когда это условие

выполняется для всех t [a, b], процесс (t) называют непрерывным на этом

13

интервале. Необходимым и достаточным условием непрерывности процесса

в точке t является непрерывность его корреляционной функции K(t1, t2) при

t1 = t2 = t.

Случайный процесс дифференцируем в точке t в среднеквадратическом и имеет производную (t), если

.

Учитывая связь между сходимостью в среднеквадратическом и сходимостью по вероятности, можно утверждать, что СП, непрерывный и дифференцируемый в среднеквадратическом, будет непрерывным и дифференцируемым и по вероятности.

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости случайного процесса будет существование и непрерывность второй

смешанной производной корреляционной функции СП , которая

определяет корреляционную функцию процесса (t), т. е.

.

Рассмотрим вопрос о взаимной корреляционной функции процесса (t) и его производной (t). Считая процесс дифференцируемым в среднеквадратическом, можно показать, что

.

В общем случае взаимная корреляционная функция -й и -й производных определяется выражением

.

В частности взаимная корреляционная функция процесса (t), , и его -й производной будет равна

14

Рассмотрим вопрос об интегрировании случайных процессов. Изучим

сначала линейный функционал от СП (t) вида , где s(t) –

детерминированная функция. Записанный интеграл есть случайная величина,

к которой при в среднеквадратическом сходится

последовательность СВ

, .

Среднее значение и дисперсия этой случайной величины равны соответственно

, .

Для неопределённого интеграла случайного процесса ,

среднее значение и корреляционная функция

соответственно равны

1.3. Корреляционные и спектральные характеристики стационарных случайных процессов

Важным классификационным признаком СП является его стационарность.

Различают стационарность в узком смысле (строгую) и в широком смысле (по Хинчину).

Для того чтобы СП был стационарным в узком смысле необходимо, чтобы совместные функции распределения, плотности вероятности, характеристические функции при любом количестве сечений и любом их первоначальном расположении были инвариантны к согласованному сдвигу

всех сечений на одну и ту же величину , т. е. для любых и :

15

Стационарность в широком смысле предъявляет к СП значительно более скромные требования. Для ее обеспечения необходимо и достаточно, чтобы

математическое ожидание не зависело бы от времени, а

корреляционная функция зависела бы только от разности ,

обозначаемой обычно как .

Так как = , т. е. имеется симметрия по отношению к

переменным , то корреляционная функция стационарного СП является

чётной функцией, т. е. .

Легко догадаться, что достаточным условием стационарности в широком смысле является независимость от времени одномерной ПВ

и зависимость от разности двумерной ПВ

Так как при корреляционная функция определяет дисперсию

СП

то для стационарного СП дисперсия от времени не зависит, и равна значению

корреляционной функции в нуле, т. е. Обдумайте, почему

.

Учитывая, что , для стационарного СП имеем

Знак равенства в этом выражении достигается для

периодических СП. Рассмотрим в качестве примера введённый выше СП вида

где и – детерминированные величины, а – СВ с

16

ПВ Очевидно, что данный процесс является

периодическим.Найдём среднее значение этого СП

Так как и, аналогично, , то

и не зависит от времени.

Найдём теперь корреляционную функцию

Учитывая, что =0, а =

, (как среднее значение неслучайной величины) получим

окончательно

Таким образом, данный процесс является стационарным в широком

смысле. Его дисперсия и в неравенстве , знак

равенства достигается для .

Для стационарного СП в качестве характеристики в частотной области используется преобразование Фурье от КФ

, (1.1)

называемое спектральной плотностью СП. Если СП (t) описывает случайный ток, случайное напряжение или случайную напряженность поля, то S(f) называют спектральной плотностью мощности (СПМ) или энергетическим спектром флуктуаций процесса (t). Флуктуациями называют отклонение значений процесса (t) от среднего значения.

17

Корреляционная функция выражается через спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье:

, (1.2)

Формулы (1.1) и (1.2) определяют содержание теоремы Винера–Хинчина, утверждающей, что КФ и спектральная плотность стационарного СП связаны друг с другом преобразованием Фурье.

Учитывая, что K(0) = D{(t)} = , можно утверждать, что

спектральная плотность S(f) определяет в общем случае распределение дисперсии СП по частоте. Для случайных напряжения и тока S(f) описывает распределение средней мощности, выделяемой на резисторе с сопротивлением 1 , по спектру.

Остановимся более подробно на свойствах КФ и спектральной плотности стационарных СП. Прежде всего отметим, что спектральная плотность S(f), как преобразование Фурье четной функции K(), является вещественной четной функцией. Будучи распределением по спектру неотрицательной характеристики СП – дисперсии, S(f) 0. Это означает, что КФ должна иметь неотрицательное преобразование Фурье. Кроме того, КФ стационарного СП, как уже отмечалось, должна быть четной функцией , т. е. K(–) = K(). Также, как и было показано выше, справедливо неравенство K(0) = D{(t)} |K()|, поскольку

.

Напомним, что, так как S(f) 0, то | S(f) | = S(f). Числовой характеристикой спектральной плотности S(f) является

эффективная ширина спектра СП fэ, определяемая как

для СП, у которых S(f) группируется около нулевой частоты, т. е.

18

видеопроцессов (рис. 1.4, а), и , если S(f) группируется

около частот f0, где – средняя, или центральная

частота (рис. 1.4, б). Такие СП называются радиопроцессами. Если выполняется условие fэ << f0, то СП называется узкополосным.

Зависимость корреляционной функции от показывает, как меняется статистическая, точнее, корреляционная связь между значениями СП, разделенными интервалом протяженностью . Интервал, для которого эта связь становится пренебрежимо малой, называют временем корреляции СП и

обозначают как к. Количественное определение к может быть различным и

зависит от вида корреляционной функции и решаемых задач. Для

неотрицательных корреляционных функций к определяют как

,

если . Более общим, включающим и приведенное определение,

будет представление к в виде .

Можно определить как такое значение , начиная с которого будет

выполняться неравенство |r()| < , где 0 < < 1. Обычно задаются значением = 0.05.

19

Для СП имеет место соотношение неопределенности, заключающееся в том, что произведение ширины спектра и времени корреляции равно константе, величина которой зависит от определения f и к. Так, для про-

цесса с неотрицательной АКФ , поскольку

и .

Для описания связи двух СП и используют взаимную

корреляционную функцию .

Если процессы и являются стационарными и стационарно

связанными (стационарная связанность случайных процессов означает, что их совместная ПВ зависит только от взаимного положения отсчётов), то

или

Отметим, что в отличие от автокорреляционных функций и

взаимные корреляционные функции и чётностью не

обладают.

Нетрудно показать, что

По аналогии с коэффициентом корреляции определяется взаимный

коэффициент корреляции .

Если процесс где некоррелированные

стационарные СП, имеющие нулевые средние значения, а –

детерминированные величины, то

20

Преобразование Фурье взаимной корреляционной функции

определяет взаимный энергетический спектр .

Соответственно

Отметим, что в отличие от вещественных и неотрицательных

спектральных плотностей (энергетических спектров) или

взаимный энергетический спектр является комплексной функцией,

вещественная часть которой чётна, а мнимая нечётна.

Так как , то и являются комплексно-

сопряжёнными функциями.Как и для взаимной корреляционной функции, для взаимного

энергетического спектра можно записать аналогичное неравенство

Нормированный взаимный энергетический спектр определяет функцию

частотной когерентности . Если

процессы и не коррелированны, то , при линейной связи

между процессами .

При изучении стационарных СП большую роль играет операция (оператор) временного усреднения.

При конечном времени усреднения можно определить оператор

скользящего среднего как

Если считать, что существует преобразование Фурье реализации

рассматриваемого СП и то, действуя

оператором усреднения на левую и правую части записанного равенства, будем иметь

21

Как видно из приведённого выражения, оператор скользящего среднего эквивалентен пропусканию процесса через линейный фильтр с АЧХ

вид которой представлен на рис. 1.5

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

wT

Рис. 1.5

Данный фильтр подавляет высокочастотную часть спектра СП тем

сильнее, чем больше время усреднения T, т. е. сглаживает процесс .

Найдём статистические характеристики сглаженного процесса

Среднее значение так как для

стационарного процесса

22

Можно показать, что для дисперсии , так же как и среднее

значение независящей от t, справедливо выражение

или в частотной области

Если и при этом интеграл

ограничен, то и временное среднее, обозначаемое часто волнистой

чертой, равно среднему значению

Скорость убывания с ростом T зависит от вида или .

Например, если спектральная плотность в нуле конечна и равна , то

при больших T

, так как .

Если равно нулю, например то

т. е. в зависимости от T убывает по закону .

Как видно из приведённых примеров и из анализа выражения для ,

зависимость от T определяется поведением в окрестности нуля.

Наименее эффективным будет усреднение по времени процессов, спектральная плотность которых неограниченно возрастает при , т. е.

имеет вид где константа, Процессы такого

типа характерны для некоторых физических явлений (фликкер-шум) и описывают так называемую долговременную зависимость, встречающуюся

23

при изучении различного рода сложных нелинейных систем (биология, экономика, телекоммуникационный трафик).

Для таких процессов .

Будем понимать под операцией временного усреднения выражения

и обозначать ее, как и раньше, волнистой чертой над

усредняемым выражением

,

где – стационарные СП. Так, среднее по времени СП

есть

Для корреляционной функции усреднение по времени даст

,

а для дисперсии .

Взаимная корреляционная функция процесса и его производной

при временном усреднении будет иметь вид

Естественно, возникает вопрос, как соотносятся между собой характеристики процесса, полученные путем статистического усреднения (с по-мощью ПВ), и средние по времени. В связи с этим дадим определение. Стационарный в узком смысле процесс называется эргодическим, если любые его вероятностные характеристики, найденные на основе статистического усреднения, по множеству реализаций с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадают с соответствующими средними по времени. Иными словами, если известна одна-единственная реализация

процесса для , то путем сдвигов по времени может быть получен

24

бесконечный статистический ансамбль реализаций. Следовательно, по одной реализации можно узнать всевозможные вероятностные характеристики.

Эргодичность процесса можно определить на основе условной ПВ

. Для стационарного в узком смысле процесса одномерная

ПВ W(x0; t) не зависит от времени, а двумерная W(x1, x2; t1, t2) зависит

только от разности t1 – t2 = , поэтому условная ПВ

для стационарного процесса будет равна

и будет зависеть только от t1 – t2 = .

Если и не зависит от х1, то процесс (t)

называется эргодическим. Иными словами, требуется, чтобы отсчеты

стационарного процесса в любые моменты времени t1 и t2 при t1– t2 становились бы независимыми.

Для эргодического процесса имеет место важное свойство, используемое для экспериментального определения ПВ и ФР. Оно связано с

временем пребывания эргодического процесса между двумя уровнями х1 и х2

(рис. 1.6).

25

Предел отношения при Т равен вероятности попадания

отсчетов СП в промежуток (х1, х2), т. е. . Если

х1 – х2 = х достаточно мало, то Р(х1 < x < х2) W(x) x и

.

При получаем возможность для оценки ФР, так как

.

Необходимыми и достаточными условиями эргодичности СП являются следующие требования:

- процесс должен быть стационарен в узком смысле;- должно выполняться условие метрической транзитивности, состоящее

в том, что любая часть совокупности реализаций СП, вероятность появления которых отлична от нуля или единицы, уже не является стационарным

случайным процессом. Например, если рассмотреть СП где

– эргодический процесс, а – случайная величина, равномерно

распределённая на промежутке , то процесс является строго

стационарным, но условие метрической транзитивности не выполняется, так

как если отобрать те реализации, для которых , то они образуют

строго стационарный процесс с вероятностью их появления . Нетрудно

понять, что если и , то

При этом для конкретной реализации, для которой СВ приняла значения

, так как временное среднее константы совпадает

с ней самой; а в силу эргодичности процесса равно .

Хорошо знакомый нам процесс ,

является строго стационарным (мы доказали выше его

стационарность в широком смысле) и, если мы выделим любую

совокупность реализаций, у которых и вероятность появления для

них , то эта совокупность образует нестационарный процесс. Убедиться

в этом мы предоставляем любознательному читателю. Следовательно, данный процесс является эргодическим.

26

Заканчивая этот параграф, рассмотрим корреляционные и спектральные характеристики производной и интеграла от стационарного СП.

Выражение для корреляционной функции производной дифференцируемого СП было приведено в параграфе 1.2

Для стационарного процесса, для которого , будем

иметь

Учитывая, что и дифференцируя левую и

правую части записанного равенства по дважды, получим

откуда следует, что

Таким образом, дифференцирование увеличивает удельный вес высокочастотных составляющих в спектральной плотности СП.

Для существования производной -го порядка необходимо и

достаточно, чтобы существовала производная порядка от

корреляционной функции процесса. При этом а

Нетрудно показать, что взаимная корреляционная функция ой и

ой производных процесса , в общем случае равная

для стационарного процесса будет равна

Из этой формулы видно, что взаимная корреляционная функция

процесса и его производной равна первой производной

27

Так как корреляционная функция дифференцируемого процесса имеет

при гладкий максимум, то и, следовательно, в совпадающие

моменты времени стационарный СП и его производная некоррелированы.Взаимный спектр СП и его производной равен

Интегрируя по частям при условии будем иметь

Из приведенного выражения видно, что – чисто мнимая функция

, так как − вещественная неотрицательная функция.

Следовательно, − нечетная функция (продумайте это),

Если дифференцирование сохраняет стационарность исходного

процесса , то с интегрированием дело обстоит иначе.

Рассмотрим сначала определённый интеграл от стационарного СП,

который является случайной величиной

Его математическое ожидание и дисперсия равны соответственно

.

Широко распространённой математической моделью стационарного СП является «белый шум», спектральная плотность которого имеет вид

а корреляционная функция

Среднее значение для «белого шума» равно нулю, а дисперсия бесконечна.

28

Данную модель используют в случае, если в пределах спектра сигнала или полосы пропускания системы спектральная плотность случайного процесса постоянна.

Для «белого шума»

Рассмотрим неопределенный интеграл от стационарного СП

Среднее значение процесса будет равно

Как видно, среднее значение процесса зависит от времени,

следовательно, не является стационарным СП.

Корреляционная функция процесса определяется выражением

а дисперсия

Если СП – «белый шум», то

Более общим случаем будет реакция линейной системы с импульсной

характеристикой на стационарный случайный процесс (t),

, где t – момент наблюдения на выходе линейной

системы, а – момент подачи воздействия (t). Среднее значение и

корреляционная функция данного СП будут равны соответственно

,

29

.

Как видно из приведенных выражений, процесс нестационарный,

так как его среднее значение зависит от времени. Если линейная система стационарна (имеет постоянные параметры), то

 =  и в установившемся режиме процесс будет

стационарным в широком смысле. Его математическое ожидание

не зависит от времени, а корреляционная функция будет зависеть

от разности . Убедиться в этом мы предлагаем читателю. Для “белого”

шума , а КФ определяется выражением

=

.

Дисперсия процесса будет равна в этом случае

= = .

В установившемся режиме для стационарной линейной системы при отыскании корреляционной функции на выходе можно воспользоваться частотным методом, заменив в выражении

30

корреляционную функцию ее представлением через

спектральную плотность : =

.

Таким образом,

Меняя порядок интегрирования по 1, 2 и и учитывая, что

; ,

где K(j) – коэффициент передачи линейной системы, получим окончательно:

,

откуда видно, что действительно зависит от разности , а

произведение является спектральной плотностью процесса

: = . Таким образом, мы установили связь между

спектральными плотностями процессов на выходе и входе линейной системы с постоянными параметрами в установившемся режиме.

Рассмотрим как выглядят корреляционные и спектральные характеристики для узкополосных стационарных процессов. Напомним, что

СП называется узкополосным, если выполняется условие где и

введённые выше эффективная ширина спектра и средняя или центральная

частота (см. рис. 1.4 б).

Реализации такого СП выглядят как гармоническое колебание

частоты , модулированное по амплитуде и фазе случайными

процессами и медленно меняющимися по сравнению с .

Реализация такого процесса приведена на рис. 1.7.

31

Случайные процессы и называют огибающей и фазой СП

Для СП часто бывает удобным введение квадратурных компонент

и определяющих процесс

Введение двух СП и вместо одного, реально существующего

процесса , требует указания способа перехода от к и .

Наиболее распространенный способ основан на использовании

преобразования Гильберта исходного процесса имеющего вид

После чего огибающая определяется как а

полная фаза

Для дифференцируемого узкополосного сигнала огибающая может

быть определена как

Покажем, что этот способ совпадает со способом задания на

основе преобразования Гильберта. Учитывая, что для узкополосного сигнала

получим .

В то же время для производной узкополосного процесса можно

пренебречь производными огибающей и фазы (как производными

медленно меняющихся функций), а тогда

32

t( )B t

( )A t

( )X t

O

M

Рис. 1.8

и .

Огибающая фаза и квадратурные компоненты и ,

являясь, как и , стационарными СП, имеют простой геометрический

смысл, иллюстрированный рис. 1.8

Для гармонического колебания , где и − константы,

точка с координатами и неподвижна. Для

узкополосного СП точка блуждает в соответствии со случайной

величиной квадратурных компонент и .

Очевидно, чем уже спектр процесса , тем медленнее будут

блуждания точки .Для узкополосных СП спектральную плотность

можно представить в виде двух неперекрывающихся, как это показано на рис. 1.9, слагаемых:

Тогда . Если

ввести в рассмотрение функции и , представляющие собой

части СПМ и , смещенные на величину соответственно

вправо и влево, то получим:

Выполняя в первом интеграле замену

переменной f + f0 = x, а во втором f – f0 = x, и

учитывая, что и при | f | > f0

пренебрежимо малы, получим после несложных преобразований следующее выражение для КФ узкополосного процесса:

33

Рис. 1.9

0f0

S(f)

–

f0

S0/2

0f

S f S f

,

где –

огибающая КФ узкополосного процесса, а () – фаза КФ, определяемая выражением

.

Огибающая КФ является четной функцией , а () – нечетная функция.

Если СПМ симметрична относительно частот f0, то = =

= будут четными функциями, следовательно, будет справедливо

равенство и КФ узкополосного процесса примет

вид:

K() = ,

где .

Рис. 1.10

34

K(τ)

Таким образом, КФ узкополосного СП имеет вид радиоимпульса с

огибающей и высокочастотным заполнением, имеющим в общем

случае угловую модуляцию по закону

,

где и . Если СПМ

симметрична относительно частот f0, то ,

и угловая модуляция КФ отсутствует. Этот случай

иллюстрирует рис. 1.10.Комплексные случайные процессы. В некоторых задачах приходится

сталкиваться с комплексным случайным процессом (t) = (t) + j(t), где (t) и (t) – вещественные случайные процессы. Процесс (t) будет полностью

определен, если для любых п и t1, t2, …, tn можно задать совместную ФР

F(x1, y1, x2, y2, …, xn, yn; t1, t2, …, tn) = .

Среднее значение, корреляционная функция и дисперсия процесса

равны, соответственно:

М{(t)} = М{(t)} +jМ{(t)};

;

= .

Как будут выглядеть эти выражения для стационарного процесса догадаться не трудно.

Случайные процессы с дискретным спектром. Рассмотрим СП вида

(t) = , где k и k – случайные, а k –

детерминированные величины. Выясним, при каких условиях данный СП

35

будет стационарным в широком смысле. Во-первых, среднее значение М{(t)} не должно зависеть от времени. Это возможно только тогда, когда

М{k} = М{k} = 0, k = 1, 2, …, n. Во-вторых, корреляционная функция

должна зависеть от разности t1 – t2 = . Для этого должны выполняться

следующие условия: М2{k} = М2{k} = ,

, k  l. При выполнении этих условий КФ процесса (t)

принимает вид

.

