第三章土中应力计算

土力学第三章明德至善知行利物

第三章

土中应力计算


1

2

3

4

概述

土的自重应力计算

基底压力计算

土中的附加应力

第三章土中应力计算


1 概述



上部结构

基础

地基

自重应力

建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。

附加应力建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力，所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。

按产生的原因分类

传力过程

建筑荷载基础地基改变土中原有应力状态造成地基土变形 ( 沉降 ) 或破坏

土中应力

3.1 概述


2 土的自重应力计算



假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体

有侧限应变条件一维问题

定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重力而产生的应力。

目的：确定土体的初始应力状态

3.2 土的自重应力计算


计算公式

竖直向：

czcycx K 0

zcz

水平向：

10K

(kN/m3) : 土的重度

z (m) : 深度

Ko ：静止侧压力系数

3.2.1 均质土的自重应力计算

z

cx

地面

MZ

cz


Typical values of Ko (静止侧压力系数 )

Soil type Ko

Loose sands ( 松砂 ) 0.40 – 0.45

Dense sands ( 密砂 ) 0.45 – 0.50

Well-compacted fills ( 压实填土 ) 0.8 – 1.5

Normally consolidated clays ( 正常固结粘土 )

0.5 – 0.6

Overconsolidated clays ( 超固结粘土 ) 1.0 – 4.0

3.2.1 均质土的自重应力计算


分布规律

分布线的斜率是容重在等容重地基中随深度呈直线分布自重应力在成层地基中呈折线分布在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变

1 H1

2 H2

2 H

3

z

sz

sxsy

地面

地下水

CZ1H1

2H2

2H

3

z

3.2.2 成层土的自重应力计算


地面

A

地下水位

降水前降水后

3.2.3 地下水位变动时土的自重应力计算

地下水位下降，自重应力增大；

地下水位上升，自重应力减小；


3 基底压力计算



基底压力：基础底面传递给地基表面的压力，也称基底接触压力。

基底压力

附加应力

地基沉降变形

上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。

影响因素计算方法分布规律

上部结构

基础

地基

暂不考虑上部结构的影响，使问题得以简化；用荷载代替上部结构。

3.3 基底压力计算


基底压力

基础条件•刚度•形状•大小•埋深

•大小•方向•分布

•土类•密度•土层结构等

荷载条件

地基条件

上部结构•刚度•类型

3.3.1 基底压力分布及其影响因素


弹塑性地基，有限刚度基础

— 荷载较小— 荷载较大

砂性土地基粘性土地基

— 马鞍型— 抛物线型— 倒钟型

3.3.1 基底压力分布及其影响因素


根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。

基底压力的分布形式十

分复杂

简化计算方法：假定基底压力按直线分布的材料力学方法

基础尺寸较小荷载不是很大

3.3.2 基底压力的简化计算


b

lx

y

F+G

矩形面积中心荷载 1) 基础受中心荷载作用

(1) 矩形基础

A

AdF

A

GFp G

dA

Fp 20



当 l>10b 时，为条形基础，沿长度方向取 1m 单元来算：

(2) 条形基础

db

F

b

GFp 20

注 : F 、 G 单位为 kN/m



F+G

MM

2) 基础受偏心荷载作用



F+G

MM


F+G

MM= +

A

GF

W

M


偏心矩： e =M/(F+G)

（公式一）

max

min

p F G M

p A W

（公式

二） W = bl2/6 （公式

三）

l

e

lb

GF

p

p 61

min

max

注 : l 为弯矩作用方向的边长



e < l/6: 梯形分布 e = l/6: 三角形分布 e > l/6: 出现拉应力区

e e ek

F+G

maxp0pmin 0pmin

0pmin

maxp

maxp

高耸结构物下可能的的基底压力

基底压力合力与总荷载相等

土不能承受拉力

压力调整F+GF+G

讨论 :

bel

GFp

)2/(3

)(2max

l

e

lb

GF

p

p 61

min

max

l’




