23/4/191

高中数学复习课高中数学复习课代 数代 数

第五章 不等式第一课时[ 知识要点 ] 本章的知识要点包括： 不等式、不等式的性质、不等式的证明、 不等式的解法、含有绝对值的不等式。 这些知识点间和内在联系可用如下的框 图说明：

2

实数大小的比较

不等式的性质

不等式的解法

不等式的概念 不等式的解集

不等式的同解变形

不等式的解法

解不等式的应用

绝对值用其性质 含绝对值的不等式

3

[ 高考要求 ]1. 掌握不等式的性质及其证明 , 掌握证明不等式

的几种常用方法 , 掌握两个 ( 或三个 ) 正数的算术平均值不小于它们的几何平均值这一定理 , 并能运用性质、定理和方法解决一些问题。

2. 在熟练掌握一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。

3. 会用不等式

解一些简单问题。bababa

4

** 范例选粹[ 例题 1] 若 ， 则下列不等式中，不能成立的是 ( ) A. B. C. D.

* 分析 * 先考虑能成立的是哪个不等式 , 显然

， 故应选 B.

* 点评 * 否定形式的命题往往从它的反面入手考虑。淘汰不合题意的选项是解答的特有方法。本题运用了不等式的性质。[ 例题 2] 对于 的一切值，则 是使恒成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件 D. 既不是充分也必要的条件

b

1

a

1

a

1

ba

1

ba 22 ba

x 1,0

0ba

0ba b

1

a

1

22 baba0ba

0b2a 0bax

5

* 分析 * 考虑函数

则 ，

故

由于 恒有

故条件是必要的；

而 显然不一定总有 时 ,

故条件是不充分的。故应选取 B* 点评 * 利用函数的性质是本题解题中的核心。

x

0b2a0)2

1(f

x

0)2

1(f0bax)x(f

1,0

1,0

bax)x(f

)b2a(2

1ba

2

1)

2

1(f

0)2

1(f 0bax)x(f

6

[ 例题 3] 设 ，下列不等式正确的是（ ）

A. B.

C. D.

* 分析 *

应选择 C.

1ba,ba0

2222 babaab2b 2222 bababab2

2222 babbaab2 bbabaab2 2222

0)ba(b)baa2(b)1a2(bbab2

,bab2

)bab(ba)1b(babba 2222 0)ba(aaba 2

bba 22 2222 bab,baab2

2222 babbaab2

7

* 点评 * 作差比较两个数的的大小是最基本的方法，在任何复杂的情况下要坚持这个方法。另外把 1 等量代换为起到了重要的作用，这要认真体会当然用不着 特殊值法也可解之，但作为能力训练，我们还是强调本题给出的解法。

* 例题 4* 若 则 、 、 、 之间的

大小关系是（ ）A. B.

C. D.

* 分析 * 由于 均为正数，所以比较 的大小，

相当于比较 的大小。

设

则

,0zlogylogxlog 532 2

1

x 3

1

y 5

1

z

5

1

2

1

3

1

zxy 5

1

3

1

2

1

zyx

2

1

3

1

5

1

xyz 3

1

5

1

2

1

yzx

z,y,x 5

1

3

1

2

1

z,y,x

61015 z,y,x

tzlogylogxlog 532

ttt 5z,3y,2x

8

于是

由于

显然

由于 ，故

即 ，

故选 A 。* 点评 * 设出参数 ，使对数式能转化为指数式，这样表示出 ，进而去比较它们的幂的大小。值得注意的是 ，因而函数 在 上是减函数，因而由 得。不注意，容易出错。[ 例题 5] 若实数 满足 ，

则 的最大值是（ ）

t66t1010t1515 )5(x,)3(y,)2(x

19.45lg65lg,77.43lg103lg,52.42lg152lg 61015

61510 523

0t t6t15t10 )5()2()3(

61510 zxy 5

1

2

1

3

1

zxy

t z,y,x0t

tx)x(f ),0( 1510 23 t15t10 )2()3(

y,x,n,m )ba(byx,anm 2222

nymx

9

A. B . C. D.

* 分析 * 设

则

时 , 有最大值故应选 B.* 点评 * 本题容易误入使用平均值不等式的歧途。

但等号成立的充要条件是 且 ，但由于 ，故等号不能成立，因此， 不是最大值，这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值时，一定要认真研究等号能否成立。