Спектральная плотность, соответствующая записанной КФ, будет

представлять собой сумму дельта-функций на дискретных частотах k:

.

При k = 1 получаем гармоническое колебание (t) = cos t +  sin t =  cos(t – ) = cos  cos t + sin  sin t

со случайными амплитудой и фазой . Для

стационарности процесса (t) в широком смысле достаточно, чтобы и были бы независимыми СВ и выполнялись бы условия

т. е. ряд Фурье для ПВ фазы W(), рассматриваемой как периодическая функция с периодом 2, не должен содержать первых двух гармоник, иначе

говоря, W() = . Естественно, должна быть

36

обеспечена неотрицательность функции W(). При W() =

процесс будет стационарным в узком смысле. Что касается СВ и то их

средние значения должны равны нулю их дисперсии должны быть одинаковы и они должны быть некоррелированы.

1.4 Нормальный случайный процесс.

Следствием центральной предельной теоремы является чрезвычайно широкое распространение в радиотехнике и других областях науки и техники

нормального случайного процесса. Если выполняется условие , где

– полоса пропускания линейной системы, а – эффективная ширина

спектра входного случайного процесса, то значения выходного СП в произвольный момент времени можно приближенно рассматривать как

взвешенную сумму независимых случайных величин. При этом

независимо от распределения отсчетов входного СП, при выполнении условий центральной предельной теоремы, выходной процесс будет приближенно нормальным. Очевидно, что степень приближения зависит от

числа независимых слагаемых и распределения отсчетов входного

процесса. Это явление называют эффектом нормализации.Совокупность отсчетов нормального СП образует нормальный

случайный вектор , статистические свойства которого

были подробно рассмотрены ранее [4]. Следствием этих свойств является то обстоятельство, что нормальный случайный процесс полностью

определяется математическим ожиданием и

корреляционной функцией

т. е. его полное описание дается в рамках корреляционной теории.Если нормальный СП подвергается линейному преобразованию, то в

результате мы получаем нормальный случайный процесс, если преобразование осуществляется с помощью оператора, либо нормальную случайную величину, если речь идет о линейном функционале от нормального СП.

37

Например, производная дифференцируемого стационарного нормального СП есть стационарный нормальный процесс с нулевым средним

значением и корреляционной функцией , где –

КФ исходного процесса.Спектральная плотность процесса (t), как уже отмечалось, равна

, где – спектральная плотность исходного процесса.

Результат преобразования стационарного нормального процесса

линейной системой с импульсной характеристикой даст нормальный

СП , который в общем случае уже не будет

стационарным. Его среднее значение

и дисперсия

зависят от времени.

Если t0 = –, а = , что соответствует установившемуся

режиму отклика стационарной линейной системы с импульсной

характеристикой , то процесс на выходе можно считать стационарным

нормальным процессом со средним значением

и дисперсией

,

не зависящими от времени. Корреляционную функцию можно найти с помощью обратного преобразования Фурье спектральной плотности

38

выходного процесса = , где –

коэффициент передачи линейной цепи, т е.

.

Часто при обработке сигнала на фоне шума приходится иметь дело с линейным функционалом вида

,

где s(t) – детерминированная функция (сигнал), (t) – стационарный нормальный СП (шум). Как результат линейного преобразования нормального СП, является нормальной случайной величиной со средним

значением и дисперсией

. Если корреляционная функция процесса имеет

вид , ( – белый шум)то

 =  ,

где – энергия сигнала в пределах интервала .

Как уже отмечалось, линейное преобразование нормального СП дает либо нормальную СВ, либо нормальный случайный процесс (НСП), поэтому производная (оператор дифференцирования линеен) будет так же

нормальным СП. Его среднее значение , а дисперсия

.

39

Для стационарного НСП , поскольку и

не зависят от времени. Учитывая связь и

, можно записать

, а так как , то вводя параметр

, имеющий смысл отношения средних мощностей

процессов и и характеризующий спектральную плотность процесса

, можно представить ПВ отсчетов производной в виде

. Параметр называют

среднеквадратической частотой для .

Если считать плотностью вероятности (это отношение и

выполняется условие нормировки), то имеет смысл среднего квадрата,

т. е. характеризует как положение спектральной плотности на оси частот, так и ее ширину.

Хорошо известно, что средний квадрат , дисперсия и среднее

значение связаны соотношением .

Для узкополосного процесса СКО , характеризующее в нашем

случае ширину , много меньше среднего значения , в роли которого

у нас выступает центральная частота , поэтому .

40

В качестве упражнения предлагаем читателю записать двумерную ПВ

отсчетов производной стационарного НСП.

Часто необходимо знать совместные распределения отсчетов процесса и его производной.

Так как процесс и его производная совместно нормальны, то двумерная

ПВ отчета процесса в момент и его производной в момент

будет двумерным нормальным распределением с вектором средних значений

( , ), а для стационарного НСП ( ) и с корреляционной

матрицей вида .

Запишем при

,

где .

При , и ,

т. е. отсчеты НСП и его производной в совпадающие моменты времени () независимы.

Выше говорилось о некоррелированности отсчетов процесса и его производной в совпадающие моменты времени. Напомним, что для нормальных СВ некоррелированность влечет независимость.

Рассмотрим узкополосный НСП. Выше отмечалось, что для

узкополосных СП весьма продуктивным является представление СП в

виде , где – огибающая СП, –

случайная фаза, – центральная частота спектра , или

, где и

– квадратурные компоненты процесса .

41

Для узкополосного НСП процесс будет также

гауссовским, как результат преобразования исходного процесса с

помощью линейного оператора Гильберта, поэтому квадратурные

компоненты и , равные и

, будут также гауссовскими процессами, но,

в отличие от и , они будут представлять собой видеопроцессы,

спектральная плотность которых группируется в окрестностях нулевой частоты.

Легко показать, что процессы и в совпадающие моменты

времени некоррелированы, а как НСП и независимы, имеют нулевые средние

значения и одинаковые дисперсии , совпадающие с

дисперсией исходного процесса .

Так как квадратурные компоненты и связаны с огибающей

и фазой соотношениями и , то,

воспользовавшись рассмотренной в [4] задачей об определении ПВ модуля и аргумента нормального случайного вектора, можем записать ПВ для

отсчетов огибающей и фазы , и

, .

Это хорошо знакомые нам распределения Рэлея для огибающей и равномерное распределение для .

Если к узкополосному НСП добавляется

детерминированный сигнал , где и –

огибающая и фаза, определяющие законы амплитудной и фазовой

модуляции, то суммарное колебание , также как и раньше,

можно представить с помощью квадратурных компонент

, где , а

. Таким образом, суммарный узкополосный процесс

записывается с помощью огибающей и фазы , как

, где , а .

42

Как сумма НСП и детерминированного сигнала , будет

также нормальным случайным процессом, но уже нестационарным, так как

его среднее значение зависит от времени.

Его квадратурные компоненты и являются независимыми

НСП с одинаковыми дисперсиями и средними значениями

и .

Вспоминая рассмотренную в [4] задачу о распределении модуля и аргумента нормального случайного вектора, у которого средние значения проекций на декартовы координатные оси отличны от нуля, запишем ПВ для

огибающей и фазы НСП .

ПВ огибающей описывается распределением Рэлея-Райса вида

, , а ПВ суммарной фазы имеет

вид

, .

Если сигнал является детерминированным гармоническим

колебанием вида , то плотности вероятности огибающей

и фазы могут быть получены из записанных выше выражений путем замены

на , а на . При этом вид распределения будет определяться

параметром − отношением амплитуды сигнала к

среднеквадратическому значению процесса .

Хотя процесс по прежнему будет нестационарным (его среднее

значение равное зависит от времени), огибающая и фаза

являются теперь процессами стационарными в широком смысле. Более подробно со статическими характеристиками огибающей и фазы можно ознакомиться с помощью монографии [5].

Посмотрим, что получится, если нарушается условие равенства

дисперсий квадратурных компонент НСП , т. е.

и стационарны, в совпадающие моменты времени 43

некоррелированы, а как НСП и независимы, имеют нулевые средние

значения, а их дисперсии равны соответственно и

, где – коэффициент, характеризующий степень

различия и .

Нетрудно показать (попробуйте сами), что , а

, т. е. процесс является нестарционарным

НСП и ПВ его отсчетов имеет вид .

Так как совместная ПВ отсчетов и в совпадающие моменты

времени имеет вид

, то нетрудно найти совместную ПВ отсчетов

огибающей и фазы процесса :

.

Из приведенного выражения видно, что огибающая и фаза в

совпадающие моменты времени в общем случае зависимы. При , что

соответствует равенству дисперсий и мы имеем

рассмотренный выше случай. Интегрируя по , получим ПВ

огибающей , , где

– модифицированная функция Бесселя. Отметим, что рассмотренный

процесс относится к классу периодически нестационарных процессов. При

, как уже отмечалось, мы будем иметь распределение Рэлея

, , а при – одностороннее гауссовское

44

. Убедиться в этом можно, рассмотрев процесс

, в который переходит процесс

при , так как в этом случае и .

Продумайте этот момент.

1.5. Негауссовские узкополосные процессы

Рассмотрим, как изменятся статистические характеристики огибающей

X(t) и фазы (t) узкополосного процесса , если сам

процесс х(t) не является гауссовским. Процесс х(t), его огибающую X(t) и фазу (t) будем считать стационарными СП. Можно показать [5], что в рамках сделанных предположений о стационарности х(t), X(t) и (t) в совпадающие моменты времени огибающая X(t) и фаза (t) назависимы и

фаза распределена равномерно в интервале [, ], т. е.

. При этом распределение отсчетов W(x) исходного процесса х(t) должно

быть четной функцией, а характеристическая функция будет

соответственно вещественной функцией, т. е. и

. Характеристическая функция связана с ПВ

огибающей Х преобразованием Ганкеля , где

– функция Бесселя.

Соответственно, ПВ огибающей определяется обратным

преобразованием Ганкеля, т. е. , x > 0. Напомним,

что – вещественная функция.

Приведем, следуя [5], несколько примеров.

1. Если , т. е. процесс x(t) является

гауссовским, и , то

45

, Х > 0. Как и

следовало ожидать, распределение отсчетов огибающей описывается распределением Рэлея.

2. Если – закон арксинуса, а

, то , т. е. в этом случае мы имеем

процесс вида – гармоническое колебание со случайной

начальной фазой равномерно распределенной в интервале [, ].3. При равномерном распределении отсчетов процесса х(t)

, характеристическая функция и ПВ

огибающей .

4. Если отсчеты процесса х(t) подчиняются распределению Коши

, то и ПВ огибающей Х имеет вид

.

Отметим, что как и для исходного процесса ПВ огибающей не имеет

моментов, .

Более подробно с негауссовскими узкополосными случайными процессами можно познакомиться, заглянув на стр. 142 [5].

1.6. Модуляция гармонического колебания случайным процессом

Как известно, гармоническое колебание может быть модулировано по амплитуде, фазе или частоте.

Амплитудная модуляция.

46

В этом случае анализируемый процесс x(t) имеет вид

. Будем считать, что модулирующий процесс

стационарен, имеет нулевое среднее значение, корреляционную

функцию и спектральную плотность , а

также выполняется условие , естественное для амплитудной

модуляции [6]. Начальную фазу будем считать СВ с ПВ ,

.

В этих условиях , корреляционная функция процесса x(t)

имеет вид . Предлагаем убедиться в этом

читателю самостоятельно.Спектральная плотность процесса x(t) при этом будет равна

.

На рис. 1.11 приведены спектральные плотности модулирующего

процесса (рис. 1.11, а) и результирующего процесса x(t) (рис. 1.11, б).

47

Таким

образом, спектральная структура АМ-колебания случайным процессом соответствует картине при АМ-модуляции детерминированным сигналом [6]. С тем, как находятся ПВ отсчетов и какой вид имеет двумерная статистика АМ-процесса, можно ознакомиться с помощью [5], стр. 160.

Фазовая модуляцияПри фазовой модуляции исследуемый процесс имеет вид

, где Um – фиксированная амплитуда (огибающая),

(t) – модулирующий случайный процесс, который мы будем считать

стационарным, имеющим нулевое среднее значение ( ) и

корреляционную функцию .

Если (t) является гауссовским процессом с дисперсией , то, как это

показано в [5], , а

.

48

0

)(S

а

б

0

)(xS

00

)(2 0

2mU

)(2 0

2S

Um

)(2 0

2mU

)(2 0

2S

Um

Рис. 1.11

Как видно из приведенных выражений, при стационарном модулирующем процессе (t) результирующий ФМ-процесс x(t) оказался нестационарным.

Практический интерес представляют средние по времени корреляционные и спектральные характеристики, т. е.

.

Таким образом, усредненная по времени спектральная плотность ФМ-

процесса x(t) состоит из дискретной линии на частоте 0, соответствующей

и непрерывного спектра .

Средняя мощность, соответствующая дискретной части спектра равна

, а соответствующая непрерывной – .Подумайте

почему? Таким образом, имеет место «закон сохранения средней мощности»: при фазовой модуляции сумма средних мощностей дискретной и непрерывной составляющих спектральной плотности постоянна и равна

средней мощности немодулированного колебания . Дисперсия

(интенсивность) модулирующего процесса , глубина фазовой модуляции,

управляет перераспределением средних мощностей между дискретной и непрерывной частями спектра.

Так как зависимость x(t) от (t) носит ярко выраженный нелинейный

характер, то спектральная плотность существенно отличается по

форме от . Это иллюстрирует рис. 1.12, на котором качественно

показаны спектральные плотности модулирующего процесса (рис.

1.12, а) и результирующего ФМ-колебания x(t) (рис. 1.12, б).Получить представление о форме спектральной плотности процесса x(t)

можно для крайних случаев: очень слабой модуляции, когда

и в случае глубокой фазовой модуляции, когда

. В первом случае , и после подстановки

49

данного представления в выражение для будем иметь

что и свидетельствует о совпадении форм спектральных плотностей модулирующего процесса (t) и ФМ-колебания x(t). Во втором случае при

функция будет быстро убывать при отклонении от нуля,

поэтому при разложении функции в ряд Макларена можно

ограничиться первыми тремя членами, т. е. записать , где

– параметр , равный . Почему в этом разложении отсутствует

линейный член, мы предлагаем догадаться читателю. С учетом того, что

, можно считать и для получим

. При глубокой фазовой модуляции

процесс x(t) имеет гауссовский спектр независимо от формы спектра модулирующего процесса (t). При глубокой фазовой модуляции происходит существенное расширение спектра процесса x(t) по сравнению с модулирующим процессом (t). Эта ситуация отраженна на рис 1.12, б. Опираясь на записанные выше приближения, можно показать, что отношение

.

50

Что произойдет при фазовой модуляции негауссовским случайным процессом, рассмотрено в [5], стр. 163.

Частотная модуляцияПри частотной модуляции колебание x(t) имеет вид

. Будем, как и прежде, считать (t)

стационарным СП, с нулевым средним значением и корреляционной

функцией . Мгновенная частота, равная по определению

производной от полной фазы , описывает

модуляцию частоты по некоторому случайному закону.

Фаза является неопределенным интегралом от

стационарного процесса . В разделе 1.3. было показано, что

, а дисперсия . После

51

0

)(S

а

б

0

)(~ xS

00

Рис. 1.12

перехода к новым переменным , и интегрирования по

выражение для примет вид . В

установившемся режиме при t вторым слагаемым можно пренебречь и

.

Если , то в установившемся режиме . Это

означает, что распределение , приведенное к интервалу [, ], будет

равномерным. Продумайте этот момент.

Таким образом, в установившемся режиме независимо от x(t) (но

при условии, что ) будет стационарным случайным

процессом. ПВ его отсчетов будет описываться законом арксинуса, т. е.

Определить корреляционные и спектральные характеристики x(t) можно, сделав предположение о гауссовском характере модулирующего процесса

. Напомним, что будет также гауссовским процессом. Решение

этой задачи приведено в [5], стр. 165.

1.7. Импульсные случайные процессы

Процесс относится к классу импульсных, если его составляющие являются финитными функциями времени-импульсами.

Рассмотрим несколько примеров импульсных СП.

Начнем с одиночного импульса , где форма s(t) известна, а

задержка является случайной величиной с ПВ . Среднее значение

, а корреляционная функция

52

.

Таким образом, рассматриваемый процесс в общем случае не является стационарным.

Если появление импульса равновероятно в пределах интервала

и , где – длительность импульса s(t), то

и не зависит от времени, а корреляционная функция

зависит от , т. е. в пределах интервала

процесс может считаться стационарным в широком

смысле. Используя равенство Парсеваля

, получим выражение для спектральной плотности

одиночного импульса , задержка которого равномерно распределена

на интервале длиной Т много большей, чем длительность импульса

.

Случайная импульсная последовательность.

Рассмотрим СП вида , где s(t) – известная функция,

амплитуды , запаздывания и число импульсов n являются

статистически независимыми случайными величинами, т. е.

. Распределения

и будем считать не зависящими от k. Кроме того, допустим, что

, а распределения запаздывания, как и в предыдущем случае,

, и , где – длительность функции s(t). 53

Тогда , так как , а корреляционная

функция .

Меняя местами усреднение и суммирование, и не забывая, что n – случайная величина, будем иметь

. Учитывая, что

а также результаты предыдущего примера, получим

. По существу мы получим условную корреляционную

функцию для некоторого значения .Теперь можно вспомнить, что n является случайной величиной и в

соответствии с леммой Вальда [7], записать окончательный результат

. На практике число импульсов n, попавших в интервал

, определяется распределением Пуассона [1] ,

, где – среднее число импульсов, попавших в интервал

. Для распределения Пуассона и .

Спектральная плотность случайной импульсной последовательности будет

иметь вид , где – Фурье-спектр

функции s(t). Данный процесс является математической моделью помехи в виде хаотических отражений сигнала s(t) от местных предметов или метеообразований.

В задачах пассивной локации приходится иметь дело с сигналом вида

, где детерминированная функция времени определяется

диаграммой направленности антенны при сканировании источника шумового

излучения . Подобные задачи возникают в теплолокации,

радиоастрономии, гидроакустике и в ряде других областей.54

Если , то , но дисперсия

даже если – стационарный процесс, будет зависеть от времени.

Корреляционная функция сигнала s(t) будет равна

.

Интересно, что коэффициент корреляции сигнала s(t)

, не зависит от A(t) и совпадает с

коэффициентом корреляции процесса . Этот факт можно использовать

для определения СП процесса на основе наблюдения сигнала s(t).

1.8. Марковские процессы

Марковские процессы составляют весьма важный класс случайных процессов, давая возможность описывать многочисленные явления, встречающиеся в науке и технике. Как уже отмечалось, привлекательность марковских процессов связана с возможностью получить полное статистическое описание на основе ПВ не выше второго порядка. Это

связано с тем, что для любых t1 < t2 < t3 при фиксированном значении

процесса в момент t2, случайная величина x3 = x(t3) не зависит от того, какое

значение принял процесс в момент t1, т. е.

.

Поэтому многомерная ПВ марковского процесса имеет вид

.

В соответствии с общей классификацией случайных процессов, введенной ранее, марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным временем называют дискретными последовательностями или дискретными последовательностями или цепями Маркова в честь русского математика А. А. Маркова, впервые их изучившего; марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем называют дискретными марковскими процессами. Аналогично общей классификации определяются марковская последовательность (непрерывное состояние и дискретное время) и непрерывнозначный марковский процесс.

