特殊平行四边形（一）

初二数学

主讲教师：邓兰萍

矩形： 一．课内知识的回顾：　　 1．矩形的特征：　　　　边：对边平行且相等；　　　　 AB//DC , ABDC ， AD//BC ， ADBC ．　　　　角：四个角相等，都等于 90° ；　　　　　　∠ A∠B∠C∠D90°

　　　　对角线：对角线互相平分且相等； AOCO ， BODO ， ACBD ． 　　　 对称性：既是轴对称又是中心对称图形．

O

D C

BA

A B

CD

2．矩形的识别方法：　　有三个角是直角的四边形是矩形；　　对角线相等且互相平分的四边形是矩形；　　有一个角是直角的平行四边形是矩形；　　对角线相等的平行四边形是矩形．　

3 个条件

1 个条件2 个条件

3．与矩形相关的三角形：

注意：当边 AB 等于对角线 AC 一半时，矩形中出现的三角形都是特殊的三角形（含 30° 角的直角三角形、等边三角形、含 120° 角的等腰三角形）．

A B CD O

AB CO

B

C

O

B

A

　利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论：

　 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　 如图：△ ABC 中，∠ ABC90° ，点 O 是 AC 的中点，

则 BO 　 AC ．2

1

O

A

CB

二．矩形知识的应用举例：[例 1] 在矩形 ABCD 中，直线 DE 是△ DCE 与△ DFE 的对称轴 , 若矩形与四边形 ECDF 的周长差是 4 ，且四边形 E

CDF 的周长是 8 ，(1) 求矩形 ABCD 的周长与面积 ;

(2) 直线 FE 与矩形 ABCD 有什么关系？分析 : 要想由条件得到图形中 E 、 F 分别是BC 、 AD 中点，先判断出△ DCE 与△ DFE 是等腰直角三角形是解决问题的关键；矩形与四边形 ECDF 的周长差实际就是 AF 与 BE 的和； EF 垂直平分 AD 可发现直线 EF 是矩形的一条对称轴．

F

E

A

CB

D21

3

解：∵矩形 ABCD 中， ADCC90 ， ABDC ，AD BC//

又 DCE 与 DFE 关于直线 DE 对称 ∴ 123 ，四边形 ECDF 中，

∵ CDCE, 周长为 8 ， ECCDDFFE2 DFE90

∴ADFDBCEC 即 AFBE

矩形 ABCD 的周长四边形 ECDF 的周长 AFBE4

∴AFBE2

∴矩形 ABCD 中， AD4 ， AB2

∴矩形 ABCD 周长 2(ADAB)12

矩形 ABCD 面积 ADAB428

F

E

A

CB

D21

3

[例 2] 已知：如图，矩形 ABCD 中， DE 平分∠ ADC 交AB 于 E ，∠ BDE ＝ 15° 。求：∠ BOC 、∠ AOE 的度数． 

 

 

分析：由矩形的特征及条件不难发现△ OAD 是等边三角形，△ ADE 是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征就可以使问题得以解决．

A B

CD

E

O

解∵矩形 ABCD ∴ACBD AOOD ADC90

∵DE 平分 ADC BDE15

∵ADOADEBDE451560

∴OAD 为等边， BOCAOD60 ADAO DAO60

又 DAE90 ∴ADE 为等腰 Rt AEAD

∴OAE906030 AOAE

1180 ) 75

2AOE OAE ＝ ( ＝

A B

CD

E

O

[例 3] 已知：如图，矩形 ABCD ， DF 平分∠ ADC ， BE

⊥AC 于 E ， EB 的延长线交 DF 于 F 点．请猜测： BF 与 AC 的数量关系，并说明理由．

分析：由于矩形 ABCD 中， ACBD ， BF 与 AC 的数量关系实质就是 BF 与 BD 的数量关系 , 由位置可通过角的关系得到．　　让我们先来分析一组图形：

A

B C

DE

F

o3

25 6 10

Q

B A B

C

A B

C

H FE

C

A

21

FEA B

C

H

分析：分析 BFAC 由位置关系可知应通过角的关系得到。与之相关的 RtABC 三角形中有斜边上高和中线， RtADC

中有中线和角平分线 .

