第三章线性电路的暂态分析

：：本章要求本章基本要求 1 、理解电路的暂态与稳态以及电路时间常数的物理意义； 2 、掌握一阶线性电路的零输入响应、零状态响应和全相应的 分析方法和工程上经常使用的三要素分析计算法。

第 3 章 电路的暂态分析3.1 暂态过程的产生和初始值的确定

3.1.1. 产生暂态过程的条件和换路

无过渡过 程I

电阻电路t = 0

E R+

_

IK

电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。

电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为： 2

0 21 cuidtuW

tC

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。

电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：2

0 21 LidtuiW

tL

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。

有储能元件（ L 、 C ）的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程；

电路中的 u 、 i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时 u 、 i 都处于暂时的不稳定状态，所以过渡过程又称为电路的暂态过程。 直流电路、交流电路都存在过渡过程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。

结论 :

过渡过程是一种自然现象， 对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。

1 . 电路接通、断开电源2 . 电路中电源的升高或降低3 . 电路中元件参数的改变

…………..

换路定律 :

在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能跃变。设： t=0 时换路

3.1.2 换路定律换路 : 电路状态的改变。如：

--- 换路前的终了时刻0

0

-- 换路后的初始时刻

自然界物体所具有的能量不能跃变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以

不能跃变 不能跃变电容 C 存储的电场能量

WC

）（ 2

21 CuWc =

uc

电感 L 储存的磁埸能量 ）（ 2

21

LL LiW

)0()0( LL ii

则：)0()0( CC uu

换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能跃变的原因解释如下：

不能跃变 不能跃变 WL iL 从电路关系分析 K R

E

+

_ C

i

uC

CC

C udt

duRCuiRE

K 闭合后，列回路电压方程：

)(dtduCi 若电压突变，则电容电流为无穷大

所以电容电压不能突变

3.1.3 初始值的确定初始值（起始值）：电路中 u 、 i 在 t=0+ 时 的大小。

求解要点：1.

)0()0(

)0()0(

LL

CC

ii

uu

2. 根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。例 1: 已知 : 图示电路 R=1kΩ ， L=1H ， U=20 V ，开关闭合前，电路已稳定，设 t=0 时开关闭合，求电感电流和电压的初始值。

根据换路定理解 :

A 0)0()0( LL ii

不能突变Li

)0()0( LuRiU 发生了突变Lu

V20020)0( Lu

U t=0

uL

uR

3.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的概念 :

根据电路定律写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件。） 电压方程

CC

C udt

duRCuRiE

K R

E+

_C

如：

)0()0( Lc uu 或一阶电路的零输入响应： 电路在无外加激励，而仅有储能元件的初始状态称为零输入响应。所引起的响应

实质： RC 电路的放电过程

UuC )0(

+

-

S

R

U

2

1 + –Ci

Cu

0t

Ru+ –

c电容电压 uC 的变化规律 (t 0)

0 CR uu

tuCi C

C dd

.

RuR i=

0d

d C

C ut

uRC

3.2.1 RC 电路的零输入响应 零输入响应 : 无电源激励 , 输入信号为零 , 仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。

称一阶电路的微分方程

RCt

Uu tC

e)(

RCt

RU

tuCi C

tC

e

dd

)(

则电容电压 uC 的变化规律为

电路中的电流

电阻 R 上的电压RCt

URiu CtR

e)(

)0( t

)0( t

)0( t

Cu

CiRu

tO

变化曲线变化曲线CiCu

时间常数用时间常数用RC

时间常数 时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢 决定电路暂态过程变化的快慢

Rt = 0

–

+U

2 –

+

–

+

i

L

S1

若在 t = 0 时将开关 S 由 1 合到 2 的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故常称为电路 RL 的零输入响应。

3.2.2 RL 电路的零输入响应

根据 KVL 定律可得0 RL uu

LRL

L RiudtdiLu 代入上式可得

0 LL Ri

dtdiL 一阶常系数线性齐次微分方程

i

随时间变化曲线

O

i

I0

t

0.368I0

时间常数 = L/R

t

Ii

e0

ii

随时间变化曲线

O

i

O

i

I0

t

0.368I0

0.368I0

时间常数 = L/R

t

Ii

e0电感上电流的变化规律为电感上电压的变化规律为

tRL

LL eRI

dtdiLtu

0)(

电阻上电压的变化规律为

tRL

tLR

eRIdt

diLL

utu

0

)()(

3.3 一阶电路的零状态响应1.RC电路的零状态响应储能元件的初 始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。