55

Начнем наше знакомство с марковскими процессами с цепей Маркова. Марковские цепи являются обобщением схемы независимых испытаний, в

которой вероятности состояний ii sSp Bep , не

зависят от того, в каком состоянии окажется система S в результате предыдущего испытания и от номера испытания. Вероятность того, что в

результате N испытаний система mi раз оказывалась в состоянии si (

и ), определяется мультиномиальным распределением, с которым

мы познакомились в [1]. При k = 2 мы получаем биномиальное распределение вероятности.

Для марковской цепи (простой марковской цепи) вероятность оказаться

в состоянии sl в l-м испытании является условной и зависит от того, в каком

состоянии система оказалась в результате -го испытания и не зависит

от исходов, предшествовавших -му испытанию. Классическим

примером марковской цепи является задача перемещения (блуждания) частицы по прямой под действием сил, смещающих частицу на единицу

вправо с вероятностью р и влево с вероятностью . Ясно, что

вероятность оказаться в точке с координатой k для частицы, находящейся после предыдущего испытания в точке с координатой l равна нулю, если

; р, если k – l =1; q, если и не зависит от того, как частица

попала в точку с координатой l.Рассмотрим более подробно однородные цепи Маркова, для которых

условная вероятность для системы оказаться в т-м испытании в состоянии sj

при условии, что она находилась в состоянии si, т. е. , не зависит

от номера испытания т. Эту вероятность для краткости будем обозначать как

и называть переходной вероятностью. Обратим внимание на

то, что первый индекс указывает, в каком состоянии находилась система, а второй – куда она перешла в результате испытания.

Полное вероятностное описание однородной марковской цепи дает

вектор начальных вероятностей , определяющий

56

вероятность пребывания системы в состоянии si, i = 1, 2, …, k до начала

испытаний и матрица перехода за один шаг (в результате одного испытания)

, где вероятности перехода pij были определены ранее. Так как в

результате испытания система перейдет в одно из k состояний (вероятности

pii, стоящие на диагонали матрицы Р1, дают вероятности того, что система,

находясь в состоянии si, там и остается), то по условию нормировки

, i = 1, 2, …, k. Таким образом, сумма элементов каждой строки

матрицы Р1 равна единице.

Пусть система находится в состоянии si, i = 1, 2, …, k, и нам надо найти

вероятности перехода через п испытаний pij (п). Рассмотрим промежуточное

испытание с номером 0 < m < n. В этом испытании система окажется в одном

из возможных состояний . Вероятность такого перехода в соответствии с

введенными обозначениями будет равна . Вероятность же перехода из

состояния sr в si за оставшиеся (п – т) испытаний будет равна prj(n – m). На

основании формулы полной вероятности (переход в состояние j может

происходить через любые состояния ) получим:

.

Если обозначить через Рm и Pn–m матрицы перехода за т и п – т шагов

соответственно, и учесть приведенное выше выражение для , можно

записать, что Рn = PmPn–m, 0 < m < n. При п = 2, т = 1, п – т =1 и

. Аналогично, , а в общем случае .

Если начальные состояния системы определяются

вектором , то вероятности состояний

после п шагов будут равны .

Представляет интерес поведение матрицы Рп с ростом п. Справедлива

следующая теорема. Если при некотором s > 0 все элементы матрицы

57

перехода Рs положительны, то существуют такие постоянные числа pj,

j = 1, 2, …, k, что независимо от индекса i справедливы равенства

. Вероятности, определяемые вектором ,

называются финальными.Смысл полученного результата важен и прост. В условиях

справедливости данной теоремы вероятность того, что система находится в

состояниях по истечении большого числа переходов (п  ), не

зависит от того, в каком она состоянии находилась в начале. Финальные вероятности должны удовлетворять системе k линейных уравнений

.

Эта теорема, доказанная А. А. Марковым, явилась первой в ряду эргодических теорем, играющих важную роль в науке и технике.

Рассмотрим теперь Марковские процессы с непрерывными временем и состояниями.

Напомним, что условие факторизации многомерной ПВ, т. е. представления ее в виде

, является

определением Марковского процесса. Условные ПВ

помимо условий неотрицательности и нормировки

должны также удовлетворять интегральному

уравнению Колмогорова–Чепмена, называемому иногда уравнением

Смолуховского, утверждающему, что для любых

.

Решение уравнения КолмогороваЧепмена позволяет найти вид ПВ

, > . Однако его решение в общем случае представляет

собой чрезвычайно сложную задачу. Для частного случая марковских процессов, называемых диффузионными, интегральное уравнение

58

КолмогороваЧепмена удается свести к дифференциальному уравнению в частных производных вида

(1.3)

которое называется прямым уравнением Колмогорова или уравнением Фоккера–Планка. В приведенном уравнении

,

причем при . и называются соответственно

коэффициентом сноса и коэффициентом диффузии. Уравнение (1.3) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных и относится к параболическому типу.

Решение уравнения должно: быть неотрицательным; подчиняться условию нормировки;

удовлетворять начальному условию = .

В ряде задач значение марковского процесса в начальный момент

времени не фиксировано, как выше, а подчиняется ПВ .

Можно показать, что одномерная ПВ диффузионного марковского процесса для произвольного момента времени удовлетворяет уравнению

= . (1.4)

Для решения этого уравнения необходимо кроме начальных условий, о которых шла речь при обсуждении уравнения (1.3), задать граничные условия, которые могут быть весьма разнообразными и определяются особенностями решаемой задачи.

Выше были рассмотрены гауссовские и марковские процессы. Возникает вопрос, может ли стационарный гауссовский процесс быть марковским? Известно, что центрированный гауссовский процесс полностью

определяется своей корреляционной функцией . Можно доказать, что

центрированный стационарный гауссовский процесс может быть марковским

59

только при условии, что его нормированная ( ) корреляционная

функция удовлетворяет уравнению .

Единственным нетривиальным решением ( ) этого уравнения

будет , , .

Таким образом, для того чтобы гауссовский процесс был марковским он

должен иметь корреляционную функцию вида которая

соответствует спектральной плотности .

Гауссовский процесс с такой корреляционной функцией является

диффузионным и его ПВ удовлетворяет уравнению (1.4).

Предельная ПВ гауссовского диффузионного процесса

,

где – начальное значение, от которого не зависит.

Векторный марковский процесс.

Совокупность случайных процессов , образуют -мерный

векторный марковский процесс или многомерный марковский процесс, если для полного описания данной совокупности необходимо и достаточно знать совместную ФР отсчетов этих процессов для любого момента времени

и условную ФР

,

где и .

Случайные процессы называют компонентами векторного

марковского процесса.Более подробно с марковскими процессами и их применениями в

задачах радиотехники можно познакомиться с помощью монографии [8]. Хорошим введением в теорию марковских процессов является книга [9].

60

1.9. Кусочно-постоянные случайные процессы

Кусочно-постоянными будем называть случайные процессы, принимающие случайные значения из некоторого множества на

промежутках, определяемых моментами времени , которые

могут быть как детерминированными, так и случайными. Иными словами

при .

Пример реализации такого процесса приведен на рис. 1.13.

Рассмотрим простейший процесс такого типа, когда моменты

разделены одинаковыми промежутками длиной и значения есть

независимые случайные величины равные с вероятностью и с

вероятностью .

Реализация такого процесса для приведена на рис. 1.14.

Будем считать, что – случайная величина равномерно распределенная

в интервале . В этом случае процесс будет стационарным. Если

моменты фиксированы, то уже не будет стационарным процессом.

Убедиться в этом мы предлагаем читателю. В случае, который мы

рассматриваем, , так как мы считаем , а

корреляционная функция

61

Поясним последний результат. При точки, разделенные

промежутком в силу равномерного распределения положения моментов

могут с вероятностью оказаться в пределах одного промежутка и

тогда произведение отсчетов равно или с вероятностью попасть на

соседние интервалы. В этом случае произведение отсчетов с вероятностью

будет равняться и с вероятностью – , что дает записанный

результат для . Если , то отсчеты всегда будут находиться на

различных промежутках и в силу независимости СВ и среднее

значение произведения будет равняться нулю. Спектральная

плотность процесса будет равна .

Рассмотренный процесс можно назвать случайным телеграфным сигналом.

Пример 2. Рассмотрим теперь случай, когда моменты являются

случайными величинами, определяемыми Пуассоновским потоком, т. е.

число моментов на интервале подчиняется распределению Пуассона

, где – среднее число моментов в единицу времени.

62

Процесс устроен так, что в моменты происходит перемена знака значения,

которое было на промежутке . Значения могут быть либо , либо

, см. рис. 1.15.

Ясно, что среднее значение такого процесса равно нулю, а

корреляционная функция имеет вид

,

.

Смысл последнего выражения очевиден. Произведение отсчетов равно

, если на промежутке произошло четное число перемен знака процесса

(имело место четное число моментов ) и соответственно , если таких

перемен было нечетное число. Учитывая, что , а

и подставляя эти выражения в формулу для

получим

, так как является рядом

Маклорена для функции . Учитывая, что точно такой же результат мы

получим для будем иметь окончательно

.

63

Таким образом, процесс , называемый случайным двоичным

сигналом [10], является стационарным в широком смысле. Стационарность

нарушалась бы, если начало отсчета было бы привязано к конкретной

полярности процесса (см. [10] стр. 130). Спектральная плотность случайного

двоичного сигнала будет равна . Корреляционная

функция и спектральная плотность такого процесса при и

построены на рис. 1.16.

-2 -1 0 1 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

АКФ

-20 -10 0 10 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CПМ

Рис. 1.16

Очевидно, что чем больше число перемен знака процесса в единицу

времени, тем шире его спектральная плотность.

Напомним, что площади под кривыми , соответствующих разным

значениям , одинаковы и равны . Спектральная плотность такого

вида называется лоренцовской.Пример 3. До сих пор мы считали, что наши процессы могут принимать

лишь два значения. Рассмотрим теперь случайный процесс , значения

которого в моменты времени определенные так же как и в примере 1,

64

являются отсчетами стационарного процесса с нулевым средним

значением и корреляционной функцией . Значение сохраняется

до момента где оно заменяется на . На рис. 1.17 приведена

реализация исходного процесса и рассматриваемого .

Очевидно, что . Корреляционную функцию

процесса можно найти из следующих соображений. Если , то при

вычислении будут перемножаться либо отсчет сам на себя (моменты

и попали на одну «ступеньку»), либо на соседние (моменты и попали на соседние «ступеньки»). Среднее значение этих произведений

равны (сам на себя) и (перемножаются соседние отсчеты).

Веса этих слагаемых (вероятности попадания отсчетов на одну или на

соседние «ступеньки») равны соответственно и , т. е.

. Рассуждая аналогичным образом для

получим и т. д.

Таким образом, корреляционная функция процесса получается

путем линейной интерполяции функции с узлами ,

. Если интервал дискретизации много больше времени

корреляции процесса ( ), то корреляционная функция процесса

будет иметь вид треугольника . На

рис. 1.18 приведены исходная корреляционная функция и

65

корреляционная функция для двух случаев (рис. 1.18 а) и

(рис. 1.18 б).

Найти спектральную плотность мы предоставляем читателю.

Вспомните про метод дифференцирования при вычислении преобразованияФурье функций, имеющих кусочно-степенную аппроксимацию.Пример 4. Пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс

определяется следующим образом. Пусть в случайные моменты времени

возникают точечные события, имеющие нулевую протяженность, т. е. являющиеся точками на временной оси. Такая последовательность точек образует случайный поток.

Будем считать, что выполняются следующие условия:1. Стационарность, заключающаяся в том, что для любых интервалов

, , … и любых и и любых

вероятности того, что в интервале произойдет событий

потока, … в интервале произойдет событий потока не

изменятся, если все моменты сдвинуть на одну и ту же

величину . Вспомните определение стационарности случайного процесса в узком смысле.

2. Ординарность, состоящая в том, что вероятность двух или большего

числа событий потока в интервале есть при .

3. Отсутствие последействия, заключающееся в том, что количества событий происшедших на неперекрывающихся временных интервалах есть независимые случайные величины.

66

В этих предположениях количество событий , имевших место на

интервале подчиняется распределению Пуассона

,

с которым мы знакомились в компьютерном практикуме [1].Рассмотренный поток называется пуассоновским. С ним приходится

сталкиваться в самых разнообразных областях науки и техники.Вернемся к пуассоновскому процессу. Будем считать, что при

осуществлении очередного события случайного потока значение процесса

увеличивается на единицу, как это показано на рис. 1.19.

Пуассоновский процесс, как это хорошо видно на рис. 1.19, является нестационарным случайным процессом. Однако в силу свойств пуассоновского потока (отсутствие последействия) это процесс с независимыми приращениями. Можно показать (см. [10] стр. 129), что

среднее значение пуассоновского потока (это свойство

распределения Пуассона), а корреляционная функция равна

.

Если для пуассоновского потока нарушается условие стационарности и

параметр зависит от времени, то в этом случае – плотность точек

потока, и в приведенных выше формулах для и надо

лишь заменить на .

67

С пуассоновским потоком связан процесс , формируемый по правилу

, где – число событий пуассоновского потока

на промежутке , – независимые и одинаково распределенные

случайные величины с плотностью вероятности и

характеристической функцией , – декремент затухания экспоненты

, – моменты возникновения событий и – функция

единичного скачка . Реализация такого процесса

приведена на рис. 1.20.

Модель такого процесса возникает при рассмотрении работы детектора радиоактивного излучения.

Можно показать, что характеристическая функция процесса равна

. Хотя получить выражение для

плотности вероятности процесса (перейти от к )

затруднительно, можно определить необходимое число моментов или

кумулянтов и получить приближенное представление с помощью

ортогонального разложения плотности вероятности [11 стр. 37]. В частности

68

, так

как . Видно, что при и не

зависит от времени.

1.10. Манипулированные случайные процессы

Представим, следуя [10], стр. 134, что манипулированный случайный процесс формируется с помощью коммутатора, управляемого бинарным

случайным процессом , принимающим значения (рис. 1.21 а). Если

процесс принимает значение 1, то на выход коммутатора поступает

случайный процесс (рис. 1.21 б). При значении процесса равным 1

на выход поступает процесс (рис. 1.21 в). Результирующий процесс

имеет вид, приведенный на рис. 1.21 г.Очевидно, что аналитическое выражение для результирующего процесса

будет иметь вид . Считая

процессы , и независимыми, стационарными и имеющими

нулевые средние значения, можно показать (проделать самостоятельно), что

а корреляционная функция равна

.

Этот результат можно использовать при моделировании случайных процессов с требуемой корреляционной функцией.

Если процесс принимает значения 1 или 0, то результирующий

процесс .

В таком виде процесс задает обширный класс манипулированных

сигналов. При этом в роли выступает информационный процесс, а

и – узкополосные случайные сигналы, структура которых учитывает

наличие случайных неинформационных параметров (начальная фаза, амплитуда и др.).

69

Бинарный процесс является информационным. Будем считать его стационарным в широком смысле, имеющим среднее значение 0.5 (1 и 0 в информационном сигнале появляются с равными вероятностями) и

корреляционную функцию . Процессы и также стационарны

и стационарно связаны, имеют нулевые средние значения, корреляционные

функции и соответственно и взаимную корреляционную

функцию . Запишем выражение для среднего значения и

корреляционной функции процесса . Среднее значение с учетом

независимости процесса и процессов и будет равно

, так как

. Корреляционная функция имеет вид

70

.

Рассмотрим случай амплитудной, фазовой и частотной манипуляции.

При амплитудной манипуляции и для справедливо

выражение , так как .

Спектральная плотность амплитудно манипулированного сигнала (процесса)

будет равна , где – символ свертки.

При фазовой манипуляции , поэтому

(обдумайте этот результат). В этом случае

и .

При частотной манипуляции с разрывом фазы, в этом случае процесс образуется путем подключения к выходу двух независимо работающих

на частотах и генераторов, и корреляционная

функция процесса примет вид .

Записать выражение для спектральной плотности процесса мы

предлагаем читателю.

Конкретизацию полученных выражений для и

применительно к типовым манипулирующим процессам и случайным сигналам и можно найти в [10] на стр. 294–307.

1.11. Выбросы случайных процессов

Выбросом называют превышение процессом некоторого уровня U.

Аналитическое задание выбросов , формируемых процессом , имеет

вид , где 1(x) – функция единичного скачка. Рис.

1.22 иллюстрирует приведенное определение выбросов.

71

На рис. 1.22, а изображена реализация процесса и уровень . На

рис. 1.22, б приведены выбросы рассматриваемого процесса, а на рис. 1.22, в

– функция .

Ее производная определяет моменты пересечения

процессом уровня U как снизу вверх (в точке пересечения производная

> 0), так и сверху вниз ( < 0).

Как видно из определения, выбросы представляют собой случайный процесс, получаемый как результат нелинейного безынерционного

преобразования с характеристикой .

Методы определения статистических характеристик процессов, полученных в результате таких преобразований, рассматриваются в разделе 3 данного учебного пособия. Однако во многих задачах интерес представляют специфические характеристики выбросов, к рассмотрению которых мы и перейдем.

Начнем с изучения длительности выбросов.Под длительностью выброса понимают величину временного интервала

между последовательными пересечениями процессом уровня U с

72

положительной и отрицательной производными, т. е. это длительности

импульсов единичной амплитуды (см. рис.1.22, в). С учетом

сказанного, длительность выбросов процесса за уровень U в течение

промежутка можно записать как .

Рассмотрим среднее значение суммарной длительности выбросов за время T

.

Для определения достаточно знать одномерную

плотность вероятности процесса . В соответствии с правилами

усреднения

;

.

Для стационарного случайного процесса не зависит от времени:

.

Соответственно, среднее время пребывания процесса ниже уровня за

время будет равно .

Если процесс является эргодическим, то, как это отмечалось в

подразделе 1.3, .

Для отыскания средней длительности выбросов и ее дисперсии необходимо изучить простейшую характеристику выбросов среднее число пересечений этим процессом заданного уровня U в единицу времени.

Можно показать (см. [11], стр. 522), что для стационарного случайного процесса среднее число пересечений уровня с положительной

производной (для отрицательной производной оно такое же) равно

73

, где совместная ПВ процесса

и его производной в совпадающие моменты времени. Очевидно,

что это и есть среднее число выбросов в единицу времени. После

этого нетрудно определить среднюю длительность выброса как

.

Мы положили , так как – среднее число выбросов в единицу

времени.Средняя длительность интервалов между выбросами будет очевидно

равна . Как вы думаете, почему?

Как видно из приведенного выше выражения для определения

необходимо знание совместной ПВ значений процесса и его

производной в совпадающие моменты времени. Для стационарного и

дифференцируемого нормального случайного процесса

,

где , а – спектральная плотность процесса .

Выполняя интегрирование, получим:

.

Отметим, что для нормального процесса, который является и марковским, корреляционная функция должна иметь вид

, а соответствующая ей спектральная плотность

74

(см. раздел 1.8). Как видно из определения для такой

спектральной плотности величина неограниченна и, следовательно,

среднее число выбросов в единицу времени бесконечно. Заметим, что такой процесс не является дифференцируемым. Подумайте, почему.

Средняя длительность выбросов стационарного дифференцируемого

нормального процесса с нулевым средним значением и дисперсией равна

, где – интеграл вероятностей [2].

Подумайте, как изменится результат, если среднее значение процесса отлично он нуля.

Точки пересечения процессом нулевого уровня называют

нулями. Среднее число пересечений нулевого уровня в единицу времени называют секвентой. Существует обширный класс функций, которые полностью определяются заданием своих нулей (функции Уолша, Радемахера). Вопросы, связанные с их применением в науке и техники, составляют содержание теории секвентного анализа, с основами которого можно познакомиться с помощью монографии [12]. Из приведенного выше выражения следует, что для стационарного дифференциального процесса с нулевым средним значением средний интервал между двумя соседними

нулями равен , так как .

