第六章 万有引力与航天

第四节 万有引力理论的成就

万有引力理论的成就

一一 .. 学习目标学习目标1. 了解应用万有引力定律解决问题的基本思路 .

3. 会根据条件计算天体的密度 .2. 掌握两种算天体（中央）质量的方法

4. 会比较两个行星（或卫星）各个物 理量的大小5. 了解发现未知天体的基本思路

二二 .. 基本思路基本思路

1. 将行星（或卫星）的运动看成 是匀速圆周运动 .2. 万有引力充当向心力 F 引 =F向 . 或在球体表面附近 F 引 =G 重

二二 .. 基本思路基本思路2

22( )

ma

mr

mrT

mg

向

2

MmG

r

中心天体 M

转动天体 m

轨道半经 r

三三 .. 明确各个物理量明确各个物理量

天体半经 R

四四 .. 应用一应用一－天体质量的计算方法一 . 已知天体的球体半径 R 和球体表面重力加速度 g. 求天体的质量

2

2m

Mm gRG g MR G

基本思路

四四 .. 应用一应用一－天体质量的计算

方法二 . 已知行星（或卫星）的周期公转周期 T 、轨道半径 r ，可求出中心天体的质量 M （但不能求出行星或卫星的质量 m ）

四四 .. 应用一应用一－天体质量的计算

22

2 3

2

2m ( )

4

MmG rr T

rM

GT

基本思路

四四 .. 应用二应用二－天体密度的计算基本思路： 根据上面两种方式算出中心天体的质量 M ，结合球体体积计算公式

物体的密度计算公式求出中心天体的密度

mV

34

3v R

四四 .. 应用二应用二－天体密度的计算

34

3v R

2gRM

G

m

V

3

4

g

RG

四四 .. 应用二应用二－天体密度的计算

343

v R

mV

2 3

2

4 rM

GT

3

2 3

3G

rRT

2

3GT

当 r≈R时

四四 .. 应用三应用三－比较卫星的各个量基本思路 . 万有引力充当向心力 F 引 =F 向 .

2

MmG

r 2GMr

vm v

r

2

3GM

rmr

232

( ) 2 rGM

mr TT

2ma a

GM

r 向 向

四四 .. 应用四应用四－发现未知天体基本思路 . 当一个已知行星的实际轨道和理论计算的轨道之间有较大的误差时，说明还有未知的天体给这个行星施加引力 . 理论指导实践

四四 .. 应用四应用四－发现未知天体

例 1. 下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量 G 是已知的）（ ） A. 地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 r B. 月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离 r C. 月球绕地球运行的周期 T 和地球的半径 r

BD

D. 月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r

例 2 、火星有两颗卫星，分别是火卫 I 和火卫 II ，它们的轨道近似为圆，已知火卫 I的周期为 7 小时 39 分，火卫 II 的周期为 30小时 18 分，则两颗卫星相比 （ ） A ．火卫 II 距火星表面较近 B ．火卫 II 的角速度大 C ．火卫 I 的运动速度较大 D ．火卫 I 的向心加速度较大

CD

例 3. 我国航天计划的下一个目标是登上月球，当飞船靠近月球表面的圆形轨道绕行几圈后登陆月球，飞船上备有以下实验器材： A ．计时表一只； B ．弹簧测力计一把； C ．已知质量为 m 的物体一个； D ．天平一只( 附砝码一盒 ) 。已知宇航员在绕行时及着陆后各做了一次测量，依据测量的数据，可求出月球的半径 R 及月球的质量 M( 已知万有引力常量为 G)(1) 两次测量所选用的器材分别为 _ 、 __ 和 __( 用选项符号表示 ) ；(2) 两次测量的物理量是 ________ 和 ________ ；(3) 试用所给物理量的符号分别写出月球半径R 和质量 M 的表达式 R ＝ _ ， M ＝ _ 。

.(1)ABC(2) 飞船绕月球运行的周期 T 、质量为 m 的物体在月球上所受重力的大小 F ；(3) 　　　　　　

m

FTR

2

2

π4

34

43

π16 Gm

TFM

例 4. 某星球的质量约为地球的 9 倍，半球约为地球的一半，若从地球上高 h 处平抛一物体，射程为 60 ｍ，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为？

h

S=60m

v0

g

例 5. 宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，而不致于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为 m1 和 m2 ，二者相距 L 。求 :

（ 1. ）双星的轨道半径之比 （ 2 ）。双星的线速度之比

（ 3 ）双星的角速度

m2m1o

r1r2

解：万有引力提供向心力

1

2

12

21 rmL

mmG

2

2

22

21 rmL

mmG

1

2

2

1

m

m

r

r

1

2

2

1

m

m

v

v

Lrr 21

3

21

L

mmG

例 6 有 A,B 两颗行星绕同一恒星 O 做匀速圆周运动，绕行方向相同， A 星的周期 T1 ， B 星的周期 T2 在某时刻两行星第一次相遇（即两行星相距最近）则

经多长时间两行星第二次相遇？⑵经多长时间两行星第一次相距最远？

O

A B解：⑴ A,B 两颗行星绕同一恒星O 做匀速圆周运动的向心力由恒星O 对它们的万有引力提供，由牛顿第二定律知 A 转动的角速度比 B 大，第二次相遇时 A 比 B 多转一周。设经时间 t

T

2

12

21

TT

TTt

⑴

行星第一次相距最远 A比 B 多转半周设经时间 t1

221 t

121 t 12211 2 TTTTt