2

ba ab

2

ba 22 ba

ab

sinby,cosbx,sinan,cosam

)cos(ab)sinsincos(cosabnymx

1)cos( nymx ab

)yn(2

1ny),xm(

2

1mx 2222

)ba(2

1nymx

xm yn ba )ba(

2

1

10

进阶练习进阶练习：一、选择题：1 、已知 ，在以下 4 个不等式中：（ 1 ） （ 2 ）

（ 3 ） （ 4 ）

正确的个数有（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个

2 、若 ，则下列不等式中成立的是（ ）

A. B. C. D.

ba

b

1

a

1

22 ba

)1blg()1alg( 22 ba 22

02log2log yx

2

1

2

1

yx

yxyx 3)3

1(

y1x1 3)3

1( y1x1 3)

3

1(

11

3 、设

则 的大小关系一定是（ ）A. B. C. D.

4 、设 集合 ，则（ ）

A. B.

C. D.

5 、设 是实数，则 成立的一个充分条件是（ ）A. B. C. D.

2x 2)2

1(N,

2a

1aM,Rx,2a

N,M

NM NM NM NM

0ba axabxN,2

baxbxM

abxbxP

NMP NMP

NMP NMP

b,a 0)ba(ab

b0a 0ab b

1

a

1

0ba

12

6 、如果 都是非零实数 , 则下列不等式中不恒成立的是 ( )A. B.

C. D.

7 、已知 ，当 时，

则 与 的大小关系不可能成立的是（ ）

A. B.

C. D.8 、已知 为常数， ，

时， 恒成立，则（ ）

A. B. C. D.

b,ababa )0ab(baab2

baba 2b

a

a

b

xx b)x(g,a)x(f 3)x(g)x(f 21 21 xx

a b

1ab 0b1a

1ba0 0a1b b,a)(balg()x(f xx )0b,1a ),1(x

0)x(f

1ba 1ba 1ba 1ba

13

第二课时

[ 例题 6] 若不等式 的解集是 则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.

* 解法 * 设 （ 1 ） （ 2 ）

(1) 在坐标平面上的图形是 : 以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的位于轴用其上方

的半圆 ;(2) 表示过原点的直线。由图易知： 解集为 。因此，应选 A* 点评 * 在图上解不等式，或讨论不等式存在特定解集条件是应当掌握的重要方法。

axxx4 2 }4x0x{ a

0a 0a

4 a

0a

y

xo

0a

0a

2xx4y axy

0a 4,0

14

[例题 7]若不等式 在区间 内恒成立，则的取

值范围是（ ）

A. B. C. D.

* 解法 *原不等式变形为

设 (1) (2)

它们的图象如图所示 . 当 (2)经过 点时 :

可见 , 时 ,不等式 的解集是

0xlogx a2

2

1,0

1,16

1 ,1

1,16

1 2,11,2

1

2xy xlogy a

4

1,

2

1

2

1log

4

1a 16

1a

16

1a

xlogx a2

xlogx a2 )

2

1,0(

15

当 (2)的曲线在 上位于的上方时 ,不等式在 上恒成立 ,而此时

且 故 。

故应选 A 。* 点评 * 本题给出的不等式含有代数运算部分，又有超越运算部分，这两种运算不能在初等数学范畴内相互转化，因而只能借助图形来解决。

[例题 8]要使不等式 恰有一解 ,则 . * 解法 *1.原不等式等价于 (1) (2) (1)的解不可能只有一个实数 ;于是 , 只能使 (2)的解只有一个实数 , 故

1,0

2

1,0

16

1a 1a 1a

16

1

26ax2x2 2

o2

1

4

1

y

x

a

44ax2x

08ax2x2

2

016a4 2

2a

16

2. 设由图可知 ,欲使 ,恰有一解 ,只有

* 点评 * 本题真正起作用的是 恰有一个解 . 但 却有很大的干扰作用 . 所以正确理解和把握题意才能排除 . 解法 2 体现了数形结合之妙 .