Добавление к нормальному случайному процессу детерминированного сигнала резко усложняет расчет среднего числа пересечений. Обозримый результат можно получить для гармонического сигнала вида

, где , и – заданные параметры сигнала и

нулевого уровня (см. [13], стр. 550). В этом случае среднее число пересечений нулевого уровня

,

75

где , , , , а функция

, модифицированная функция Бесселя нулевого

порядка. Существенное упрощение при анализе нулей может быть получено для

узкополосного случайного процесса, представленного в виде

, где огибающая процесса, а его фаза.

Так как для узкополосного процесса огибающая меняется

значительно медленнее чем , то можно считать с некоторым

приближением, тем более точным, чем больше будет степень

узкополосности, определяемая отношением , где

эффективная ширина спектра процесса, что нули процесса определяются

нулями функции .

Разность двух соседних моментов и прохождения данной функции

через нуль можно записать .

Так как для узкополосного процесса фаза меняется значительно

медленнее чем , разность можно заменить линейным

представлением , считая, что фаза дифференцируемый

случайный процесс. Тогда для узкополосного процесса интервал между

соседними нулями будет равен , а число нулей процесса

(t) на промежутке с положительной производной

.

Среднее число нулей в единицу времени для стационарного

узкополосного процесса будет равно , так среднее значение

второго слагаемого равно нулю. Таким образом, среднее число нулей в

76

единицу времени узкополосного стационарного случайного процесса равно

значению центральной частоты этого процесса.

Дисперсия числа нулей определяется вторым слагаемым в выражении

для и равна , где – корреляционная

функция производной фазы.В [13] показано, что корреляционная функция производной фазы

(мгновенной частоты) для узкополосного нормального процесса имеет вид

=

или = , где – огибающая

коэффициента корреляции процесса.К задаче о нулях случайного процесса сводится задача о пересечении

двух случайных процессов и , так как факту пересечений этих

процессов соответствует выполнение условия . Поэтому число

пересечений процессов и соответствует числу нулей разностного

процесса .

Предлагаем в качестве упражнения решить эту задачу для случая, когда

и два независимых стационарных гауссовских процесса с

нулевыми средними значениями, дисперсиями и .

Во многих задачах представляет интерес распределение интервалов

между нулями суммы гармонического сигнала и

стационарного гауссовского шума с нулевым средним значением и

корреляционной функцией , где – дисперсия, а –

коэффициент корреляции процесса . Будем считать шум малым, т. е.

. В этих условиях можно показать (см. [14], стр. 166), что

77

длительность интервала между соседними нулями суммарного процесса s(t) + распределена по нормальному закону:

,

где – среднее значение интервала , а – его

дисперсия.

1.12. Оценка характеристик случайных процессов

Будем считать, что исследуемые процессы являются эргодическими, и их статистические характеристики могут быть оценены по одной достаточно длинной реализации. При использовании реализации, наблюдаемой на интервале [0, Т], возникает вопрос о зависимости точности получаемых оценок от протяженности интервала наблюдения Т и свойств процесса. При цифровой обработке необходимо выбрать интервал дискретизации исследуемого процесса t , что при заданном времени наблюдения Т

определяет число обрабатываемых отсчетов . Рассмотрим эти вопросы

применительно к основным характеристикам случайного процесса.

1.12.1. Оценка математического ожидания

Эргодичность анализируемого процесса позволяет в качестве оценки

математического ожидания процесса t взять среднеинтегральное значение

на промежутке [0, Т], т. е.

dttT

tMT0

1ˆ .

Напомним, что из эргодичности процесса t следует, что

tMdttT

tMT

TT

0

1limˆlim .

При конечных Т оценка tM ˆ является случайной величиной, которую

можно характеризовать средним значением tMM ˆ и дисперсией

tMD ˆ .

78

Очевидно, что tMM ˆ tMdttMT

T

0

1, так как для

эргодического процесса, обязательно являющегося стационарным, tM не

зависит от времени. Таким образом, среднеинтегральная оценка математического ожидания является несмещенной (среднее значение оценки

совпадает с оцениваемой величиной tM .

Для дисперсии tMD ˆ справедливо выражение

tMD ˆ

drTT

T

0

21

2 ,

где 2 – дисперсия исследуемого процесса, а – его коэффициент

корреляции.

При цифровой обработке процесса , где – интервал

дискретизации, а , вместо среднеинтегральной оценки

используется среднеарифмитическая оценка . Эта оценка,

как и среднеинтегральная, не имеет смещения, а ее дисперсия

.

В качестве характеристики точности оценивания математического

ожидания можно взять отношение дисперсии оценки к

дисперсии процесса . При аналоговом оценивании это даст

а при цифровом

.

Как видно из приведенных выражений, точность оценивания математического ожидания зависит от вида коэффициента корреляции

процесса . Если время анализа процесса много больше времени

79

корреляции , то записанное выше выражение для аналогового оценивания

примет вид

Если уечсть, что для неотрицательных корреляционных функций

то относительная точность среднеинтегральной оценки

математического ожидания при времени наблюдения, намого больше чем ,

определяется отношением

При цифровой обработке, если интервал дискретизации ,

при , и, как и следовало ожидать, дисперсия

среднеарифметической оценки математического ожидания при

некоррелированных отсчетах равна N

2.

Выражение

2

ˆ tMD

1

1121

1 N

kkr

N

k

N может быть

использовано для обоснованного выбора . При задании времени анализа Т

интервал дискретизации . Тогда

2

ˆ tMD .

На рис. 1.23 приведены заимствованные из [10], стр.520, рис.5.16

зависимости от N при заданных Т для различных форм

коэффициента корреляции .

80

Из приведенных графиков видно, что при числе отсчетов N > 1520 точность оценивания практически не изменяется, т. е. при заданном времени

81

наблюдения Т разумно выбирать интервал дискретизации . На

представленных графиках Т и Т – параметры, характеризующие соотношение между протяженностью корреляционной функции и временем анализа Т.

1.12.2. Оценка дисперсии

Если математическое ожидание процесса t известно, то в качестве

оценки дисперсии можно взять среднеинтегральное значение вида

. При неизвестном математическом

ожидании используется его оценка, т. е. .

Оценка несмещенная, поскольку

.

Ее дисперсия равна

.

Это выражение может быть упрощено для гауссовского процесса, для

которого (см. [4],

стр.59). С учетом приведенного равенства получим:

,

так как процесс стационарный и . Подставляя это

выражение в формулу для , после несложных преобразований

будем иметь:

82

.

При kT . Как видно из

представленных выражений, для состоятельности оценки (

) необходима интегрируемость на интервале (0,

).

Оценка оказывается смещенной, так как

,

где – дисперсия оценки математического ожидания,

найденная в разделе 1.12.1.

При цифровом оценивании дисперсии по отсчетам процесса при

известном математическом ожидании оценка дисперсии

определяется выражением . Эта оценка

несмещенная, а ее дисперсия равна .

Если , то при , и мы получаем дисперсию оценки

дисперсии по выборке из генеральной совокупности нормальных случайных

величин с известным средним значением .

При выборе интервала дискретизации при оценивании дисперсии можно руководствоваться зависимостями относительной дисперсии оценки дисперсии от числа отсчетов N при заданном интервале анализа Т. Как видно из графиков, приведенных в [10], стр. 522, рекомендации по выбору остаются примерно такими же, как и при оценивании математического

ожидания, т. е. . Конечно, если для обработки доступна достаточно

протяженная реализация, как например при моделировании, то при

83

оценивании математического ожидания и дисперсии следует использовать независимые отсчеты. При этом дисперсии оценок математического ожидания и дисперсии для гауссовского распределения будут равны, соответственно:

, .

1.12.3. Оценивание корреляционной функции

Будем считать, что математическое ожидание известно, и мы

анализируем центрированный процесс . Для оценки

корреляционной функции будем использовать временное среднее вида

TdtttT

KT

,)(1

)(ˆ0

00 .

В данном выражении – интервал, на котором перекрываются

реализации и .

Математическое ожидание этой оценки

.,0

;),(11)(ˆ)(

1)(ˆ

0000

T

TKTdt

TKdtttM

TKM

TT

Как видно, оценка K̂ оказалась смещенной. Для устранения

смещения можно рассматривать оценку вида

dtttT

KT

0

00н )(1

)(ˆ . Эта оценка, как нетрудно показать,

является несмещенной.

Для гауссовского случайного процесса дисперсия оценки K̂ будет

определяться выражением

dxxKxKxKT

x

TKD

T

T

)()()(1

1)(ˆ 2

.

Вывод этой формулы приведен в [10], стр. 528-529. Требование

гауссовости процесса t является необходимым потому, что в общее

выражение для дисперсии оценки K̂ входят моментные функции

84

четвертого порядка, которые для гауссовского процесса могут быть выражены через корреляционную функцию (см. [4], стр.59).

Для несмещенной оценки )(ˆн K

dxxKxKxKT

x

TT

KDT

T

)()()(1

1

1)(ˆ 2

2

2н.

При kT )(ˆ)(ˆн KDKD , и для дисперсий смещенной и

несмещенной оценок корреляционной функции справедливо приближенное

представление dxxKxKxKT

)()()(

1 2.

С учетом смещения средний квадрат ошибки для оценки K̂ будет

равен )()(ˆ)(ˆ)( 22

2

K

TKDKKM . Предлагаем читателю

убедиться в этом самостоятельно.

Для сравнения оценок и )(ˆн K целесообразно рассмотреть

зависимости , , и от , которые

приведены на рис. 1.24, заимствованном из [10], стр.531, рис.5.22 и обозначенные цифрами 1, 2 и 3 соответственно. На рис. 1.24 сплошными линиями показаны относительные дисперсии смещенной и несмещенной

оценок корреляционной функции , 2Т = 5; штрих-пунктирными

линиями – относительные дисперсии оценок корреляционной функции

, Т = 5.

Попробуйте объяснить, почему дисперсия несмещенной оценки )(ˆн K

при стремится к бесконечности.При неизвестном математическом ожидании оценка корреляционной

функции примет вид

.

85

Можно показать (см. [10], стр. 531), что для такой оценки смещение увеличивается с ростом дисперсии оценки математического ожидания

, которая была определена в разделе 1.12.1.

При оценке корреляционной функции по отсчетам используется

выражение вида , где , l = 0, 1, …, N – 1, а

– интервал дискретизации.

При и конечных значениях для дисперсии оценки можно

пользоваться приближенным выражением

.

Наряду с рассмотренным методом оценивания корреляционной функции может быть использован параметрический подход, при котором КФ представляется в виде обобщенного ряда Фурье по некоторой

ортонормальной системе функций . Свойства этих функций должны

быть согласованы с ожидаемыми свойствами КФ (четность, скорость убывания, наличие осцилляций и др.). С учетом сказанного будем считать,

что , в реальности , где N

86

0 0,2

0,2

0,4

0,4

0,6

0,6

0,8

0,8

1,0

1,0

/Т

1

23

Рис. 1.24

выбирается исходя из требуемой точности представления . Таким

образом, задача сводится к отысканию коэффициентов Сk, которые являются

параметрами КФ. Хорошо известно [2], что при разложении по

ортонормальной системе коэффициенты . Подставляя

в это выражение (процесс (t) считаем центрированным) и

меняя местами порядок интегрирования и усреднения, получим

.

Случайный процесс можно рассматривать как

реакцию линейной системы с импульсной характеристикой на процесс

(t) в установившемся режиме. Нетрудно показать (см. [11], стр. 187), что при стационарности процесса (t) процесс (t) будет также стационарным. Процессы (t) и (t) будут стационарно связанными, и их взаимная

корреляционная функция будет равна .

Предполагая эргодичность процессов (t) и (t), получим для оценки

коэффициентов Сk следующее выражение: .

Очевидно, что (попробуйте убедиться в этом

самостоятельно), т. е. оценка является несмещенной. Ее дисперсия

определяется выражением

.

Таким образом, среднее значение оценки будет равно

.

Ее дисперсия с учетом ортогональности функций k() будет равна

.

87

Обдумайте этот результат.

Фильтры с импульсными характеристиками k(t) называют

ортогональными. С примером фильтров такого рода можно познакомиться на стр. 111 учебного пособия [2].

1.12.4. Оценивание спектральной плотности

В современной литературе применяется условное деление методов спектрального оценивания на два класса: классические методы и современные. Такое деление обусловлено историческим ходом развития спектрального анализа, который весьма подробно изложен в [15].

В свою очередь, классические методы спектрального оценивания принято разделять на прямые (периодограммные), косвенные (коррелограммные) и комбинированные периодограммно-коррелограммные методы. Современные методы спектрального оценивания могут быть разделены на параметрические и непараметрические.

Хотя без учета физических особенностей стационарного процесса (t)

преобразование Фурье корреляционной функции ,

характеризующее распределение дисперсии процесса по частоте, целесообразно было бы называть спектральной плотностью, и лишь для процессов, квадрат которых можно трактовать как мощность, использовать термин «спектральная плотность мощности», мы, следуя принятой в

радиотехнической литературе терминологии, будем называть

спектральной плотностью мощности для произвольных процессов и использовать аббревиатуру СПМ.

Будем считать, что анализируется стационарный центрированный СП ξ(t) на интервале [0, Т]. Запишем для реализации процесса на этом интервале

ξТ(t) пару преобразований Фурье:

;

.

88

Введем в рассмотрение функцию , называемую

выборочной СПМ или периодограммой. Записывая и

заменяя и с помощью обратных преобразований Фурье,

после несложных преобразований (см. [10], стр. 533), получим:

,

где – рассмотренная в 1.12.3 оценка

корреляционной функции. Обратное преобразование Фурье дает

,

т. е. оценка корреляционной функции по реализации протяженностью

Т и периодограмма связаны парой преобразований Фурье.

Несмотря на то, что является состоятельной оценкой

корреляционной функции , связанной с СПМ преобразованием Фурье

, оценка таковой не является. Можно

показать (см. [10], стр. 534-536), что она является асимптотически

несмещенной ( ), но ее дисперсия, по крайней мере, для

гауссовских процессов, при Т ∞ стремится не к нулю, как это должно быть

для состоятельной оценки, а к , т. е. .

Случайная функция от реализации к реализации на каждой

частоте сильно флюктуирует, причем с ростом длительности реализации

дисперсия этих флюктуаций стремится к , а интервал корреляции для

уменьшается.

89

При цифровой обработке мы имеем дело с последовательностью

отсчетов изучаемой реализации , k = 0, 2, …, N–1, взятых с интервалом

, где − интервал наблюдения. При этом периодограмма будет

иметь вид

.

При фиксации значений реализации в точках с шагом

будут получены значения периодограммы для частот

. Таким образом, длина интервала наблюдения

определяет низшую оцениваемую частоту, а − высшую. Для вычисления периодограммы используют алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Для преодоления несостоятельности периодограммной оценки

используют сглаживание, базирующееся на предположении об эргодичности анализируемого процесса.

В настоящее время используется три основных метода сглаживания периодограммы: методы Даньелла, Бартлетта и Уэлча, гарантирующие статистическую устойчивость спектральной оценки для широкого класса процессов.

Даньелл предложил для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спектра использовать усреднение по соседним ячейкам частотной сетки

.

Оценка на частоте fm получается как среднее арифметическое p оценок

справа от fm и p оценок слева от fm. Очевидно, что выбор размера

сглаживающего окна (2р+1) должен быть разумным. Cглаживание периодограммы по методу Бартлетта предусматривает

создание псевдоансамбля отрезков анализируемого случайного процесса за счет деления последовательности из N отсчетов данных на Р неперекрывающихся сегментов по М отсчетов в каждом. В каждом из сегментов вычисляется периодограммная оценка, после проводится усреднение по всем сегментам.

90

Дисперсия спектральной оценки обратно пропорциональна числу сегментов, следовательно, с точки зрения устойчивости и эффективности оценки выгодно увеличивать число сегментов. При этом увеличение числа сегментов Р при фиксированной длине выборки приводит к уменьшению ширины главного лепестка спектра окна, а следовательно, к ухудшению разрешающей способности по частоте.

Уэлч усовершенствовал метод Бартлетта за счет применения сглаживающеего окна к каждому сегменту и последующего перекрытия сегментов. Уэлч рекомендовал использовать сглаживающее окно Ханна и 50% перекрытие сегментов. При таком подходе все данные используются дважды, за исключением D/2 данных в начале и в конце реализации (D = N/P). При таком подходе данные, имеющие малые веса в одном сегменте, получают большие веса в следующем сегменте. Дисперсия спектральной оценки при усреднении по Уэлчу обратно пропорциональна числу сегментов. Установлено, что для гауссовских процессов минимум дисперсии достигается при 65% перекрытии; 50% перекрытие увеличивает дисперсию на 8%.

Одной из важнейших сторон классического спектрального анализа является использование спектральных окон.

Представим конечную последовательность данных как некоторую часть бесконечной последовательности данных, видимую через применяемое окно.

Например, конечную последовательность х(k) можно записать как:

,

где – прямоугольная функция единичной

амплитуды (прямоугольное окно).В силу свойств преобразования Фурье спектр взвешенной окном

последовательности отсчетов равен свертке истинного спектра процесса (спектра бесконечной последовательности) и спектра окна. При этом спектр наблюдаемой выборки длительностью N является искаженным спектром, бесконечной выборки. Острые спектральные пики в оценке спектральной плотности мощности расширяются за счет воздействия копий преобразований Фурье окна. Боковые лепестки преобразования окна изменяют амплитуды соседних спектральных пиков, также может иметь место наложение боковых лепестков спектра окна на основные и друг на

91

друга. Описанное явление называется «просачиванием мощности». Просачивание приводит к амплитудным искажениям спектра. Кроме того, боковые лепестки могут маскировать слабые спектральные составляющие и препятствовать их обнаружению. Явление просачивания мощности можно рассмотреть и с других позиций. Спектральный анализ представляет собой задачу проецирования наблюдаемого колебания на базисные вектора, которые образованы отсчетами синусоид и косинусоид с периодами, кратными длительности интервала наблюдения. Только спектральные составляющие, имеющие частоты, совпадающие с базисными, будут проецироваться на единственный базисный вектор, в то время, как все остальные спектральные составляющие получат ненулевые проекции на любой из базисных векторов.

Для уменьшения просачивания мощности предлагается использовать ряд дополнительных функций окна, применяемых к исходным данным до преобразования Фурье (во временной области) или к спектральным оценкам (после преобразования Фурье (в частотной области).

При выборе спектрального окна необходимо руководствоваться следующими критериями:

1. Малая ширина главного лепестка спектра окна;2. Малый уровень боковых лепестков спектра окна;3. Большая скорость спада уровня боковых лепестков;4. Простота реализации.

В табл.1 приведены характеристики некоторых типичных спектральных окон.

Самый узкий главный лепесток имеет прямоугольное окно, но у него самый высокий уровень боковых лепестков. Треугольное окно очень легко реализовать в частотной области. Окно Хемминга легко реализовать, кроме того оно имеет очень малый максимальный боковой лепесток.

Стратегия выбора окна диктуется компромиссом между смещением из-за помех в области близких боковых лепестков и смещением из-за помех в области дальних боковых лепестков. При этом желательно иметь представление о спектральном составе анализируемого сигнала.

Классические методы спектрального оценивания относятся к числу наиболее устойчивых. Они применимы почти ко всем типам сигналов, обладающих стационарными свойствами, в то время как альтернативные им

92

параметрические методы спектрального оценивания предназначены лишь для отдельных классов сигналов.

Использование алгоритма быстрого преобразования Фурье делает классические методы спектрального оценивания наиболее эффективными в вычислительном отношении. Получаемые с их помощью оценки СПМ линейно зависят от мощности синусоид, присутствующих в данных, тогда как при использовании параметрических методов, как правило, нет линейной связи между мощностью синусоид и высотой спектральных пиков.