F+G

b

e < l/6

lPkmax

Pkmin

e应力分布图形的形心

lbpp

V kk

2minmax

GFlblb

GFV

应力图形的体积

= 与原外荷载平衡的力



e > l/6 地基与基础分离

基底压力重新分布

F+G e

l/2 l/2 Pkmax

F+G

e

l/2 l/2

k

l’

k=l/2-e

GFblp

V k 2

'max

)2

()(32

''max e

lGF

lb

lpk

)2

(3' el

l be

lGF

pk

)2

(3

)(2max

F+G

b

Pkmaxl’

ek

-


某基础底面尺寸 l=3m ， b=2m ，基础顶面作用轴心力 Fk=450kN ，弯矩 M=150kN.m, 基础埋深 d=1.2m ，试计算基底压力并绘出分布图。

144kN212320AdG Gk .土重基础自重及基础上回填

mGF

Me

kk

k 253.0144450

150

偏心矩

kPal

e

bl

GFp

pkk

948

1149

3

253061

32

14445061

.

..

min

max

基底压力


e < l/6


柱基础底面尺寸为 1.2m×1.0m ，作用在基础底面的偏心荷载F+G=150kN ，如下图所示。如果偏心距分别为 0.1m 、 0.2m 、0.3m 。试确定基础底面应力数值，并绘出应力分布图。

0.1m、0.2m、0.3m。试确定基础底面应力数值，并绘出应力分布图。



解：当偏心距 e=0.1m 时，


e=0.1m<l/6=1.2/6=0.2m

2max /5.187)

2.1

1.061(

0.12.1

15061 mkN

l

e

lb

GFp

2min /5.62)

2.1

1.061(

0.12.1

15061 mkN

l

e

lb

GFp


当偏心距 e=0.2m 时，因为 e=0.2m=l/6=0.2m


2max /250)

2.1

2.061(

0.12.1

150mkNp

2max /0)

2.1

2.061(

0.12.1

150mkNp


说明：由以上例题可见，偏心受压基础底面的应力分布，随偏心距而变化，偏心距愈大，基底应力分布愈不均匀。所以，在设计偏心受压基础时，应当注意选择合理的基础底面尺寸，尽量减小偏心距，以保证建筑物的荷载比较均匀地传递给地基，以免基础过分倾斜。

当偏心距 e=0.3m 时，因为 e=0.3m>l/6=0.2m ，


2max /3.333

1)3.022.1

(3

1502

)2

(3

)(2mkN

bel

GFp


dppp c 00

修建建筑物基础后在基底处的地基中增加的力。

σc—— 基底处土中自重应力标准值；

σc=γ0d （ kPa ）γ0—— 基础底面标高以上天然土层的加权平均重度（地下水位以下部分取浮重度）。

n

ii

n

iii

h

h

hhh

hhh

1

1

321

3322110

定义

计算式

3.3.3 基底附加压力计算


4 土中的附加应力



附加应力是由于修建建筑物之后再地基内新增加的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉降的主要原因

• 集中荷载作用下的附加应力• 矩形分布荷载作用下的附加应力• 条形分布荷载作用下的附加应力• 圆形分布荷载作用下的附加应力

基本解

叠加原理

3.4 土中的附加应力


y

z

xoP

M

xy

z

r

RM’

布辛内斯克课题

3.4.1 竖向集中力作用下土中的附加应力


法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固体力学都有贡献。

Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)

x y xy yz zxz



222222 zyxzrR

R= 0 ∞

集中力作用下的附加应力系数查表 3-1

2z

PKz

R= ∞ 0


土力学第三章明德至善知行利物x1 x2

y1

y2

x0

y0

A

B12

21

xx

yykAB

1012

2110 xx

xx

yyyy

0212

2120 xx

xx

yyyy

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r/z

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

K

CACAB kk

CBAB kk



P222/52zZ

PK

z

P

])z/r(1[

1

2

3

P 作用线上

思考 r=0 说明什么问题 ?

Z 为定值说明什么问题 ?

r 为定值且不为零说明什么问题 ?