[ 例 4] 在矩形 ABCD 中， AB6 ， BC4 ， E 是 AB

上一点，CE5 ， DF⊥CE 于 F ．求 DF ． 

 

 

分析：分析：由 AB 、 BC 可求 S 矩形，而 EC 、 DF 可以

看作是 DEC 的底和高，因为 可求，所以 EC 边上的高可求。

1=

2DECS S 矩

F

E

D C

BA

解答：连 DE

∵ 矩形 ABCD ，且 AB6 ， B

C4

∴S 矩形 6424

又∵ AB//DC ∴

112

2DECS S 矩

244.8

5DF

112

2 DECEC DF S

∵DFEC 于F

∴

∵EC5

∴

F

E

D C

BA

[例 5] 有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）  

 

 

 

分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的任意一直线都会将矩形分成两部分仍是关于中心对称的图形，所以面积相等，因此有：只要将图形化为两个矩形的和或差，作出经过两个图形对称中心的直线即可。

[例 6] 如图，矩形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， P

是 AD 上任意一点， PE⊥AC 于 E ， PF⊥BD 于 F ，若AB3 ㎝， AD4 ㎝， BD5 ㎝ 。求： PEPF 的值．当点 P 在 AD 上移动时，其它条件不变， PEPF 的值会改变吗？

O

P

FE

D

CB

A

Q

分析：分别求 PE 、 PF 困难。由已知得矩形面积，而 可知。由于 AOD 是等腰，联想“等腰底边上任意一点到两腰距离和等于腰上的高”这一性质，由于对角线已知，即等腰可知，由面积就可求出腰的高。问题得解。

1

4AODS S 矩

解：过 D 点作 DQAC 于 Q

∵矩形 ABCD 中， AB3 ， AD4 ∴S 矩

3412

又∵ AC 与 BD 互相平分

13

4AODS S 矩＝

O

P

FE

D

CB

A

Q

由

在其它条件不变的情况下 , 由于不论 P 点在 A

D 上如何移动，它到等腰 AOD 两腰的距离之和永远等于 OA 上的高，因此 PEPF 的值不会改变。

1 1 1 1

2 2 2 2AODS AO DQ AO PE OD PF AO PE PF ＝ ＝ （ ）

∵连 OP

5

2OA ＝

∴DQPEPF

∵ACBD5 1

32AODS AO DQ

12

5DQ ＝

12

5PE PF ＝

O

P

FE

D

CB

A

Q

[例 7] 如图，在△ ABC 中，点 O 是 AC 上的一个动点，过点 O 作直线 MN//BC ．设 MN 交∠ BCA 的平分线于点E ，交∠ BCA 的外角平分线于点 F ．（ 1 ） OE 与 OF 相等吗？为什么？（ 2 ）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？ 并说明你的结论？

FENM O

CB

A

分析与解答： （ 1 ）由于 CE 、 CF 分别是角平分线，因此有 EC

F 为直角，又由于 MN//BC ，因此 OEC 与 OFC 均为等腰，即 OEOC ， OFOC ，故 O 是 EF 中点。

（ 2 ）由于 ECF 为 90 ，只要四边形 AECF 为平行四边形，则四边形 AECF 就为矩形。而（ 1 ）已知 O

是 EF 中点，只需 O 是 AC 中点即可，故点 O 运动到 A

C 中点时，四边形 AECF 是矩形。

FENM O

CB

A

菱形一．课内知识的回顾：1．菱形的特征：　 边：对边平行且四条边相等；　　　 AB//DC , AD//BC ， ABDCADBC ．　 角：对角相等，邻角互补；　　　 ∠ A∠C ， ∠ B ∠D

　　　 ∠ A ∠B 180° ，……　 对角线：对角线互相垂直平分； AOCO ， BODO ， AC⊥BD ． 每条对角线平分一组对角 ∠ ADB∠CDB,…

…

　 对称性：既是轴对称又是中心对称图形．

B

D

A C

D

A CO

B

2．菱形的识别方法：　 四条边相等的的四边形是菱形；　 对角线互相垂直平分的四边形是菱形；　 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