Таблица 1

НазваниеФормула во

временной области

Ширина полосы в элементах

Макс. уровень боковых

лепестков (дБ)

Скорость спадания боковых

лепестков (дБ/октава)

Прямоугольное (равномерное)

1 0,89 -13,3 -6

Треугольное (окно Бартлетта)

1-2|t(n)| 1,28 -26,5 -12

Косинус-квадрат (окно Ханна)

cos2(π·t(n)) = 0.5+0.5(cos(2π·t(n))

1,44 -31,5 -18

Приподнятый косинус (окно

Хэмминга)0.54+0,46cos(2π·t(n)) 1,3 -43 -6

Основной недостаток классических методов – просачивание мощности из-за конечного объема данных, что требует использования сглаживающего спектрального окна. Кроме того, следует учесть, что разрешение по частоте не может превосходить величины 1/NΔT.

В настоящее время широкое применение находят параметрические методы спектрального анализа СПМ, предполагающие рассмотрение модели временного ряда, соответствующего изучаемому процессу. В этом случае СПМ будет функцией параметров этой модели, а не автокорреляционной последовательности (АКП) или отсчетов реализации самого процесса.

93

Параметрический метод спектрального оценивания состоит из трех этапов:

1. Выбор параметров модели временного ряда, соответствующих исходным данным.

2. Вычисление оценок параметров модели.3. Подстановка полученных оценок параметров модели в теоретическое

выражение для СПМ, соответствующее выбранной модели.Существуют причины, по которым целесообразно использовать

параметрические модели: возможность получения более точных оценок СПМ, чем позволяют классические методы и более высокое спектральное разрешение.

Классические методы, в том числе метод периодограмм, дают оценки СПМ по взвешенной последовательности данных или АКП. Отсутствующие данные или оценки АКП за пределами окна полагаются равными нулю, что является нереалистическим допущением и приводит к искажениям. На практике обычно имеется некоторая информация о процессе, из которого берутся отсчеты данных.

Имеющаяся информация может быть использована для построения модели, аппроксимирующей процесс, породивший наблюдаемую временную последовательность. Такие модели позволяют сделать более реалистичным допущения о данных вне окна. В результате отпадает необходимость в функции окна, а, следовательно, и связанные с ними искажения.

Степень улучшения разрешения определяется соответствием выбранной модели имеющемуся процессу.

Более подробную информацию о непараметрических методах спектрального оценивания можно получить с помощью монографии [15].

1.13. Компьютерный практикум по разделу случайные процессы

Для решения задач компьютерного моделирования необходимо иметь возможность моделировать случайные процессы с различными статистическими характеристиками (распределение отсчетов, корреляционные функции и спектральные плотности) и иметь возможность оценивать эти характеристики. Поскольку речь идет о компьютерном моделировании, то в соответствии с введенной классификацией СП мы будем иметь дело со случайными последовательностями (дискретизированный по времени СП). Такие последовательности часто называют временными

94

рядами. При таком подходе в основу кладется формирование случайных величин с заданным законом распределения. Эта задача подробно рассмотрена в [1].

Задание №1. Исследование гармонического колебания со случайными параметрами.

Объектом исследования является случайный процесс вида

, где А, f, детерминированные или случайные

величины.1. Гармоническое колебание со случайной начальной фазой и

детерминированными амплитудой A и частотой f.Рассмотрим сначала случай, когда плотность вероятности случайной

величины равномерна на промежутке , т. е.

Используя модель СВ , равномерно распределенной на интервале ,

с помощью функционального преобразования формируется

совокупность значений СВ , а затем – совокупность реализаций процесса

для значений выбранных пользователем значений

амплитуды А и частоты f.При выполнении моделирования необходимо осуществить следующие

действия:1. Сформировать и просмотреть на экране монитора несколько

реализаций изучаемого СП.

2. Задавшись тремя произвольными значениями моментов времени t1, t2,

t3, построить гистограммы для случайных величин, получаемых в сечениях

СП, соответствующих данным моментам времени, при большом числе реализаций СП (не менее 1000).

3. Оценить среднее значение и дисперсию СП.4. Получить оценку корреляционной функции и спектральной плотности

данного процесса.5. На основе визуального анализа полученных статистических

характеристик убедиться в том, что рассматриваемый СП является стационарным в широком смысле. Кроме этого, рекомендуется произвести теоретический расчет математического ожидания и АКФ данного СП.

95

6. Сравнить оценки среднего значения и корреляционной функции, получаемых на основе статистического и временного усреднения.

При временном усреднении оценка временной корреляционной функции определяется выражением

Так как разность синусов всегда меньше, чем 2, то погрешность из-за

конечного времени усреднения не превышает .

При дальнейших исследованиях следует рассмотреть случай, когда

начальная фаза равномерно распределена в интервале :

Моделирование произвести в соответствии со следующими указаниями.

1. На основе СВ , равномерно распределенной на интервале , с

помощью функционального преобразования сформировать

совокупность значений СВ , а затем – совокупность реализаций процесса

для некоторых произвольных значений амплитуды А и

частоты f.2. Просмотреть полученные реализации и убедиться в том, что в данном

случае процесс будет нестационарным.3. Для объективного подтверждения данного факта для трех различных

моментов времени построить гистограммы случайных величин, полученных в сечениях СП, и оценить их среднее и дисперсию. Убедиться в зависимости полученных характеристик от выбранного момента времени.

В качестве примера выполнения поставленного задания в среде MATLAB был реализован набор программных модулей, позволяющий реализовать перечисленные выше указания. На рис. 1.23 представлен вид окна первого программного модуля, осуществляющего, при нажатии кнопки

96

«МОДЕЛИРОВАНИЕ», генерацию 5000 реализаций СП со случайной

начальной фазой, равномерно распределенной на промежутке ,

амплитудой, равной 1, и частотой, равной 1 Гц. Для визуального представления на экран выводятся первые 10 реализаций СП, гистограммы отсчетов случайной начальной фазы, отсчетов самого СП, АКФ и СПМ одной реализации, а также оценки математического ожидания, дисперсии, коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса исследуемого СП. Нетрудно убедиться, что характеристики СП, определенные путем моделирования, соответствуют теоретическим представлениям.

Рис. 1.23

При желании пользователь может изменить диапазон значений начальной фазы и просмотреть результат, повторно нажав кнопку «МОДЕЛИРОВАНИЕ».

Для исследования стационарности СП в зависимости от выбранного диапазона значений начальной фазы предназначен второй программный модуль (см. рис. 1.24, рис. 1.25). После его запуска осуществляется моделирование 5000 реализаций СП, 10 из которых выводятся на экран; расчет и построение гистограмм значений СП, получаемых в трех временных сечениях процесса; расчет и вывод графиков зависимости математического

97

ожидания и дисперсии СП от времени. Рис. 1.24 иллюстрирует случай стационарного СП, имеющего место, когда начальная фаза равномерно распределена в интервале . Как видно на рисунке, зависимость от времени математического ожидания и дисперсии СП отсутствует, распределение значений СП в выбранные моменты времени одинаково.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

Время, сек

-1 -0.5 0 0.5 10

500

1000Гистограмма в момент Т1

-1 -0.5 0 0.5 10

500

1000Гистограмма в момент Т2

-1 -0.5 0 0.5 10

500

1000Гистограмма в момент Т3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1

0

1Математическое ожидание одной реализации СП. 500 точек

по ансамблю

по одной реализации

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1Дисперсия одной реализации СП. 500 точек

по ансамблю

по одной реализации

Рис. 1.24

Рис. 1.25 соответствует нестационарному СП. В данном случае

начальная фаза равномерно распределена в интервале . Гистограммы

значений СП в выбранные моменты времени различны, что свидетельствует о зависимости от времени распределения отсчетов СП. Нестационарность СП иллюстрируется также зависимостью от времени математического ожидания и дисперсии процесса.

1. Гармоническое колебание со случайными амплитудой А и начальной фазой .

Будем теперь считать, что А и – независимые СВ с ПВ W(A) и ,

а f − детерминированная величина. Полагаем, что фаза распределена

98

равномерно в интервале , а ПВ случайной амплитуды А определяется

распределением Релея, т. е.

W(A)=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

Время, сек

-1 -0.5 0 0.5 10

200

400

600Гистограмма в момент Т1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 00

500

1000

1500Гистограмма в момент Т2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

500

1000

1500Гистограмма в момент Т3

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1

0

1Математическое ожидание одной реализации СП. 500 точек

по ансамблю

по одной реализации

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1Дисперсия одной реализации СП. 500 точек

по ансамблю

по одной реализации

Рис. 1.25

Указания к моделированию:1. Опираясь на алгоритмы формирования релеевской СВ, рассмотренные

в [1] для , и способ формирования СВ , с учетом их независимости

сформировать и пронаблюдать на экране монитора несколько реализаций данного СП.

2. Задавшись тремя произвольными значениями моментов времени t1, t2,

t3, построить гистограммы для случайных величин, получаемых в сечениях

СП, соответствующих данным моментам времени, при большом числе реализаций СП (не менее 1000).

3. Оценить среднее значение и дисперсию СП.

99

4. Убедиться в том, что отсчеты данного процесса подчиняются

нормальному закону с нулевым средним значением и дисперсией .

5. Получить оценки корреляционной функции и убедиться в том, что она

имеет вид .

На рис. 1.26 представлены результаты моделирования СП со случайной начальной фазой , распределенной равномерно в интервале , и случайной амплитудой А, имеющей распределение Релея.

Рис. 1.26

2. Гармонический сигнал со случайными амплитудой, частотой и начальной фазой.

Будем считать, что у случайного процесса

– независимые СВ с ПВ . Как и раньше, будем считать

фазу равномерно распределенной в интервале . Тогда среднее

значение процесса x(t) определяется выражением

так как при , .

100

Запишем выражение для корреляционной функции исследуемого процесса

Легко убедиться в том, что при ,

равно 0. Поэтому .

Если считать, что , то

.

Таким образом, мы имеем дело со стационарным в широком смысле СП.

Задаваясь , ,

и выбирая значения f0 и f по своему усмотрению

(f << f0), выполнить моделирование в соответствие с предыдущими

пунктами.Для определения ПВ отсчетов данного процесса заметим, что поскольку

, [0, 2], то для любых моментов времени распределение

отсчетов процесса будет подчиняться закону арксинуса, а для

процесса будем иметь .

Для определения ПВ исследуемого процесса необходимо задать

распределение W(A). Тогда .

101

Будем считать, что случайная амплитуда А описывается распределением

Рэлея Подставляя W(A) в предыдущее

выражение и выполняя интегрирование, получим

.

Таким образом, как и в предыдущем случае, при рэлеевском распределении амплитуды отсчеты процесса подчиняются нормальному распределению. Читателю предлагается проверить этот факт экспериментально, построив соответствующие гистограммы.

Рис. 1.27

Подумайте, как убедиться в том, что данный процесс не является эргодическим.

Результаты моделирования рассмотренного случайного процесса иллюстрируются рис. 1.27.

102

Задание №2. Исследование бинарных случайных процессов.1. Меандровый процесс со случайной начальной фазой.Данный процесс аналитически записывается как

, где f0 – детерминированная величина, а – СВ с

равномерным распределением .

Случайный процесс принимает значение +1, если аргумент синуса

, и -1, если

.

При равномерном распределении в промежутке вероятности

этих событий (попадания и непопадания в указанные промежутки)

одинаковы и равны 0,5, поэтому . Для определения

корреляционной функции разложим

«прямоугольную волну» в ряд Фурье

, где суммирование ведется по

нечетным значениям

Тогда , так

как .

Заменяя произведение синусов полуразностью косинусов и учитывая, что средние значения косинусов, аргументы которых содержат , где m – целое число, равны нулю, получим окончательно

.

Полученное выражение является рядом Фурье «пилообразной» функции

, график которой представлен на рис. 1.28.

Так как рассматриваемый процесс принимает значения , то его средний квадрат очевидно равен 1, а так как среднее значение равно 0, то

дисперсия .

103

Рис. 1.28

Полагая в формуле для и учитывая, что

суммирование ведется по нечетным значениям k, убеждаемся в том, что

.

Моделирование:1. Сформировать в соответствие с рекомендациями предыдущего

практикума случайный процесс , где – СВ, равномерно

распределенная на промежутке , а f0 – некоторое произвольное

значение, и выполнить преобразование полученных реализаций процесса (t)

по формуле .

Далее выполнить моделирование, аналогичное тому, что производилось в предыдущем практикуме при исследовании гармонического колебания с детерминированными амплитудой и частотой и случайной начальной фазой,

равномерно распределенной в интервале .

Рис. 1.29 иллюстрирует вид окна при запуске первого модуля, предназначенного для моделирования меандрового процесса со случайной

начальной фазой: , где частота = 1 Гц.

Пользователю предлагается задать начальное и конечное значение фазы в градусах, частоту дискретизации в Гц и размер окна для оценки СПМ.

После нажатия кнопки «МОДЕЛИРОВАНИЕ» программа выводит на экран три реализации СП, гистограмму СП, гистограмму фазы, АКФ и СПМ, вычисленные по одной реализации. Также в соответствии с введенными данными программой производится расчет характеристик данного процесса: математического ожидание, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса.

104

0

2

T0

2

T

xK 1

Рис. 1.29

Далее пользователь может задать новые значения параметров, и посмотреть, как от них зависят графики и характеристики процесса.

На рис. 1.30 представлен вид окна при запуске второго модуля, предназначенного для моделирования меандрового процесса со случайной начальной фазой и проверкой его на стационарность. Пользователю предлагается задать начальное и конечное значение фазы в градусах, частоту дискретизации в Гц, а также три момента времени для построения гистограмм случайных величин, полученных в соответствующих сечениях СП. После нажатия кнопки «МОДЕЛИРОВАНИЕ» программа генерирует реализации СП для дальнейшего усреднения. На экран выводятся три

105

реализации СП, гистограммы значений СП в различные моменты времени, графики математического ожидания и дисперсии в зависимости от времени.

Из рис. 1.30 видно, что при распределении фазы в промежутке от 0 до 2, СП является стационарным в широком смысле. Гистограммы значений СП, полученные в разные моменты времени, соответствуют теоретическим представлениям и совпадают между собой.

Рис. 1.30

Рис. 1.31. иллюстрирует нестационарность меандрового СП при распределении фазы от 0 до .

Представленные гистограммы показывают, что получаемые в разных сечениях СП случайные величины ведут себя статистически различно. Нестационарность процесса при распределении фазы в промежутке от 0 до подтверждается также зависимостью от времени его математического ожидания и дисперсии.

106

Рис. 1.31

2. Телеграфный сигналПод телеграфным сигналом понимают двухуровневый случайный процесс со значениями , у которого перемена знака происходит в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток, т. е. вероятность того, что в единицу времени произойдет ровно M перемен знака равна

, где – среднее число перемен знака в единицу времени.

Теоретическое исследование этого процесса приведено в [4] стр. 82-84.При моделировании данного процесса используется тот факт, что

интервалы между переменами знака подчиняются одностороннему

экспоненциальному распределению, т. е. .

107

При моделировании следует, задаваясь значением параметра (среднее число перемен знака в секунду), сформировать совокупность значений СВ, подчиняющейся экспоненциальному распределению (см. [1]), а затем набор реализаций телеграфного сигнала. С помощью сформированных реализаций

получить оценки корреляционной функции и спектральной плотности

.

Рис. 1.32 и 1.33 иллюстрируют результаты моделирования телеграфного сигнала при различных значениях параметра .

Рис. 1.32

На рис. 1.32 представлен вид окна при запуске модуля для

моделирования телеграфного сигнала с амплитудой В. Пользователю

предлагается задать частоту дискретизации в Гц, размер окна для оценивания спектральной плотности процесса и среднее число перемен знака в секунду Lambda ().

108

После нажатия кнопки «МОДЕЛИРОВАНИЕ» осуществляется формирование массива временных интервалов между сменами знака, распределенных по экспоненциальному закону, далее строятся три реализации СП, гистограмму интервалов между сменами знака, гистограмма значений СП, его АКФ и СПМ. Также в соответствии с введенными данными программой производится расчет характеристик данного процесса: математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса, времени корреляции.

Рис. 1.33

На рис. 1.33 представлен вид окна программного модуля при большем значении . Число перемен знака в секунду значительно увеличилось, что видно из графиков реализаций и гистограммы интервалов между сменами знака. Реализации такого процесса являются быстро меняющимися функциями времени. Следовательно, быстро будет меняться и АКФ, что доказывается сравнением графиков на рис. 1.32 и 1.33. Полученные оценки

109

АКФ и СПМ процесса при различных значениях соответствуют теоретическим представлениям.

Задание №3. Исследование нормального случайного процесса.При формировании нормального случайного процесса (НСП) с

заданными характеристиками целесообразно использовать тот факт, что линейное преобразование нормального процесса дает нормальную случайную величину или нормальный случайный процесс. При таком подходе вначале формируется НСП с независимыми отсчетами, при компьютерном моделировании это нормальная случайная последовательность, получаемая путем последовательного обращения к датчику нормальных случайных чисел с нулевым средним значением и единичной дисперсией: НСП с требуемой корреляционной функцией получается путем пропускания сформированного НСП с независимыми отсчетами через линейный фильтр, импульсная характеристика которого соответствует желаемой корреляционной функции.

Например, если мы хотим получить НСП с корреляционной функцией в

форме равнобедренного треугольника, т. е. , то

импульсная характеристика линейного фильтра должна иметь форму

прямоугольного импульса вида , где обеспечивает

требуемое значение .

При компьютерном моделировании отсчет процесса на выходе

формирующего фильтра будет равен , где – независимые

нормальные величины с нулевым средним значением и единичной

дисперсией, k – дискретный эквивалент длительности .

Тогда и при заданном k определяет требуемую

дисперсию . Для сформированного НСП требуется получить оценки

и и сравнить их с оценками корреляционной функции и

спектральной плотности исходного НСП .

110

Для моделирования НСП был разработан набор программных модулей. Окно первого модуля иллюстрируется рис. 1.34.

Рис. 1.34

При работе с программным модулем пользователь может задать необходимые параметры (частоту дискретизации процесса, размер спектрального окна для оценивания СПМ, длину импульсной характеристики), выбрать форму импульсной характеристики из списка, включающего прямоугольную, треугольную, экспоненциально убывающую и колоколообразную импульсную характеристику. После нажатия кнопки «МОДЕЛИРОВАНИЕ» на экран выводятся параметры СП и графики АКФ и СПМ до и после фильтрации, гистограмма значений процесса и первые 5 его кумулянт, а также АЧХ фильтра.

Рис. 1.35 иллюстрирует эффект нормализации СП в фильтре с узкой АЧХ. При запуске соответствующего программного модуля генерируется СП с равномерным распределением отсчетов, несколько реализаций исходного процесса выводятся на экран. После выбора длины и формы импульсной характеристики осуществляется моделирование процесса на выходе фильтра и построение гистограмм входного и выходного процессов. Для удобства пользователя вывод гистограммы выходного процесса сопровождается построением графика нормальной плотности вероятности.

111

Рис. 1.35

Задание №4. Исследование узкополосного нормального случайного процесса.

Узкополосный НСП формируется также, как и в предыдущем задании, на основании импульсной характеристики формирующего фильтра в виде узкополосного радиоимпульса.

Например, если мы хотим получить узкополосный НСП с корреляционной функцией вида

то импульсная характеристика формирующего фильтра должна иметь вид

Условие узкополосности означает выполнение неравенства ,

т. е. должна содержать достаточно большое (10 и более) число

периодов синусоидального колебания . Множитель , как и в

предыдущем задании, обеспечивает получение требуемой дисперсии .

