第十三章軸的強度與應力

第十三章軸的強度與應力

13-1 扭轉的意義13-2 扭轉角的計算13-3 動力與扭轉的關係13-4 輪軸大小的計算13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較

1 扭轉的意義

在上一章我們已說明了樑的定義，本章將針對軸詳加討論之。一根細長的構件，當其一端固定，另一端承受扭轉力矩作用，或是其兩端同時承受大小相等，方向相反之扭轉力矩作用時，則此細長構件稱為軸（ Shaft ），而扭轉力矩簡稱為扭矩（ Torque ）。如圖 13-1(a) 所示，當我們使用螺絲起子旋緊或拆卸一根螺絲時，我們所施於螺絲起子的作用即為扭矩，而螺絲起子之金屬桿即為軸。如圖 13-1(b) 所示，為一馬達帶動一轉軸旋轉，此軸即承受扭矩之作用。

13-1 扭轉的意義

我們在研究軸的強度與應力時，均假設其所承受之扭矩為純扭矩，即此軸除了承受扭矩之外，不得有其他之負荷加諸於其上（如彎曲力矩），稱為純扭矩。


在分析軸之純扭矩負荷時，尚須符合下列假設條件：

（ 1）軸之材料須為均勻材質。

（ 2）扭矩之作用面須與軸線垂直，不得傾斜。

（ 3）軸承受扭矩負荷後，軸不可發生彎曲現象。

（ 4）軸承受扭矩負荷後，軸之長度不可發生變化。

（ 5）軸扭轉時所產生的應力與應變，須符合虎克定律。

（ 6）軸扭轉後，其斷面仍保持平面，且直徑保持直線而不彎曲。




由上式可知，在同一圓軸上，半徑愈大處，其剪應力愈大。即圓軸承受一扭矩作用後，其在圓軸表面上之剪應力最大，而在軸線上的剪應力為零。


如圖 13-3 所示，為圓軸之橫截面，則在此橫截面上的所承受之扭矩，即為此截面上各微小面積上的內力對軸心所產生的扭矩和，即：




而空心圓軸之極截面係數為：


則空心圓軸之最大剪應力為：


軸承受純扭矩作用時，其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、混凝土等脆性材料承受扭矩作用時，因張應力之作用面為材料之破壞面，故其破裂角度必與圓柱之軸線成 45° 角，如圖13-5(a) 所示。而剪應力之作用面則為垂直軸線之橫切面。如圖 13-5(b) 所示，為粉筆承受扭矩作用後之破裂情形。由圖 13-5(b) 所示中可知，在粉筆表面的每一個微小面積，均承受等值之張應力與壓應力作用，且因破裂角度沿張應力之方向破壞，並使其破裂角度與軸線成 45° 破壞。









13-2 扭轉角的計算

扭轉角的單位為弧度（ rad ），其大小與扭矩及軸長成正比，而與剪割彈性係數及極慣性矩成反比。


剪割彈性係數 G 及極慣性矩 J 的乘積 GJ，稱為扭轉剛度（ Torsional Rigidity ）， GJ 值愈大，表示材料受扭矩負荷後，愈不容易扭轉變形；反之，若 GJ 值愈小，表示材料受扭矩負荷後，則愈容易扭轉變形。






圓軸的功用，最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達出去。如圖 13-7 所示，即為一馬達將其動力傳達給一齒輪之情形。

上圖中，我們若在圓軸之右端觀看時，馬達產生順時針的扭矩，而齒輪因慣性的作用，因而產生逆時針之扭矩，此逆時針的扭矩必與馬達產生的扭矩大小相等。若其須將動力傳達給二個以上的齒輪時，則各齒輪所獲得之扭矩和，必等於馬達所產生的扭矩。如圖 13-8 所示，則：

13-3 動力與扭轉的關係


如圖 13-9 所示，若馬達之扭矩傳給齒輪 B 及齒輪 C，此時，此圓軸之總扭轉角為 AB 段的扭轉角與 BC 段的扭轉角之和，即：









13-4 輪軸大小的計算




圓軸承受扭矩作用後，其材料內部任一點之剪應力大小和該點距軸心之長度成正比，即其在圓軸表面上之剪應力最大，愈靠近軸心的剪應力就會愈小，而在軸心時的剪應力為零。因此，在軸心附近部分的材料其實對抵抗扭矩的剪應力幫助不大。所以，在工程應用上，為了減輕軸的重量及節省材料，又不會降低太多軸的強度，一般均採用空心圓軸來作為軸的材料。

13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較








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第十三章 軸的強度與應力

第十三章軸的強度與應力