2 个条件 1 个条件

3 个条件

3．与菱形相关的三角形：

注意：当边 AB 等于对角线 BD 时，菱形中出现的三角形都是特殊的三角形（含 30° 角的直角三角形、等边三角形、含 120° 角的等腰三角形）．

B

C

C

A

D

D

D

O

AB

OCA

D

　　利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图

l1 、 l2 分别是菱形的两条对角线，有 S 菱形 = l1 l2 2

1

l2l1

二． 菱形知识的应用举例：[例 1] 已知 : 菱形两条对角线的差等于 3.2cm ，它们的比为 1:2. 求 : 菱形的面积． 

[例 2] 已知：如图，正△ AMN 与菱形 ABCD 有一个公共点 A ，且边长相等， M 、 N 在 BC 、 CD 上，求∠ BAD 的度数．

分析：抓住菱形和正都是轴对称图形且边长相等这一特征，可得 ABM 为等腰，利用底角与顶点及菱形相邻两角的数量关系可将问题得以解决。

A

B

C

D

M N

解：∵菱形 ABCD 及等边 AMN 关于 AC 对称∴BAMDAN

又∵菱形和等边边长相等∴在 ABM 中有 ABAM ，设 BAM 为 x ，则 BAD2x60

∵AD//BC ∴

即解得 x20

∴BAD2x60100

180B BAD

1(180 )

2B x

1180 ) (2 60 ) 180

2x x （

A

B

C

D

M N

[例 3]  已知：如图，菱形 ABCD 中， E 是 BC 上一点，ABAE ，∠ EAD2∠BAE ．求证： BEAF ．

分析：线段 BE 和 AF 在位置上没有特殊关系，应考虑等量代换，因此应从角的关系入手找到 BF 和 AF 的中间量

A

B

C

D

E

F

解答：∵菱形 ABCD ∴AD//BC ∴EADAEB

∵ABAE ∴ABEAEB

又∵ EAD2BAE 又 BD 平分 ABC

即 ABFEBF

∴BAEABF ∴AFBF

∵BFEBAFABF2BAE

∴BFEBEF ∴BFBE ∴BEAF

A

B

C

D

E

F

[例 4] 已知：如图，△ ABC 中，∠ BAC90° ， AG 、 B

D 分别是高线和角平分线，且交于 E ， FD⊥BC 于 F ，连 EF ．求证：四边形 AEFD 为菱形．

A

B C

D

G

E

F

分析：若要判断四边形 AEFD 为菱形，可先证明四边形 A

EFD 为平行四边形 .

由于 AG 是 ABC 的高， DFBC ，故 AE//DF ，只需再寻找一个条件。 A

B C

D

G

E

F

[例 5] 已知：如图，分别以△ ABC 的各边为边，在 BC

边的同侧作等边△ ABE 、等边△ CBD 和等边△ ACF ，连结 DE 、 DF ．问：当△ ABC 满足什么条件时，四边形 DEAF 为矩形、菱形．

F

E

D

CB

A

分析与解答：从图形中可分析出：EBD 与 ABC 是绕 B 点旋转对称的图形，有 EDACA

F ，同理 AEDF ，因此四边形 AFDE 为平行四边形 ，

ABC 的形状对这个四边形有影响，当 EAF90 时， AF

DE 为矩形，此时 BAC36090260150 ，即 ABC

中 BAC150 时，当 AEAF 时 AFDE 为菱形，此时 AB

AEAFAC ，即 ABC 中 ABAC 时，四边形 DEAF 为矩形、菱形．

F

E

D

CB

A

小结：1 ．矩形、菱形都是特殊的平行四边形，在学习这部分知识时可以通过类比的方法来研究图形的特征及识别方法；2 ．既然矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此要注意到它们与一般平行四边形比较，特殊在什么地方；3 ．矩形、菱形在我们日常生活中都会经常遇到，学习这些知识也是为了更好的解决实际问题；4 ．在这部分内容的学习中，要注意提高说理的水平，真正做到出言有据．