112

В установившемся режиме процесс на выходе физически реализуемого линейного фильтра с постоянными параметрами имеет вид

.

При компьютерном моделировании , а для

рассматриваемого фильтра , где , l – число

отсчетов за период колебания , , – независимые

нормальные СВ с нулевым средним значением и единичной дисперсией.

Так как , то , и

.

Учитывая, что получим:

,

поскольку .

Если за счет выбора l величина достаточно мала и составляет

несколько градусов, а k >> l, то стоящей в скобках суммой можно

пренебречь. Тогда и .

Исследование состоит в построении гистограммы отсчетов сформированного с помощью формирующего фильтра процесса, оценок его корреляционной функции и спектральной плотности.

113

Задание №5. Исследование огибающей и фазы узкополосного нормального случайного процесса.

В соответствии с предыдущим заданием формируется узкополосный

НСП. Затем берутся пары отсчетов процесса и , где l – число

отсчетов за период колебания . Считая, что за время,

соответствующее сдвигу на l/4 отсчетов (Т/4) огибающая X(t) и фаза (t) не изменятся, можно записать

, .

Тогда , а .

При моделировании необходимо изучить поведение огибающей и

фазы в зависимости от степени узкополосности процесса, которая

определяется величиной k (числом периодов в импульсной характеристике

формирующего фильтра); исследовать гистограммы и ; построить

годограф вектора с декартовыми координатами и .

Поскольку исследование должно проводиться для установившегося процесса на выходе формирующего фильтра, необходимо, чтобы номер первого из используемых отсчетов был бы больше, чем k, т. е. n > k. Это замечание относится и к формированию отсчетов для построения гистограммы. При построении гистограммы, соответствующей моменту времени t = nt, необходимо для каждого отсчета повторять процедуру формирования реализации процесса на выходе формирующего фильтра.

Задание №6. Исследование суммы узкополосного НСП и гармонического колебания.

Исследуемый процесс представляет собой сумму узкополосного НСП

и гармонического колебания :

.

Если Um, 0 и детерминированные величины, то процесс будет

нестационарным, поскольку его математическое ожидание

является функцией

времени. Отсчеты процесса будут подчиняться нормальному

распределению со средним значением и дисперсией .

114

Если Um и 0 детерминированные величины, а случайная величина,

равномерно распределенная в интервале , то , и,

следовательно, также равно нулю и не зависит от времени.

Так как и независимые случайные процессы с нулевыми

средними значениями, то . По условиям

формирования НСП

а . Поэтому

является функцией разности , а значит, процесс является

стационарным в широком смысле.

Плотность вероятности отсчетов процесса , как ПВ суммы

независимых СВ, находится путем свертки ПВ отсчетов процесса

и ПВ отсчетов процесса

Вид распределения для нескольких значений параметра

приведен на рис. 1.36, взятом из [4].

При построении гистограммы отсчетов процесса следует учитывать рекомендации, приведенные в тексте предыдущего задания. Для каждой реализации НСП должна формироваться отдельная реализация гармонического колебания со случайной начальной фазой.

115

Задание №7. Исследование огибающей и фазы суммы узкополосного НСП и гармонического сигнала.

Данное задание выполняется аналогично заданию №5.Задание №8. Исследование стационарного случайного процесса с

негауссовским распределением отсчетов и заданной корреляционной функцией

Исходным при моделировании данного процесса является нормальный случайный процесс с нулевым средним значением, единичной дисперсией и коэффициентом корреляции, определяемым по заданной корреляционной функции моделируемого процесса.

Первый этап состоит в определении вида функциональной зависимости между отсчетами исходного и моделируемого процессов, обеспечивающей требуемое распределение отсчетов моделируемого процесса. Для решения данной задачи целесообразно использовать метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения, описанный выше. В соответствии с данным методом правило преобразования случайных величин

будет иметь вид , где - имеющийся закон распределения, а

- желаемый.

Пусть, например, необходимо получить значения процесса, равномерно распределенные на промежутке [0,1]. Тогда функциональное преобразование, связывающее имеющуюся нормально распределенную и желаемую равномерно распределенную СВ, имеет вид y = Ф(x), где Ф(x) – интеграл вероятностей.

116

Рис. 1.36

Второй этап моделирования предполагает обеспечение заданного вида корреляционной функции моделируемого процесса. Для получения требуемой корреляционной функции воспользуемся ковариационным рядом [Малахов, стр. 253]:

Для этой цели необходимо найти коэффициенты ряда

Сначала вычислим k-е производные преобразования ,

учитывая, что в данном случае y = Ф(x).

117

и т.д.Приведенные выкладки могут быть продолжены, если возникнет

необходимость рассмотрения большего числа слагаемых ряда.

Поскольку требуемое распределение отсчетов равномерное (y = Φ(x)), то

При k = 1

При k = 2

При k = 3

При k = 4

При k = 5

118

Таким образом, в результате получим:

Для проверки правильности полученного выражения учтем, что при равномерном распределении отсчетов на интервале [0,1] дисперсия процесса

равна . Значение коэффициента корреляции исходного

процесса при = 0 равно . Подставив данное значение в выражение

для , получим, как и следовало ожидать:

.

На основании приведенных выражений можно сделать вывод, что в рассматриваемом примере можно ограничиться первыми тремя ненулевыми слагаемыми в сумме ряда для АКФ моделируемого процесса.

При моделировании процесса y(t) с заданной корреляционной функцией

необходимо определить требуемый для этого коэффициент корреляции

процесса x(t), имеющего нормальное распределение. Данную задачу предлагается решить с помощью итерационной процедуры. Процедуру

предполагается реализовать последовательно, для дискретных значений τi,

меняющихся от 0 до величины, равной времени корреляции с малым шагом

, путем подстановки различных значений rx(τi) из возможного промежутка

[-1, 1], до тех пор, пока не будет достигнута выбранная заранее степень

максимальной близости суммы ряда к . После определения в результате

выполнения данной процедуры массива значений , а соответственно, и

формы коэффициента корреляции , обеспечить необходимые

корреляционные свойства исходному нормальному процессу x(t) можно путем пропускания его через линейный фильтр с определенной импульсной характеристикой.

119

Описанная выше процедура моделирования иллюстрируется рис. 1.37, на котором представлено окно программного модуля, реализующего данную процедуру для получения процесса с равномерным распределением отсчетов и треугольной АКФ.

-5 0 50

0.5

1

1.5

2x 10

4 Гистограмма исходного НСП

0 10 20 30 40-0.5

0

0.5

1Коэф. корреляции гауссовского процесса

Номер точки

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2000

4000

6000Гистограмма нового СП

0 50 100 150 200-0.5

0

0.5

1Коэф. корреляции негауссовского СП

Номер точки

0 0.5 1 1.5 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Заданная и полученная АКФ

Рис. 1.36

При работе программного модуля после введения исходных параметров и нажатия кнопки «МОДЕЛИРОВАНИЕ» осуществляется моделирование исходного НСП, определение необходимых значений его коэффициента

корреляции , вычисленных в соответствии с изложенным выше

алгоритмом, преобразование НСП для получения желаемого распределения и корреляционных свойств. На экран выводятся гистограммы, численных характеристик и графики коэффициента корреляции исходного НСП и получаемого в результате моделирования процесса с равномерным распределением отсчетов и треугольной АКФ. Для визуального оценивания качества моделирования выводятся графики заданной (непрерывной линией) и получаемой АКФ (отдельными маркерами). Для удобства сопоставления при построении графика получаемой АКФ выводится каждая 10-я точка.

120

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

2.1. Общие положения

Система называется линейной, если она описывается линейным оператором L (см. [2], стр. 52), т. е. для нее выполняется принцип

суперпозиции , где – входные

воздействия, – скаляры из поля, над которым задано линейное

пространство (ЛП) Х. Входные воздействия задаются совокупностью векторов линейного

пространства Х, а отклики – реакции системы на входное воздействие – определяются совокупностью векторов в ЛП Y. Линейный оператор в конечномерном пространстве задается матрицей оператора А, элементами которой являются координаты aik преобразованного с помощью оператора

k-го базисного вектора ЛП Х относительно базиса ЛП Y, т. е.

, i = 1, 2, …, п; k = 1, 2, …, т, где т и п – размерности

пространств Х и Y соответственно. С учетом сказанного отклик на

воздействие можно представить как произведение вектор-столбца на

матрицу А размером тп. Компоненты вектора будут равны ,

k = 1, 2, …, т, xi, yk – компоненты векторов и .

Математические ожидания и ковариации компонент вектора

соответственно равны

и .

Для функциональных пространств простейшим линейным оператором является умножение входного процесса x(t) на детерминированную функцию

f(t) (амплитудная модуляция), т. е.100 .

Математическое ожидание и корреляционная функция выходного

процесса будут равны и

. Если входной процесс будет стационарным в

121

широком смысле, т. е. и , то выходной

процесс таковым не будет, так как даже если и , то

не будет зависеть только от разности

.Широко распространен для описания линейных систем

дифференциальный оператор n-го порядка Dn, действие которого на входной

сигнал определяется как , где k(t) –

фиксированные функции. Частные случаи дифференциального оператора были рассмотрены в разделе, посвященном дифференцированию и интегрированию случайных процессов.

Среднее значение процесса равно , а

корреляционная функция , где

– взаимная корреляционная функция k-й и l-й производных

процесса x(t).

Как отмечалось в разделе 1, , поэтому

.

Если x(t) – стационарный в широком смысле случайный процесс, то

, а .

Большую роль в задачах радиотехники играют линейные интегральные

операторы Фредгольма и Вольтерра , где

функция двух переменных называется ядром оператора [2]. Пределы

и могут быть как конечными, так и бесконечными. В радиотехнике чрезвычайно важную роль играет оператор Фурье, который ставит в

122

соответствие абсолютно интегрируемой функции ее преобразование

Фурье , называемое Фурье – спектром функции , т. е.

.

Видно, что оператор Фурье является оператором Фредгольма, для которого пределы и определяются промежутком, на котором задана

функция .

Рассмотрим преобразование Фурье реализации стационарного

случайного процесса на интервале , т. е. поставим в соответствие

случайной функции, определенной на интервале , случайную

функцию . Эта функция определена на бесконечном

промежутке .

Рассмотрим ее статистические характеристики. Среднее значение

, т. е. является преобразованием Фурье

математического ожидания процесса , рассматриваемого на промежутке

.

Для стационарного процесса и

. Модуль среднего значения

.

И, как и следовало ожидать, при мы имеем дельта функцию на нулевой частоте, как преобразование Фурье константы (среднего значения

процесса )

123

Найдем корреляционную функцию комплексной случайной функции

, считая для краткости записи

.

Переходя к новым переменным , после несложных

преобразований (попробуйте сами), будем иметь

где . Так как является

комплексной функцией, то ее корреляционная функция

оказалась также комплексной функцией. Несмотря на то, что

зависит от разности , случайная функция не является

стационарной, так как ее среднее значение

зависит от аргумента (частоты).

Анализ функции показывает, что с ростом интервал

корреляции уменьшается, т. е. функция с ростом как функция

флюктуирует все быстрее. Аналогичными свойствами обладает случайная

функция , называемая выборочной спектральной плотностью,

используемая для оценки спектральной плотности стационарного случайного процесса (см. раздел 1 данного учебного пособия).

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, при описании узкополосных процессов с помощью огибающей и фазы используется оператор Гильберта,

преобразующий процесс по правилу

124

Это оператор Фредгольма с ядром разностного типа

Найдем статистические характеристики процесса считая

стационарным процессом.

Математическое ожидание , если

понимать входящий в это выражение интеграл в смысле главного значения

.

Корреляционную функцию процесса можно легко найти, если

учесть, что оператор Гильберта может быть реализован с помощью

линейного фильтра с импульсной характеристикой . Это

физически не реализуемый фильтр, так как его импульсная характеристика отлична от нуля при отрицательных значениях .

Импульсной характеристике соответствует коэффициент

передачи

Очевидно, что и спектральная плотность процесса ,

равная , совпадает с спектральной плотностью , а

следовательно, . Понятно, что если – стационарный

процесс, то таким же будет и процесс .

Примером оператора Вольтерра может служить преобразование сигнала

линейной цепью, заданной своей импульсной характеристикой –

реакцией системы на воздействие в виде дельта-функции, поданной на вход системы в момент . Если система физически реализуема (отклик следует

только после подачи воздействия и, следовательно, ), то

, где – момент подачи воздействия на вход

системы.

125

Если система является стационарной (ее параметры не зависят от времени и ее называют системой с постоянными параметрами), то

импульсная характеристика зависит лишь от разности , т. е.

.

Если рассматривается установившийся режим, то и

.

Для физически нереализуемой системы отклик в установившемся

режиме определяется оператором Фредгольма и

представляет собой свертку входного воздействия и импульсной

характеристики, т. е. , где – где символ свертки. Как

находятся статистическ – цепь, считая что воздействие начинается с

момента времени .

Для описания линейной системы в частотой области используется

комплексный коэффициент передачи , определяемый как

преобразование Фурье импульсной характеристики

.

Для стационарной системы и

. При воздействии стационарного

случайного процесса на стационарную систему спектральная плотность выходного процесса в установившемся режиме будет равна

, где - спектральная плотность входного

процесса.

126

2.2. Примеры преобразования стационарного случайного процесса линейными системами

2.2.1. Линейные системы с постоянными параметрами

Рассмотрим воздействие «белого» шума на интегрирующую – цепь,

считая что воздействие начинается с момента времени .

Импульсная характеристика интегрирующей цепи имеет вид

, где , – будет равен

,

где – входное воздействие, в нашем случае «белый» шум.

Среднее значение процесса

Так как для «белого» шума то . Найдем теперь

корреляционную функцию

Учитывая, что корреляционная функция «белого» шума имеет вид

и используя фильтрующее свойство дельта-

функции, будем иметь

127

Дисперсия процесса на выходе цепи в момент времени равна

значению корреляционной функции при , т. е.

.

Проанализируем полученные результаты. В общем случае выходной процесс стационарным не является, так как его корреляционная функция

зависит не только от , но и от . Однако в установившемся

режиме вторым слагаемым в квадратной скобке

можно пренебречь и условия стационарности в широком смысле будут

выполнены. В этом случае , а

.

Спектральная плотность в этом случае будет равна

. Для двух последовательно включенных

интегрирующих RC цепей спектральная плотность и корреляционная функция на выходе при подаче на вход «белого» шума будут иметь вид

, .

При последовательном и независимом (коэффициент передачи системы равен произведению коэффициентов передачи звеньев) включении N

интегрирующих RC цепей для отыскания импульсной

характеристики можно воспользоваться «вероятностным» подходом.

Импульсную характеристику одного звена , можно рассматривать

как ПВ некоторой СВ, так как она неотрицательна и Тогда

импульсную характеристику системы можно рассматривать как ПВ суммы N

независимых одинаково распределенных СВ с ПВ , . В

соответствии с центральной предельной теоремой ПВ суммы будет близка к

128

гауссовской и нам остается найти параметры этого распределения. Среднее значение и дисперсия слагаемых равны соответственно

и

поэтому импульсная характеристика последовательного соединения

интегрирующих цепочек будет приближенно равна

, а модуль коэффициента передачи . Теперь нетрудно найти

корреляционную функцию и спектральную плотность выходного процесса при подаче на вход «белого» шума.

Для фильтра, схема которая приведена на рис. 2.1 (последовательный колебательный контур), коэффициент передачи имеет вид [6]

где – резонансная частота

контура, а , декремент затухания – величина обратная

добротности контура .

Рис.2.1

При подаче на вход «белого» шума спектральная плотность и

корреляционная функция выходного процесса при (высокодобротный

контур) будут равны ,

129

R L

С

, где , параметр определяющий

эффективную полосу пропускания , . Линейные

фильтры можно использовать для моделирования нормальных случайных процессов с требуемыми корреляционными функциями путем подачи на вход «белого» шума и подбора импульсной характеристики или коэффициента передачи фильтра. Процесс на выходе будет гауссовским. Подумайте почему?

2.2.2. Линейные системы с переменными параметрами

В качестве примера рассмотрим прохождение стационарного СП

через линию задержки, у которой время задержки является функцией

времени . Это линейная система с переменными параметрами

(параметрическая система). Процесс на выходе и процесс на входе

связанны очевидным соотношением . Импульсная

характеристика такой системы имеет вид , где –

дельта-функция, а комплексный коэффициент передачи

.

Среднее значение процесса равно ,

так как – стационарный процесс и его среднее от времени не зависит.

Опираясь на приведенное выше выражение для корреляционной функции процесса на выходе линейной системы, с учетом фильтрующего свойства дельта-функции можно получить выражение для корреляционной

функции на выходе линии задержки .

Если задержка не меняется во время, то ,

. При линейном законе изменения задержки во времени

, .

130

Как видно, процесс на выходе будет стационарным, его спектральная

плотность , будет равна

.

Такая ситуация будет иметь место, если есть результат приема

процесса , приемником, который движется по отношению передатчику

со скоростью ( проекция вектора скорости движения приемника на

прямую, соединяющую приемник и передатчик, называют радиальной

скоростью). В этом случае , где – скорость распространения

процесса в среде. Знак определяется направлением движения – минус в

случае сближения и плюс при удалении. Если мало, а процесс –

узкополосный с центральной частотой , то можно считать, что

, т. е. происходит смещение СП процесса на

величину , называемую доплеровским смещением.

В качестве второго примера рассмотрим преобразование случайного процесса коррелятором, структурная схема которого приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2.В состав коррелятора входит перемножитель, на один вход которого

подается обрабатываемый процесс , а на второй – фиксированное

опорное колебание . Выходной сигнал перемножителя интегрируется в

пределах , и мы получаем выходную случайную величину . Будем

считать, что процесс является стационарным и узкополосным и, как это

отмечалось в разделе 1, его можно представить с помощью квадратурных

составляющих и ,

131

x t

0s t

X

где , – огибающая процесса

, а – его фаза. Будем считать, что спектральная плотность процесса

симметрична относительно центральной частоты . Как было

показано в разделе 1 в этом случае

, где и – корреляционные функции

квадратурных составляющих и , а – огибающая

корреляционной функции процесса и , где

и – взаимные корреляционные функции квадратурных компонент.

Опорное колебания будем также считать узкополосным и

имеющим вид , где – огибающая опорного

колебания, – его начальная фаза. С учетом введенных обозначений

величина будет равна

Так как и является узкополосными процессами, вторым

интегралом по сравнению с первым можно пренебречь. Как вы думаете почему? Таким образом

.

Среднее значение так как а

дисперсия . Убедитесь в этом

сами. Если опорное колебание имеет вид , то

и после перехода к новым переменным

132

, и интегрирования по (мы это уже делали в разделе 1),

будем иметь . Если время корреляции

огибающей много меньше времени интегрирования , то

, где и –

коэффициент корреляции огибающей процесса .

Рассмотрим случай когда на вход коррелятора подается сумма

узкополосного шума и гармонического сигнала

Так как коррелятор является линейной системой, то

в данном случае будет являться суммой результатов преобразования

шума и сигнала . Статистические характеристики шума мы уже

нашли.Найдем теперь сигнальную составляющую на выходе.

Результат обработки сигнала с помощью коррелятора можно характеризовать отношением

.

Как видно из полученного выражения, отношение на выходе

коррелятора зависит от входного отношения , соотношения

между временем интегрирования и временем корреляции входной помехи

133

и от косинуса разности фаз сигнала и опорного колебания. Опорное

колебание , обычно формируется с помощью системы

ФАПЧ, отслеживающей частоту и фазу сигнала . Из-за наличия шума

возникает ошибка, т. е. является случайной величиной, что влечет за

собой случайных характер отношения .