在某一水平面上

在 r 0﹥ 的竖直线上



y

z

xo200KN

M(3,2,2.5)

R

2z

PKz

例题

求解

方法 1 ：方法 2 ：根据 r/z 数值查表求K

r



(1) 角点下的附加应力

角点应力公式

dxdydA pdxdydP

dxdyR

zp

R

zdPd z 5

3

5

3

2

3

2

3

)1

11(

11arctan

2

1

2

3

2222222

0 0 25

222

3

0 0

nnmnm

mn

nmn

mp

dxdyzyx

pzd

l bl b

zz

pKcz

竖向均布矩形荷载角点下的附加应力系数查表 3-5

z

x

y

b

l

dP p

M(0,0,z)

3.4.2 均布矩形荷载作用下土中的附加应力


(2) 任意点的附加应力—角点法

a. 矩形面积内的任意点几种情况：

荷载与应力间满足线性关系

叠加原理角点下垂直附加应力的计算公式

地基中任意点的附加应力

AA

A

AA

bzn

blm

AcK

BB

B

BB

bzn

blm

BcK

CC

C

CC

bzn

blm

CcK

DD

D

DD

bzn

blm

DcK



beghb

zbegh

n

beghb

beghl

beghm

beghcK

b. 矩形面积角点外的任意点

afghafgh

afgh

afghafgh

bzn

bl

m

afghcK

cegicegi

cegi

cegicegi

bzn

bl

m

cegicK

dfgidfgi

dfgi

dfgidfgi

bzn

bl

m

dfgicK



思考：

a. 矩形面积边缘任意点的 σ z 如何计算 ?b. 矩形面积边缘外任意点的 σ z 如何计算 ?



• 所求的点必须位于所划分的小矩形的公共角点；

• 以小矩形的长边为 l ，短边为 b 查附加应力系数表；

• 若干个小矩形面积之和应等于基础原有的受荷面积。

角点法小结



如图所示，求 A、 E、 O、 F和 G点下， Z=1.0m 处的σz



A 点下的附加应力

kPapczA 2001002.0


A 点是矩形 ABCD 的角点，且 m=l/b=2/1=2 ； n=z/b=1 ，查表 3-2 得 ac=0.2

通过 E 点将矩形荷载面积划分为两个相等的矩形 EADI 和 EBCI 。求 EADI 的角点应力系数 ac

E 点下的附加应力

查表 3-2 得 ac=0.175 ，故

kPapczE 35100175.022

11

1,1

1

1

b

zn

b

lm










z

x

y

b

l

dP

矩形面积三角分布荷载角点下的附加应力系数

查表 3-6

pt

M

角点应力公式 dxdydA dxdyb

xpdP t

dxdyzyxb

xzp

R

zdPd t

z2

5222

3

5

3

)(2

3

2

3

l b

tzzz nmpd0 0

),,( ttz pK 1

m = l/b, n = z/b

12

3.4.3 矩形面积三角形荷载作用下附加应力


取角点 2 为坐标原点

ttz pK 2同理可得

查表 3.10矩形面积梯形分布荷载

3.4.3 矩形面积三角形荷载作用下附加应力


任意点

圆心下

0pK rz

00 pKz

均布圆形荷载中点下的附加应力系数

均布圆形荷载任意点下的附加应力系数查表 3.11

查表 3.11

3.4.4 圆形面积均布荷载作用下附加应力


B

H均匀成层

E1

E2>E1

B

H 均匀

成层

E1

E2<E1

(1) 上层软弱，下层坚硬的成层地基中轴线附近 σz 比均质时明显增大的现象 — 应力集中；应力集中程度与土层刚度和厚度有关；随 H/B 增大，应力集中现象逐渐减弱。 ( 见教材 P59 图 3.28)

(2) 上层坚硬，下层软弱的成层地基

中轴线附近 σz 比均质时明显减小的现象 — 应力扩散；应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关；随 H/B 的增大，应力扩散现象逐渐减弱。

应力集中

应力扩散

3.4.5 地基土的非均质性对附加应力的影响


本章结束


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