[ 例题 9] 若实数 满足 和 , 则 的最小值是 。此时 ， 。* 解法 * 由 和 知

222 a6)ax(6ax2xy 2y2 2ab 2

2a

2

2

o x

y

26ax2x 2 26ax2x 2

y, x 2xxy x y

0xy

0xy

2yx 2

2yx 2 Ry,x

3yx4

13xxy

2

1xy

2

1xxy 3 2422

17

当且仅当 时，等号成立。

此时， ， 故故 时， 的最小值是 3 。* 点评 * 在平均值不等式： 中，只有当是常数，等号成立时，才能求得和 的最小值。而把

变形为 ，就是在构造“积为常数”，这是使用平均值不等式求最值时，必须掌握的基本方法。[ 例题 10]某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲是：第一次提价 ，第二次提价 ；方案乙是：第一次提价 ，

第二次提价 ；方案丙是：每次提价 。如果那么提价最多的是方案 。* 解法 * 设原价为 1 ，两次提价后的价格为 。则 甲

2xxy2

1

x2y 2y,1x,2x2x 2 2y,1x 2xxy

3 abc3cba cba cba yx

xy2

1xy

2

1

00

2

qp

00q

00q0

0p

00p 0qp

yy )q1)(p1( 0

00

0

18

乙

丙

丙 乙 甲 。故提价最多的方案是丙。

10000)qp()qp(1)p1)(q1( 00

00

00

00

2

00

00

00

2

00

2

qpqp1

2

qp1

y

y

02

qppq

2

qp22

y y y

19

进阶练习进阶练习选择题：1 、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.2 、已知函数 ，对任意实数 , 使得 的一个充分但不必要的条件是 ( ) A. B. C. D.

3 、不等式 的解集不是空集，则 的取值范 是（ ）

A. B. C. D.

2,1x xlog)1x( a2 a

)1,0( )2,1( ]2,1( ]2,1[1x2)x(f )x(f)x(f 21

21 xx2

xx 21

4xx 21

4xx 21

kkxxx2 2 k

3

3,

3

3,0

2

1,0 3,0

20

4 、 是实数，且满足 ，那么 的取值范围是（ ）A. B.

C. D.

5 、设 个实数 的算术平均数是 ，若 是不等于 的任意实数，并记

则一定有（ ）A. B. C. D.

y,x 4yx 22 x

y

x

12

,00, 1,1

4

5, ,22,

n n21 x,,x,x axx

2n

2

2

2

1 xxxxxxp

2n2

22

1 axaxaxq

qp qp qp qp

21

第三课时[ 例题 11] （ 1990年上海市高考试题）关于实数 的不等式

和

的解集依次为 A 、 B ，求使 A B 的 的取值范围。

* 解法 *1.

x

)Ra(0)1a3(2x)1a(3x 2

a2

)1a(

2

)1a(x

22

2

)1a(

2

)1a(x

22

2

)1a(

2

)1a(x

2

)1a( 222

2

)1a()1a(x

2

)1a()1a( 2222

1axa2 2

1a,a2A 2

0)1a3(2x)1a(3x 2

0)1a3(x)2x(

22

时，

时，

时， 于是由 得

（ 1 ） 或 （ 2 ）

由（ 1 ）得 ；由（ 2 ）得

3

1a 2,1a3B

3

1a 2B

3

1a 1a3,2B

BA

21a

1a3a23

1a

2

1a31a

2a23

1a

2

1a 3a1

23

* 分析 *2. 当求出 A后 , 设则该函数值在 A 上恒为非正 ,根据这一特点 , 也可以列出的不等式。* 解法 *2. 由解法 1 知

设

则 上 函数值为非正 , 为此 , 必须且只需 :

即

解之 , 得 或* 点评 * 本题的难点在于第一 , 求集合 时 , 要分类讨论 , 因为只有明确了 和 谁大 ,才能写

出 ;第二 ,根据 列出 的不等式 , 这可以利用数形结合的方法突破 , 如 :

1a,a2A 2

)1a3(2x)1a(3x)x(f 2

)x(f 1a,a2 2

0)2

3a

2

3(f

0)1a(f

0)a2(f2

0)1a3(

0)1a)(3a(a

1a

2

2

2

1a 3a1

B 1a3 2B

BA a

24

[ 例题 12](1991年高考试题 ) 已知 是自然数 , 实数 , 解关于 的

不等式 :

* 分析 *首先 , 把各对数化为同底 , 然后根据对数函数的性质 , 化对数不

等式为代数不等式 ( 组 )* 解法 *

A

B

a2 1a 2 1a3 2 a2 1a 2

1a3 a2 1a 2 2

A

B

n 1a x

)ax(log3

)2(1xlog)2(nxlog4xlog 2

a

n

a

1n

aa n2

xlog)2(

alog

xlog)2(nxlog)2(n

a1n

na

a1n

a

1nn

25

于是原不等式化为 :