Оценим среднее значение отношения считая, что является

гауссовской случайной величиной со средним значением и дисперсией

. Тогда

При выводе этого выражения считалось, что флюктуации фазы малы,

т. е. , что позволяет перейти к интегрированию по всей оси (от

до ). Обдумайте этот момент.

2.3. Преобразование стационарных случайных процессов, линейными системами со случайными параметрами.

С системами такого рода приходится сталкиваться при задании математических моделей большинства каналов, в которых происходит распространение радиосигналов, акустических и гиброакустических сигналов, оптических сигналов. Как уже отмечалось линейная система может

быть задана импульсной характеристикой или комплексном

коэффициентом передачи , но теперь и будут

случайными функциями и соответственно. Как и прежде, они связанны преобразованием Фурье

134

Введем в рассмотрение статические характеристики случайной функции

– математическое ожидание и корреляционную функцию

. Будем

считать, что является стационарным центрированным процессом,

т. е.

и .

Процесс на выходе системы . Считая случайные

процессы и независимыми (канал и сигнал), можно записать

выражение для корреляционной функции процесса в виде

После несложных преобразований (см. [11] стр. 206) получим

окончательно , где – спектральная

плотность входного процесса . Если входным процессом является

«белый» шум, то . При подаче на вход системы

случайного процесса , где и ,

детерминированные амплитуда и частота, а – случайная начальная фаза

равномерно распределена на интервале , корреляционная функция

выходного процесса будет иметь вид .

В разделе 2.2.2. мы изучили прохождение стационарного процесса через линию задержки, с задержкой меняющейся во времени по заданному закону. Посмотрим, что будет в случае случайного изменения задержки во времени.

135

Коэффициент передачи такой системы , где –

стационарный случайный процесс, определяющий изменение задержки во

времени. Если – дифференцируемый гауссовский центрированный

процесс с дисперсией и коэффициентом корреляции , то, как это

показано в [11] стр. 208-209,

.

Как и следовало ожидать, дисперсия выходного процесса

равна дисперсии входного процесса.

Подумайте с чем это связанно. Если входным процессом является «белый»

шум, т. е. то

.

Как видно из приведенного выражения, дисперсия выходного процесса, как и входного «белого» шума, бесконечна, но сам выходной процесс имеет корреляционную функцию отличную от корреляционной функции входного

процесса . Заметим, что требование дифференцируемости процесса

необходимо для раскрытия неопределенности в показателе экспоненты

при .

2.4. Распределение вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы.

Точно и просто задача отыскания ПВ на выходе линейной системы решается в случае, когда на входе системы действует нормальный случайный процесс. При этом, как уже не раз отмечалось, процесс на выходе будет также гауссовским, и для его полного описания надо найти математическое ожидание и корреляционную функцию. Как это делается, мы обсуждали в предыдущих подразделах.

136

При произвольном распределении отсчетов входного случайного

процесса для определения ПВ выходного процесса можно

воспользоваться приближенным методом, основанном на разложении ПВ в ряд по ортогональным полиномам [2]. При использовании полиномов Эрмита мы приходим представлению ПВ на выходе линейной системы в форме ряда Эджворда

,

где и – среднее значение и дисперсия выходного процесса

, k=1,2,…, а и – выражаются через

центральные моменты распределения выходного процесса и являются

хорошо знакомыми нам коэффициентами асимметрии и эксцесса

. Учитывая связь между центральными и

начальными моментами

, и ,

видно, что для определения и необходимо знать корреляционные

моменты третьего и четвертого порядка входного процесса, так как

и

137

.

Заметим, что и были определенны выше

, . К сожалению, при негауссовском

входном процессе указанные выше корреляционные моменты могут быть найдены, если известна совместная ПВ трех и четырех отсчетов.

При экспериментальном определении (моделировании) в предположении, что выходной процесс является эргодическим для оценки

моментов могут быть использованы соответствующие средние по

времени . При работе с отчетами ,

Эти оценки являются несмещенными, а для отыскания их дисперсии

необходимо знание момента На практике можно

осуществлять оценивание при возрастающем объеме выборки ,

останавливаясь тогда, когда оценки найденные для последнего и предыдущего объемов выборки отличаются меньше чем на 5%. Для частных случаев входных воздействий распределения на выходе может быть найдено аналитически.

Рассмотрим, следуя [11] (стр.202) случай, когда на вход интегрирующей RC-цепи подается случайный телеграфный сигнал подробно рассмотренный

в разделе 1. Считая , можно показать [11], что корреляционный

момент входного процесса вида

равен , где – среднее

число перемен знака в единицу времени. Учитывая, что импульсная

138

характеристика интегрирующей цепи , , , , с

использованием метода математической индукции можно найти центральные

моменты выходного процесса , так как

моменты нечетного порядка равны нулю. Это выражение может быть записано с использованием определения бета-функции (см.[2]стр.100) в виде

. Для бета-распределения (см [4] стр.43)

начальные моменты k-го порядка равны

Сравнение выражений для и показывает, что искомая ПВ есть

распределение случайной величины , где СВ подчиняется бета –

распределению с параметрами и . Решая задачу

функционального преобразования СВ , получим ПВ отсчетов на выходе

Физически понятно, почему при

подаче на вход интегрирующей RC-цепочки телеграфного сигнала, принимающего значение , выходной сигнал не может по модулю быть больше единицы.

Единственным параметром от которого зависит это распределение

является отношение Если ограничиться первыми двумя членами

ряда Эджворда, то , где

. При (полоса пропускания цепи много меньше

ширины спектра входного телеграфного сигнала) распределение

стремиться к нормальному, т. е. проявляется эффект нормализации

выходного процесса. При получается интересный результат:

139

что является хорошо знакомым законом арксинуса,

описывающим ПВ отсчетов синусоиды единичной амплитуды со случайной

равномерно распределенный в интервале фазой. При

распределение будет равномерным.

2.5. Компьютерный практикум по разделу преобразования случайных процессов линейными системами.

Задание №1. Преобразование нормального случайного процесса линейной системой с постоянными параметрами.

Часть 1. Входное воздействие – нормальный белый шум.Нормальный белый шум моделируется как последовательность

независимых нормальных СВ со средним значением и дисперсией .

Напомним, что моделировать настоящий белый шум невозможно, так как дисперсия его отчетов бесконечно велика.

Исследуемые линейные системы имеют импульсные характеристики

и .

При моделировании отсчеты импульсных характеристик равны

соответственно , , , где

определяется условием . ., – интервал дискретизации

импульсных характеристик, как это показано на рис 2.3.

140

1

t

0

1h t

1

0

2h t

t

t

t

t

Рис 2.3.

В работе исследуется случайный процесс на выходе названных

выше линейных систем, для различных моментов времени.

Для непрерывного времени где – входной

процесс; в нашем случае нормальный белый шум.

При моделировании отсчеты выходного процесса , где

– независимые нормальные СВ имеющие среднее значение и дисперсию

.

Процедура моделирования состоит из следующих операций:Фиксируется значение k ( момент времени);Формируется последовательность из k независимых нормальных

величин ;

Определяется значение . Процедура повторяется N

раз . Для полученной выборки , где k – фиксировано, а

, вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии

и для зафиксированного значения . Напомним, что

и .

Далее строится зависимость и от , т. е. исследуется

переходный процесс реакции линейной системы на шумовое воздействие.

Для нескольких значений строятся гистограммы для выборки ,

, и проверяется гипотеза о нормальности распределений

соответствующих построенным гистограммам. Напомним, что реализация линейной системы на нормальный случайный процесс также является нормальным случайным процессом.

141

Для корреляционной функции процесса на выходе, физически реализуемой линейной системы с постоянными параметрами при передачи на

вход в момент времени стационарного процесса справедливо

выражение , (убедитесь в

этом).Если выходное воздействие является белым шумом, для которого

, то .

Данный результат вытекает из того факта, что отличен от нуля

только на прямой , см рис.2.4.

Рис.2.4.

Механизм формирования иллюстрирует рис. 2.5.

Рис. 2.5.

142

u

v2t

1t

x

x

2t

1h t x

2h t x1 иt 1t

Рис. 2.6.

Очевидно, что если и , то будет зависит только от

(подумайте этот момент) и процесс на выходе можно считать

стационарным в широком смысле. При этом, как нетрудно догадаться,

корреляционная функция процесса будет равна

.

Для проверки этого результата необходимо сформировать временной

ряд где Как это следует из

предыдущих рассуждений, для данного временного ряда условие стационарности в широком смысле будут выполнены. С помощью

сформированной выборки получить оценки корреляционной функции

и спектральной плотности .

143

Аналогичные исследования выполнить и для фильтра с импульсной

характеристикой .

Часть 2. Входное воздействие – коррелированный случайный процесс.

Исследуется установившийся режим. Коррелированный нормальный случайный процесс создается с помощью формирующего фильтра,

имеющего импульсную характеристику .

Импульсная характеристика исследуемого фильтра имеет вид

. Коэффициенты передачи формирующего и исследуемого

фильтров равны соответственно и . При

подаче на вход формирующего фильтра белого шума со спектральной

плотностью , спектральная плотность процесса на выходе исследуемого

фильтра будет равна

,

а корреляционная функция

.

Дисперсия процесса

.

Если (формирующий и исследуемый фильтры имеют

одинаковые импульсные характеристики), то раскрывая возникшую

144

неопределенность по правилу Лопиталя, будем иметь

и .

С помощью моделирования проверить полученные выражения для

и , при .Для формирования стационарного

временного ряда , , необходимо чтобы выполнялось

условие , где определяет в числе отсчетов протяженность

импульсной характеристики.

Рис. 2.7.

Задание №2. Преобразование нормального случайного процесса и сигнала линейной системой с переменными параметрами.

В качестве линейной системы с переменными параметрами будем рассматривать коррелятор.

Работа коррелятора определяется линейным функционалом вида

, где – входной случайный процесс (шум или сумма

сигнала и шума), – опорное колебание, которое считается заданной

функцией времени. Аналитические выражения описывающие работу коррелятора были

рассмотрены в подразделе 2.2.При цифровом моделировании выходная величина коррелятора

, где , – интервал дискретизации, ,

– отчеты входного процесса и опорного сигнала

соответственно.

145

Содержание данной работы состоит в изучении распределение случайной величины , определении отношения сигнал/шум на выходе коррелятора.

Отсчеты входного процесса формируются как сумма независимых

нормальных случайных величин с нулевым средним значением и

дисперсией (модель дискретного белого шума) и отсчетов полезного

сигнала в общем случае не совпадающими с отсчетами опорного

колебания . Как результат линейного преобразования нормального

случайного процесса будет нормальный случайной величиной.

Ее среднее значение , а дисперсия

. Догадайтесь почему. При отсутствии сигнала

, а дисперсия не зависит от того, есть сигнал или его нет.

Подумайте почему. Отношение сигнал/шум (с/ш) на выходе коррелятора определим как отношение приращения среднего значения при появлении сигнала к среднеквадратическому значению величины , которое, как уже отмечалось, не зависит от наличия или отсутствия сигнала, т. е.

. Рассматривая как скалярное произведение

векторов сигнала и опорного колебания с помощью

неравенства Коши – Буняновского – Шварца будем иметь

.

Это максимально возможное отношение С/Ш достигается, если ,

где – скаляр, т. е. в случае совпадения полезного сигнала и опорного

колебания по форме.

146

Рис. 2.8.

При моделировании для простоты считать сигнал и опорное

колебание прямоугольными видеоимпульсами длительностью и

соответственно.Процедура моделирования состоит:

в задании длительностей сигнала и опорного колебания в числе

отсчетов и ;

в выборе ;

в формировании последовательности независимых нормальных

СВ со средним значением и дисперсией ;

в вычислении значений СВ для серии из

испытаний ;

в построении гистограммы, соответствующей выборке

;

В проверке привязке гипотезы о нормальности распределения, соответствующего полученной выборке;

147

В оценке математического ожидания и дисперсии величины по

формулам ;

По результатам моделирования вычисляется оценка отношения

и сравнивается с теоретическим значение

, а также с максимально возможным .

3. Нелинейные преобразования случайных процессов

3.1. Общие положения

Нелинейной будем называть систему, для которой не выполняется

принцип суперпозиции, т. е. , где А –

оператор, описывающий систему, , – входные воздействия, и –

скаляры. Например, если оператор А реализует операцию возведения в

квадрат входного воздействия, то , , и

.

Следствием невыполнения принципа суперпозиции являются принципиально иные по сравнению с линейными системами механизмы преобразования спектральных плотностей и корреляционных функций в нелинейных системах. Если для линейных систем для определения спектральной плотности или корреляционной функции нам не требовалась информация о распределении отсчетов входного процесса, то для нелинейных систем, как будет показано ниже, требуется знание двумерной ПВ входного процесса. Это делает особо интересным случай, когда входной процесс является гауссовским, так как для гауссовского процесса ПВ любого порядка может быть определена, если известно его среднее значение и корреляционная функция.

148

В нелинейных системах нарушается устойчивость гауссовского распределения, имеющая место при линейных преобразованиях (при гауссовском воздействии отклик линейной системы будет также гауссовским). При подаче на вход нелинейной системы гауссовского процесса выходной процесс уже не будет гауссовским. Нарушение принципа суперпозиции существенно усложняет вопрос об оценке качественных показателей сигнала и помехи на выходе. Для линейных систем естественным является определение отношения сигнал/помеха на выходе как отношение значения сигнала на выходе в заданный момент времени к действующему значению помехи на выходе (при стационарной входной помехе, линейной системе с постоянными параметрами и установившемся режиме по помехе процесс на выходе будет стационарным, и среднеквадратическое значение от времени зависеть не будет). Если линейная система задается как функционал (линейный), то отношение сигнал/помеха на выходе определяется как отношение результата преобразования сигнала к среднеквадратическому значению шумовой составляющей.

С этой ситуацией мы столкнулись в разделе 2.2.2, рассматривая преобразование сигнала и помехи коррелятором, который является линейной системой с переменными параметрами и определяется соответствующим линейным функционалом.

Для нелинейных систем, из-за того, что принцип суперпозиции не выполняется, не представляется возможным разделить сигнальные и шумовые составляющие на выходе. По этой причине понятие отношения сигнал/помеха на выходе нелинейной системы требует специального обоснования, зависящего от того, какие операции будут осуществляться с выходным сигналом.

С точки зрения связи выходных отсчетов со входными нелинейные системы делятся на безынерционные нелинейные системы (БНС) и инерционные нелинейные системы (ИНС). Для БНС значение процесса на

выходе в момент времени t зависит от значения процесса на входе

в этот же момент времени и от характеристики нелинейного элемента :

.

Для ИНС значение процесса на выходе определяется поведением

входного процесса на множестве значений моментов времени,

149

предшествующих моменту t. Инерционные нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Так ИНС

первого порядка задается уравнением вида .

Вид функций f() и g() определяется характером ИНС. Например, амплитудный детектор, схема которого приведена на рис. 3.1, описывается

дифференциальным уравнением вида , где

F() – вольт-амперная характеристика диода.

Как и для линейных систем, отклик ИНС может зависеть не от одного, а от нескольких входных процессов. Так, случайный процесс на выходе системы перемножитель-фильтр определяется как

, где и – два входных процесса

(в общем случае зависимые), – импульсная характеристика фильтра.

При мы получим коррелятор, для которого

.

Для фиксированного момента времени

.

150

(t)(t)

i(t)

u(t)

Рис. 3.1

К подобному выражению мы приходим в случае, если опорный сигнал коррелятора, рассмотренного в предыдущем разделе, формируется путем

обработки исходного сигнала, т. е. , где А() – оператор,

с помощью которого формируется опорный сигнал. На практике часто удается разделить нелинейную и инерционную

части рассматриваемой системы, т. е. представить ее в виде последовательно и независимо включенных безынерционного нелинейного звена и линейного инерционного звена (фильтра). В этой связи часто рассматривают так называемое типовое звено радиотехнических устройств [13], структурная схема которого приведена на рис. 3.2.

В этой схеме в роли ЛС1 выступает линейный тракт приемника (УВЧ – преобразователь частоты – УПЧ), НБС представляет собой детектор огибающей узкополосного процесса на выходе УПЧ, а ЛС2 осуществляет последетекторную линейную фильтрацию. Читателю предлагается продумать, при каких условиях преобразователь частоты можно отнести к линейным устройствам.

3.2. Преобразование случайных процессов в нелинейных безынерционных системах

Если для линейных инерционных систем, рассмотренных в предыдущем разделе, задача отыскания распределения отсчетов на выходе не имеет точного решения при произвольном распределении отсчетов входного процесса, то для НБС она может быть решена достаточно просто. Это задача об отыскании распределения функционально преобразованных случайных величин. Пусть связь между отсчетами входного и выходного процессов задается функцией f(x) и задана плотность вероятности входного процесса

. Тогда для отсчетов выходного процесса

в соответствующие моменты времени будем иметь , где

151

Линейная система 1

(ЛС1)

НБС Линейная система 2

(ЛС2)

Рис. 3.2

, . Будем считать, что обратная функция

однозначна. Тогда

,

где якобиан определяется выражением

.

Окончательно получим

.

Числовые характеристики выходного процесса также находятся достаточно просто. Приведем выражения для среднего значения и корреляционной функции процесса на выходе БНС.

Среднее значение: .

Корреляционная функция:

.

Если процесс на входе стационарен, то , а

.

Таким образом, нелинейное безынерционное преобразование сохраняет стационарность входного процесса. Методы определения корреляционной функции на выходе БНС классифицируются по способам вычисления

двойного интеграла, определяющего .

152

3.2.1. Прямой метод вычисления корреляционной функции

Сущность прямого метода вычисления корреляционной функции

состоит в разложении двумерной плотности в ряд по

ортогональным многочленам, что позволяет разделить переменные и в

двойном интеграле, определяющем . Как известно [2], тип

ортогональных многочленов определяется интервалом ортогональности и весовой функцией. Интервал связан с областью значений отсчетов процесса

и может быть конечным , полубесконечным или

бесконечным . В первых двух случаях с помощью операций сдвига и

масштабирования интервалы и могут быть сведены к

интервалам и соответственно.

При таком подходе в качестве ортогональных многочленов для

интервала могут быть использованы полиномы Якоби или их

частные случаи, полиномы Лежандра , полиномы Чебышева и

. Для интервала это будут обобщенные полиномы Лагерра ,

а для бесконечного интервала – полиномы Эрмита . В

дальнейшем мы, как правило, будем считать, что входной процесс является стационарным гауссовским процессом.

После центрирования и нормировки отсчетов процесса , т. е.

перехода к процессу , для двумерной плотности

вероятности отсчетов получим:

,

где – коэффициент корреляции отсчетов. В этом случае разложение

будет выполнено по полиномам Эрмита и примет вид

,

где – полиномы Эрмита.

153

Найдем, пользуясь изложенным подходом, корреляционную функцию на выходе БНС с характеристикой f(x) при подаче на вход центрированного стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией

, где – дисперсия входного процесса, а –

коэффициент корреляции.

Среднее значение выходного процесса

, а двойной интеграл

в соответствии с прямым методом и

с учетом стационарности процесса и равенства нулю его среднего

значения может быть записан как

,

где можно рассматривать как

коэффициент при разложении характеристики БНС в обобщенный ряд Фурье

по функциям Эрмита .

Спектральная плотность процесса на выходе БНС в соответствии с теоремой Винера-Хинчина будет равна

.

154

В качестве примера найдем корреляционную функцию процесса на выходе идеального ограничителя, характеристика которого имеет вид

Среднее значение выходного процесса равно

,

а коэффициенты Сn определяются выражением

.

