МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная школа»школа»

Тема: «Интеграл и его практическое Тема: «Интеграл и его практическое применение»применение»

Сближение теории с практикой дает самые благоприятные

результаты, и не одна только практика от этого выигрывает,

сами науки развиваются под влиянием ее.

Пафнутий Львович Чебышев

Цель работы: 1. Расширить область математических

знаний. 2. Развивать логическое мышление. 3. Вывести общие формулы, позволяющие

решать задачи интегрирования. 4. Показать, что интеграл широко

применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Задачи исследования:

- собрать, изучить и систематизировать материал об интеграле;

- рассмотреть, как интеграл используется при решении различных жизненных ситуаций;

- использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности.

Объект исследования: область математики – интегрирование.

Немного из истории

уdx -1675 г (опубликовано в 1686 г)

ввел Готфрид Лейбниц

)(xf - 1675 г, Жозеф Луи Лагранж

Евдокс Книдский408 – 355 до н. э

Архимед287 – 212 до н.э

Строгое изложение теории интегралов появилось только в 19 веке. Но задачами на вычисление площадей занимались математики Древней Греции.

5 век до н.э. ученый Демокрит нашел объем пирамиды и конуса, но доказательств своих формул не дал.

3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания, не существовавший ранее.

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и

конуса). 

Демокри=т Абдерский 460 до н.э. - 370 до н.э

Метод Исчерпывания

Для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию.

Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

Недостатки: Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода

не было специального названия.

Понятие «интеграл» придумал Якоб Бернулли в 1690 году «Интеграл» образован от латинского слова integro («восстанавливать») и integer («целый»)

Исаак Ньютон(1643-1727)Известно, дифференциальное и интегральное исчисление Ньютон открыл ещё в 1665—1666 годы, однако не публиковал его до 1704 года. Лейбниц разработал свой вариант анализа независимо (с 1675 года), хотя первоначальный толчок, вероятно, его мысль получила из слухов о том, что такое исчисление у Ньютона уже имеется, а также благодаря научным беседам в Англии и переписке с Ньютоном. В отличие от Ньютона, Лейбниц сразу опубликовал свою версию, и в дальнейшем, вместе с Якобом и Иоганном Бернулли, широко пропагандировал это эпохальное открытие по всей Европе. Большинство учёных на континенте не сомневались, что анализ открыл Лейбниц.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)

« Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.»

Лейбниц

Лейбниц, независимо от Ньютона  , создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на бесконечно малых.

)()()( aFbFхFdxxfS ba

b

a

 операция отыскания неопределенного интеграла или решения дифференциального уравнения. 

 операция нахождения производных или дифференциалов.

Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Масса Перемещение Дифференциальное уравнение Давление Количество теплоты

Площадь кругаПлощадь круга

222 Rух 22 xRy

R

R

dxxRS 222

R

R

dxxRS 222

;sinRx 22

0cos

,cos

dRdx

2

2

222 cossin2

dRRRS

2

2

22 cos2

dRS

2

2

2

2

2cos12

dRS

2RS

Объём тела вращенияОбъём тела вращения

a=x0<x1<…<xn=b

kk

kkk

xxf

xyV

2

2

1

0

2n

kkk xxfV

k

n

kk

xxxfV

k

21

00max

lim

dxxfVb

a

2

ЗАДАЧА из геометрииЗАДАЧА из геометрии

.Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и

высотой h.

1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям . Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы.призмы.2. (АВС)2. (АВС)OX=a, a=0, OX=a, a=0, (A(A11BB11CC11) ) OX=b, b=hOX=b, b=h

3. Проведём плоскость перпендикулярно 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х.ОХ через точку с абсциссой х.АА22ВВ22СС22-треугольник, равный основаниям.-треугольник, равный основаниям.

Площадь АПлощадь А22ВВ22СС22 равна равна SS..

Ответ: Ответ: V=ShV=Sh

4. S(x) . S(x) непрерывна на непрерывна на [0;h[0;h]]

5.

h

hh

ShShSxSdxdxxSV0

0

0

0)(С

А В

А1 В1

С1

Х

h

0

*

*

* xx

C2

A2 B2

Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным?

Решение:Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t. x(0)

= x0. Изменение количества бактерий со временем

описывается уравнением

x´(t) = kx(t), k>0, ,

ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - общее решение

уравнения.

kdtx

dxkx

dt

dx

ЗАДАЧА из биологииЗАДАЧА из биологии

y“=-ω²y – дифференциальное уравнение гармонических колебаний.ω – заданное положительное числоy=y‘(x) y“=(y‘(x))‘Решением являются функции: Y(x)=Asin(ωx + φ), где A – амплитуда колебания, ω – частота, φ – начальная фаза.

Графиком гармонических колебаний является синусоидаГрафиком гармонических колебаний является синусоида8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

f x = 3cos 2x+

3

ЗАДАЧА из физикиЗАДАЧА из физики

Заключение

Применение физических моделей при введении понятия Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.