且 为奇数时 , 为偶数是时 , , 为奇数时 ,原不等式化为 进一步化为

)ax(log3

)2(1xlog)2(8421 2

a

n

a1n

3

)2(1)2(8421

n1n

n 0)2(1 n n 0)2(1 n n )ax(logxlog 2

aa

,1a

0x

axax

2

a411x

2

a411

ax

0axx

0x

0ax

axx

0x

2

2

2

2 或

26

当为数时 ,原不等式化为

, 进一步化为

综上所述 , 为奇数时 , 解集为

为偶数时 , 解集为

2

a411xa

)ax(logxlog 2aa

1a

2

a411x

2

a411x

ax

xax

0ax

0x

2

2

n

n

2

a411xax

2

a411xx

27

* 点评 * 本题是一道综合性很强的试题 ,涉及到对数换底公式、等比

数列求和、对数函数的增减性、对数的性质、不等式的性质等。值

等注意的是，从不等式两边约去 时，要讨论其符号，因此对 按其奇、偶分类讨论；另一方面由对数不等式化为整式不等式组时，要考虑周全；最后对各不等式的解集求交集时，要考

虑 和 的大小。这三点是极容易出错的。

[ 例题 13] （ 1996年高考试题）解不等式

* 分析 *按 和 分为两种情况解之，并把对数不等式化为有理不等式。* 解法 * 时，原不等式化为

3

)2(1 n

n

a 2

a411

1)x

11(loga

1a0 1a

1a

0xa1

10a1

x

1a

x

11

28

时，不等式化为

故， 时，不等式解集为

时，不等式解集为

* 点评 * 本题解法的优劣有于如何处理 及

上述解法中，使用了函数 在 或 上是减函数

这一性质，须注意的是只有在 同号时，才有

1a0

a1

1x1

1x

1x

1a1

0x

11

ax

11

1a

0xa1

1x

1a0

a1

1x1x

a1x

1 a

x

110

x

1y )0,( ),0(

b,ab

1

a

1ba

29

如果由 得 就错了。

[ 例题 14] 解不等式

* 分析 *首先化为同底，然后根据绝对值符号内的代数式的符号，去

掉绝对值符号。有这个过程中，可使用换元法。* 解法 *原不等式化为

（ 1 ） 时，原不等式化为

（ 2 ） 时，原不等式化为

a1x

1

a1

1x

)1a,0a(22xlog2xlog aa 且

22y1y2,yxlog

22xlog2xlog

a

a2

a

则设1y

1x22)y2()y1(2

1y

2y1

2y12)y2()1y(2

2y1

30

（ 3 ） 时，原不等式化为

。

于是 当 时： 当 时： 故 时，不等式的解集为 ； 时，不等式的解集为 。

* 点评 * 含绝对值符号（特别是不只一个绝对值符号）的不等式，根据定义去掉绝对值符号，是普遍适用的方法。为此，就要把各代数式的“零点”

求出来，按这些“零点”把数轴分成的区间，逐一讨论。换元法，把复杂的对数不等式化为简单的绝对值不等式，为去掉绝对值符

2y

解集为

2)y2()1y(2

2y

2xlog2

2y2

a

22 axa

1a0 22 axa

1a

1a 22 axax

1a0 22 axax

31

号打下基础。[ 例题 15] 对任何实数 不等式

恒成立，求实数 的取值范围。* 分析 * 题意是说，不等式的解集为 。而二次不等式的解集是 是我们熟悉的，所以要把已知不等式化为二次不等式。* 解法 * 恒正， 原不等式化为

不等式的解集为 ，

x 13x6x4

kkx2x21

2

2

kR

3x6x4 2

0k3x)k26(x2

03kx)k26(x6

3x6x4kkx2x2

kkx2x23x6x42

2

22

22

R

R

03k4k

9k

0)k3(8)k26(

0)3k(24)k26(2

2

2

2

3k1

32

进阶练习填空题：1 、 的解集是 。2 、不等式 的解集是 。

3 、若不等式 的解集为 ， 则 的解集为 。

4 、不等式 的解集是 。

5 、不等式 的解集是 。

6 、如果直角三角形的周长为 ，那么它的面积的最大值是 。

5x231 1x2x34

02bxax 2

3

1x

2

1x

0ax6x2 2

093109 xx

1)1x2x3(log 2

1x2 2

l