Вычисляя коэффициенты Сn с учетом представления в форме

, п = 0, 1, 2, …, получим окончательно

.

Если , то .

Поскольку , а , то

.

Выражение, стоящее в квадратных больших скобках, является рядом

Маклорена функции , поэтому окончательно

.

При = 0 , что и следовало ожидать, поскольку

,

а и .

155

На рис. 3.3 приведены графики коэффициентов корреляции входного

и выходного процессов соответственно.

Коэффициент корреляции входного процесса выражается треугольной

функцией , а .

Как видно из рис. 3.3, ограничение приводит к сужению корреляционной функции и соответствующему расширению спектральной плотности.

Подумайте, какой будет корреляционная функция на выходе идеального ограничителя с характеристикой

В качестве второго примера нелинейного безынерционного

преобразования рассмотрим амплитудный квантователь, который вместе с устройством временной дискретизации осуществляет преобразование аналогового сигнала в цифровую форму в аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). Характеристика амплитудного квантователя приведена на рис. 3.4.

Число уровней квантования М обычно является степенью двойки:

, где k определяет разрядность АЦП.

Аналитически характеристику амплитудного квантователя можно

записать в форме , где 1(х) – функция

единичного скачка.

156

0 Т-Т

1 r

r

Рис. 3.3

1 2

М1

мин = 1

2

макс = М

Рис. 3.4

Амплитудное квантование сигнала сводится к замене отсчета сигнала

ближайшим дискретным значением k. При этом возникает ошибка,

называемая шумом квантования. Разность между соседними дискретными

значениями называют шагом квантования. Если не

зависит от k, т. е. шаг квантования постоянный, то квантование называют равномерным. Именно такой случай мы и будем рассматривать далее. Если шаг квантования много меньше, чем СКО квантуемого процесса , то, как

нетрудно догадаться, ошибка квантования, равная или в

зависимости от того, какая из разностей меньше по модулю, будет

распределена равномерно в интервале .

Таким образом, среднее значение шума квантования равно нулю, а

дисперсия . Остается найти корреляционную функцию шума квантования.

В соответствии со сказанным характеристика нелинейного элемента,

преобразующего входной процесс в шум квантования имеет

пилообразный вид: , , т = 0, 1, 2, ….

Ее график представлен на рис. 3.5.

Как видно, f(x) является периодической функцией, удовлетворяющей условиям Дирихле (вспомните, в чем они заключаются), и ее можно представить с помощью ряда Фурье, т. е.

.

Поскольку среднее значение шума квантования равно нулю, то его корреляционная функция будет иметь вид

157

f(x)/

x/

1

1 2 3 1

1

2 3

Рис. 3.5

.

Если подлежащий квантованию процесс является стационарным

центрированным гауссовским процессом с дисперсией и коэффициентом

корреляции , то шум квантования будет также стационарным и

центрированным и при условии , что в реальной аппаратуре

практически всегда выполняется, корреляционная функция шума квантования примет сравнительно простой вид:

,

где параметр, называемый «глубиной квантования» [10].

При , , и, как и следовало ожидать,

.

Рассмотрим, как и в предыдущем примере, случай, когда процесс

имеет треугольную корреляционную функцию, т. е.

Тогда .

Хотя коэффициент корреляции отличен от нуля лишь при ,

выражение для можно определить на всей оси , так как сумма

при и исчезающее мала.

158

Корреляционная функция шума квантования в нашем примере представляет собой сумму экспоненциальных слагаемых вида

, где , каждому из которых соответствует

спектральная плотность вида .

Анализ полученных результатов показывает, что с уменьшением глубины квантования (увеличением разрядности АЦП) время корреляции шума квантования уменьшается, он становится все более широкополосным.

Его дисперсия по сравнению с дисперсией исходного процесса

уменьшается.

Корреляционная функция квантованного процесса может быть

найдена прямым методом и имеет вид

,

где k-я производная интеграла

вероятностей, коэффициент корреляции квантуемого процесса.

Корреляционной функции соответствует спектральная плотность

вида

.

На рис. 3.6 приведены заимствованные из [10] графики нормированных спектральных плотностей квантованных процессов для двух видов

корреляционных функций: и .

159

Заканчивая рассмотрение процедуры квантования случайного процесса

, найдем взаимную корреляционную функцию квантуемого сигнала,

который будем считать центрированным, и шума квантования, т. е. вычислим

двойной интеграл вида .

Если стационарный гауссовский процесс с дисперсией и

коэффициентом корреляции , то выражение для примет вид

.

Величину входящего в это выражение знакопеременного ряда можно

легко оценить с помощью первого члена . Если считать, что

используется 10-разрядный АЦП (М = 210), а динамический диапазон сигнала

соответствует правилу «трех сигма», т. е. , то из этого равенства

следует, что и . Таким

образом, шум квантования и квантуемый процесс практически некоррелируемы.

160

Рис. 3.6

0

S d

S

eR D

2

1.51

00,1

d

2

eR D

2 1.5

1

00,1

0

S

S

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1

0,8

0,6

0,4

0,2

01 2 3 4 5 6

7

1 2 3 4 5 6

7а) б)

3.2.2. Метод производных

Метод производных основан на использовании так называемых кумулянтных уравнений, к которым можно придти с помощью следующих рассуждений.

По определению [4I] кумулянты определяются коэффициентами разложения в ряд Маклорена логарифма характеристической функции

. Соответственно, Так как

, то дифференцируя обе части этого равенства по , будем

иметь . Умножая обе части полученного равенства на

, и интегрируя по v, получим

т. е.

Если случайная величина подвергается преобразованию с характеристикой f(x), то среднее значение преобразованной величины

в соответствии с полученным выражением будеть удовлетворять

следующему соотношению: .

После интегрирования по частям получим окончательно

.

Аналогичное выражение можно получить и для двумерного случая

, где – кумулянт,

определяемый разложением логарифма двумерной характеристической

функции в степенной ряд , а

. Очевидно есть ни что

иное, как ковариация случайных величин и .

161

Для стационарного центрированного процесса на основании

приведенных результатов можно записать дифференциальное уравнение,

связывающее корреляционные функции на входе и выходе

нелинейной безынерционной системы

Будем, как и раньше, считать, что – стационарный центрированный

гауссовский процесс и, учитывая, что , получим

Выбор зависит от вида характеристики . Если состоит из

кусков полиномов (используется сплайновая аппроксимация), то выбирается таким образом, чтобы получить совокупность дельта–функций и их производных, после чего вычисление интеграла с учетом фильтрующего свойства дельта–функции и ее производных (см. [2]) становится элементарным. Проиллюстрируем это на примерах.

Решим еще раз задачу о преобразовании стационарного

центрированного гауссовского процесса с дисперсией и коэффициентом

корреляции идеальным ограничителем с характеристикой

. Учитывая вид характеристики, берем и имеем

следующее дифференциальное уравнение для отыскания корреляционной

функции на выходе

Решением этого уравнения с разделяющимися переменными будет

162

где – произвольная постоянная. Используя

условия и при , имеем и окончательно

Часто приходится использовать нелинейную безынерционную операцию вычисления модуля

исходного процесса , т. е. Этой

операции соответствует характеристика

график которой приведен на рис. 3.7. В этом случае

и В этом случае мы будем иметь

дифференциальное уравнение второго порядка

Его общее решение будет иметь вид

В качестве последнего примера рассмотрим часто встречающееся на

практике квадратичное преобразование процесса . В этом случае

и при мы имеем

так как процесс

центрирован.Решая это простейшее дифференциальное уравнение, получим

окончательно

Как выглядят корреляционные функции на выходе БНС с различными характеристиками можно найти в табл. 3.1 на стр. 368 книги [10].

163

f(x)

xРис. 3.7

3.3. Преобразование случайных процессов в нелинейных инерционных системах

Как уже отмечалось в 3.1, в нелинейных инерционных системах (НИС)

процесс на выходе связан со входным процессом нелинейным

дифференциальным уравнением.Примерами типовых НИС могут служить любые автоколебательные

системы, нелинейные усилители и детекторы, различные следящие системы и др. Хорошо известно, что для нелинейных дифференциальных уравнений нет общего метода решения, как это имеет место для линейных дифференциальных уравнений. Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений для коррелированных воздействий определяется в основном двумя следующими факторами:

- интенсивностью входного случайного процесса ;

- соотношением времени корреляции процесса и

характеристикой инерционности НИС.Под интенсивностью входного воздействия понимают соотношение

между динамическим диапазоном процесса (например, для

гауссовского воздействия) и степенью нелинейности характеристики нелинейного элемента в окрестности рабочей точки, понятие которой должно быть уточнено в каждом конкретном случае.

Обычно под характеристикой инерционности понимают постоянную

времени системы , которая определяется также в каждом конкретном

случае. С учетом указанных факторов возникают следующие ситуации и

соответствующие им методы решения.Воздействие малой интенсивности. В этом случае сначала находится решение исходного нелинейного

дифференциального уравнения при отсутствии входного воздействия , а

затем уравнение линеаризуется относительно малых в указанном выше смысле случайных отклонений от невозмущенных значений и пренебрегают нелинейными компонентами, содержащими эти отклонения. В результате для случайных отклонений получается линейное дифференциальное уравнение, описывающее теперь линейную инерционную систему. Методы

164

преобразования случайных процессов линейными системами были рассмотрены в разделе 2.

Классическим примером применения этого метода является анализ работы автогенератора при наличии шума, подробно рассмотренный в [14] стр. 98.

Результат анализа этим методом лампового автогенератора с учетом его собственных шумов показывают, что в установившемся режиме колебание

формируемое генератором имеет вид где и

– амплитудные и фазовые флюктуации колебания являющиеся

независимыми стационарными гауссовскими процессами, – собственная

частота колебательного контура генератора.

Корреляционная функция колебания с учетом независимости и

стационарности и имеет вид

, где – амплитуда колебаний

автогенератора при отсутствии шумов, – дисперсия

амплитудных флюктуаций, – спектральная плотность шума активных и

пассивных элементов автогенератора, – собственная частота

колебательного контура генератора, – величина, характеризующая

затухание в колебательной системе, .

При отсутствии шумовых возмущений ( ), как и следовало

ожидать,

Случайное воздействие большой интенсивности.В этом случае существует набор методов решения данной задачи. Выбор

метода зависит от соотношения времени корреляции входного воздействия

и постоянной времени системы .

Если , то при определенных условиях можно воспользоваться

хорошо разработанным анализом марковских процессов [МА ч. II]. При

выполнении условия воздействие на систему можно считать

165

белым шумом. Будем также предполагать, что – нормальный белый

шум. Рассмотрим нелинейную инерционную систему, описываемую

дифференциальным уравнением вида где

детерминированные функции и удовлетворяют по первому аргументу

условию Липшица , ,

– нормальный белый шум с известными статистическим

характеристиками ,

Приведенное уравнение называется стохастическим дифференциальным уравнением. Ему соответствует уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова

(ФПК), определяющее динамику плотности вероятности процесса

, где

коэффициенты скоса и диффузии равны соответственно

и .

Для решения уравнения ФПК необходимо задание начальных условий в

форме распределения в начальный момент времени , и

граничных условий, связанных с физической сущностью процесса ,

задаваемого стохастическим дифференциальным уравнением. Если случайный процесс может принимать всевозможные значения на интервале

, то граничные условия имеют вид .

Если коэффициенты и не зависят от времени, то при

записанных выше граничных условиях стационарная плотность вероятности

определяется линейным дифференциальным

уравнением первого порядка .

Рассмотрим конкретный пример. Пусть стохастическое

дифференциальное уравнение имеет вид . Это

уравнение описывает интегрирующее звено, охваченное отрицательной

166

обратной связью с кубической нелинейностью, на вход подается нормальный

белый шум .

Легко видеть, что в данном случае , и

, а .

Уравнение для стационарной ПВ имеет вид

. Решением этого уравнения с разделяющимися

переменными будет , где произвольная постоянная может

быть найдена из условия нормировки

, где – гамма–функция.

На рис. 3.8, заимствованного из [Малахов стр. 30(6)9], приведены

графики, иллюстрирующие динамику ПВ от начального

распределения до стационарного .

Дополнительные примеры, иллюстрирующие данный метод, можно найти в монографии [Тих. Мир. Марк. процессы].

Выше был рассмотрен случай , позволяющий заменить реальное

шумовое воздействие нормальным белым шумом.

167

Рис. 3.8

4

4ax

U x Ce

W x

0 0,W x t

1,W x t

2,W x t

0 x

Если наоборот , то можно использовать квазистатическое

приближение, позволяющее заменить нелинейную инерционную систему нелинейной безынерционной. Этот переход основан на пренебрежении производными в исходном дифференциальном уравнении. Например, для НИС первого порядка, описываемой дифференциальным уравнением вида

, где – как и прежде, шумовое

воздействие, пренебрежение производной приводит нас к нелинейному

безынерционному преобразованию .

Разрешить это уравнение относительно будем иметь соотношение

, в котором мгновенные значения выходного процесса в

момент времени определяются значениями случайного процесса в

этот же момент времени и видом функции . Классическим

примеров применения этого метода является амплитудное детектирование узкополосных случайных процессов [Тих. Нелин. пр.].

Наиболее сложным для анализа является промежуточный случай, когда

время корреляции входного воздействия соизмеримо с постоянной

времени системы . В этом случае можно попробовать метод, основанный

на представлении нелинейных инерционных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра. Ниже, следуя основоположнику этого метода в отечественных исследованиях В.И. Тихонову [Тихон нелин.], излагаются основные положения данного подхода к анализу НИС.

Для систем с одним входом и одним выходом связь между выходным

и входным процессами можно определить с помощью оператора

системы , т. е. .

Для линейных систем оператор является линейным и связь между

и можно записать как .

Метод рядов Вольтерра основан на представлении в форме

функционального ряда вида

. Если рассматривать

системы с постоянными параметрами, для которых при

168

любых , то слагаемы ряда будут являться многомерными свертками

входного воздействия и функций , называемых ядрами

Вольтерра, т. е.

.

При использовании рядов Вольтерра необходимо представлять, как ответить на следующие вопросы:

- правомерно ли представление реакции данной НИС на входное воздействие с помощью рядов Вольтерра;

- как найти ядра Вольтерра.Обсуждение этих вопросов можно найти в монографии [Тих. Нелин.

преобр. Сл. Пр.].При анализе нелинейных следящих систем, являющихся НИС, широко

используется метод статистической линеаризации, предложенный отечественным ученым И.Е. Казаковым []. Метод основан на замене нелинейных элементов, входящих в состав системы, статистически эквивалентным линейным элементом, после чего мы имеем дело с линейной инерционной системой, анализ которой значительно проще. Замена нелинейного преобразования линейным не является однозначной и зависит от используемого критерия эквивалентности. Один из критериев требует равенства математического ожидания и дисперсии на выходах линейного и нелинейного элементов. Второй возможный критерий основан на минимизации среднего квадрата разности процессов на выходах линейного и нелинейного элементов.

Пусть – входное воздействие для нелинейного и статистически

эквивалентного ему линейного звеньев, а и – процессы на выходе

линейного и нелинейного звеньев соответственно. Представим входное

воздействие и выходной процесс нелинейного звена в виде суммы

математического ожидания и центрированной составляющей, т. е.

и , где и –

центрированные составляющие процессов и . Выходной процесс

эквивалентного линейного звена представим в виде

169

, где коэффициенты и подлежат

определению в соответствии с используемым критерием эквивалентности. Можно показать, попробуйте сами, что при использовании первого критерия (равенство математических ожиданий и дисперсий на выходах звеньев)

коэффициенты и будут равны соответственно

,

,

где – характеристика нелинейного элемента, – ПВ отсчетов

входного процесса . При использовании второго критерия (минимум

среднего квадрата отклонения выходных процессов звеньев) необходима

минимизация за счет выбора и . Результат решения

этой несложной задачи имеет вид , получается

таким же, как и при использовании первого критерия эквивалентности, а

, являющийся коэффициентом

передачи центрированной составляющей входного процесса оказался

другим. Как видно из приведенных выражений, для расчета и

необходимо знание ПВ отсчетов процесса . Часто с достаточной

степенью обоснованности можно считать нормальным случайным

процессом. В этом случае для типовых нелинейностей могут быть

рассчитаны коэффициенты и .

Заканчивая раздел посвященный преобразованию случайных процессов в нелинейных инерционных системах, отметим, что в ряде случаев имеется возможность представить НИС в виде последовательного и независимого соединения линейных инерционных звеньев и нелинейных, но безынерционных. Методы анализа таких систем базируются на результатах, изложенных в разделах 1 и 2 данной главы. Характерным примером такого

170

подхода является анализ прохождения сигнала и шума через типовое звено радиотехнических устройств, состоящее из последовательного включения линейного звена, нелинейного элемента и линейного звена. Примером такой системы является приемное устройство, состоящее из нелинейной части (УВЧ, смеситель, УПЧ), детектора и фильтра нижних частот. Если

обозначить через и импульсы характеристики линейных

элементов типового звена, а – характеристика нелинейного элемента,

то процесс на выходе будет связан с входным процессом

следующим образом . В данной

записи линейные звенья считаются системами с постоянными параметрами (стационарными).

Если использовать степенную аппроксимацию характеристики

нелинейного элемента , считаем что и,

следовательно, , то после замены переменных процесс на выходе

можно представить в виде

,

где . Полученное представление

выходного процесса является частным случаем ряда Вольтерра.

Более подробно с анализом происхождения сигнала и шума через типовое звено можно познакомиться по монографии Б.Р. Левина [Лев. 1989].

171

Список литературы

1. Компьютерный практикум по дисциплинам «Математический аппарат радиотехники» и «Статистическая теория РТС». Учеб. пособие / Под общ. ред. проф. Ю. Д. Ульяницкого. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. 155 с.

2. Математический аппарат радиотехники. Ч. 1: Учеб. пособие / Под общ. ред. проф. Ю. Д. Ульяницкого. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.

3. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. / Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 240 с.

4. Математический аппарат радиотехники. Ч. 2. Случайные процессы: Учеб. пособие / Под общ. ред. проф. Ю. Д. Ульяницкого. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.

5. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1981.

6. Теоретические основы радиотехники: Учеб. Пособие / М. Т. Иванов, А. Б. Сергиенко, В. Н. Ушаков; Под ред. В. Н. Ушакова. – М.: Высш. шк., 2002. – 306 с.

7. А. Вальд Последовательный анализ. М.: Физматлит, 1960.8. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов.

радио, 1977.9. Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые

радиотехнические задачи. М.: Сов. радио, 1973.10. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. – 2-е изд., перераб. и

доп. М.: Радио и связь, 1982.11. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –

3-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и Связь, 1989.12. Х. Хармут. Теория секвентного анализа. Основы и применение. /

Пер. с англ. Л.М. Сороко. М.: Мир, 1980.13. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –

книга первая. М.: Сов. радио, 1966.14. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов.

М.: Радио и связь, 1986.15. Марпл – мл. с. л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. /

Пер. с англ. Под ред. И. С. Рыжака. М.: Мир, 1990. 584 с.

172

16. Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978, 376 с.

173

Андреева Ольга Марковна, Богачев Михаил Игоревич, Красичков Александр Сергеевич, Маругин Алексей Сергеевич, Пыко Светлана Анатольевна, Соколова Анастасия Алексеевна, Соколов Андрей Андреевич, Ульяницкий Юрий Дмитриевич

Математическое моделирование случайных процессов и их преобразования в радиотехнических

устройствах

Учебное пособие

Редактор Н. В. Лукина–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Подписано в печать 30.12.11. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 9,75.

Гарнитура «Times New Roman». Тираж 125 экз. Заказ .–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 5

174