Ri

uC (0 -) = 0

S

U+_

C+_

0t + _uR根据 KVL 定律可得： Euu cR

dtduCiRiu c

R 而而代入上式可得

)0( tEudt

duRC CC

上式为一阶常系数线性非齐次微分方程，解方程可得

电容上电流变化为：)1()(

t

RCt

tc eEEEeu

)0( t电容上电压变化为：

t

ct e

RE

dtduCi

)(

)0( t

电阻上的电压为：t

tR EeRiu

)()0( t

从图中可以知道，电容器上的电压随指数形式上升，最大值为 E 。

当开关接通的瞬间电容器上的充电电流最大，随着电容器上的电压的升高，其充电电流随指数形式下降，这就是电容器充、放电过程。

2． RL 电路的零状态响应LuRiE

uRRt = 0

–

+ 2+

+

i

L

S1

uRRt = 0

–

+ 2+

+

i

L

S1

dtdiLu L

L

则 EdtdiLRi L 一阶非齐次微分方程

经整理后得 )1()(

tRLt

RL

tL eREe

RE

REi

)0( t

tRL

LtL Ee

dtdiLu

)(

)0( t

)1()(

tRL

tR eEu

)0( t

从图中可以看出电感

上的电压随时间的延

长指数形式而下降，

而电阻的电压却随时

间的延长而上升。这

说明电路中的电动势

最终成为电阻上的电

压。

等到电路稳定以后，电感成了一根导线，此时的电流为最大。

3.4 一阶电路的全响应3.4.1 ． RC 电 路 的 全 响应

uC (0 -) = U 0

S R

U+_ C

+_ u

+ _uR

全响应 :电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应

uC (0 -) = U 0

S R

U+_ C

+_

i

uC

+ _uRt=0设 t=0 时 s 闭合，则换路定律方程为：

Eudt

duRC cc )0( t

t

tc eEUEu

)( 0)()0( t

t

tctR eUEuEu

)( 0)()()0( t

t

Rt e

RUE

Rui

0

)( )0( t

3.4.2． RL 电路的全响应对于 RL 电路的全响应的讨论，与 RC 电路完全相同，请读者自己思考，在此不再赘述。3.5 一阶电路的三要素法

t

effftf )]()0([)()(

稳态 暂态代表一阶电路中任一电压或电流函数。式中 )(tf

RCt

CCCC uuuu

e)]()0([)(

在全响应电路中应用三要素可求得电容电感上的电压为：

tRL

CCLL euuuu

)()0()(

其中三要素为 :

稳态值 ----初始值 ----

时间常数 ----

)0( f)(f

三要素法求解过渡过程要点：1 、分别求初始值、稳态值、时间常数；

2 、将以上结果代入过渡过程通用表达式；

利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。

例题：电路如右图所示，已知电源电压 E=12V ， R1=4 Ω ，R2=8 Ω ， S 闭合前电路已达稳定状态，且 C未被充电，在t=0 时， S 接通试求各支路中的电压、电流初始值。

解：先求独立初始值，因为S 闭合前 C未被充电，所以

uc(0-)=0,再根据换路定律可得uc(0-)=uc(0+)=0

然后再求相关初始值

0)0()0(2 cuu

02

)0(

2

)0(2)0(2

Ru

Ru

i c

VEu 12)0(1

AREi 3

412

1)0(1

Aiic 3)0(1)0(

例题；下图电路已处于稳定状态，已知 E=24V ， R1=4Ω ，R2=6Ω， L=0.4H, t=0 开关闭合，试求：电感上的电压和电流的初始值，

)0()0( LL iu

解：先求 S 闭合前稳定状态下的A

RREiL 4.2

1024

21)0(

再求独立初始值，根据换路定律可得： Aii LL 4.2_)0()0(

Vuu RL 4.1464.2)0(2)0(

说明当 t=0 时闭合即为短路，所以才有下式

例题：电路如下图所示，已知 E=18V ， R1=1Ω， R2=3 Ω， L=0.5H， C=4.7μƒ， S 在 t=0 时闭合，设 S 闭合前电路进入稳定状态，求：

)0();0();0(3);0();0(1 cLL uuiii解：第一步，作 t=(0-) 的等效电路，如图（ b）所示：这时 L 相当于短路， C 相当于开路。

(a) 第二步：根据 t=0- 的等效电路算出换路前的电感上的电流和电容上的电压。A

RREiL 6

2118

21)0(

ViRu Lc 1262)0(2)0(

Aii LL 6_)0()0(

Vuu cC 12)0()0(

第三步：作 t=0+ 时等效电路，这时 L 相当于 6A 电流源， C 相当于 12V 电压源。

ARuE

i c 23

1218

3

)0()0(3

Aiii L 862)0(3)0()0(1

V

iREu LL

66218)0(2)0(

本章结束本章结束 20112011 、、 0808 、、 1212