تئوري احتمال و كاربردآن

تئوري احتمال و كاربردآن

http://www.Beiki.info

2http://www.Beiki.info

جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمoتوزيعهاي گسسته دو متغيرهoتوابع توزيع تجمعي توأم

توابع توزيع تجمعي توأم گسستهoتوزيعهاي پيوسته دومتغيره

توابع توزيع تجمعي توأم پيوستهoتوابع توزيع احتمال كناريoتوزيعهاي احتمال شرطيoاستقالل دو متغير تصادفيoبردارهاي تصادفي چند بعدي


جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمo اگرn متغير تصادفي به صورت X1، X2 و ... ،Xn

موجود باشد آنگاه توزيع احتمال اتفاق افتادن با هم پيشامدهاي مربوطه آنها مي تواند توسط تابعي با

براي هر يك از نقاط برد بردار f(x1,x2,…,xn)مقادير نشان داده شود.[X1,X2,…,Xn]تصادفي


جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمoتوزيعهاي گسسته دو متغيره

تعريف: تابعf(x,y) توزيع توأم متغيرهاي تصادفي گسسته X است اگر روابط زير برقرار باشد:Yو

xy ناحيه اي است در صفحه Aكه

A

x y

YX

yxfAYXP

yxf

yxfyx R

),(]),[(

1),(

1),(0;),(],[


جلسه چهارمتوزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم

oتوزيعهاي گسسته دو متغيره سكه اي سه بار پرتاب مي گردد 28مثال :X

تعداد شيرها در Y پرتاب اول و 2تعداد شيرها در هر سه پرتاب است تابع توزيع توأم آنها چيست؟

:پاسخ S={TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHH}R]X,Y[={(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}

P(X=1,Y=1)=P(HTT,THT)=2/8)x,y()0,0

()0,1

()1,1

()1,2

()2,2

()2,3

(

f(x,y)1/81/82/82/81/81/8



oتوزيعهاي گسسته دو متغيره يك 20% خانواده ها فاقد فرزند، 15: فرض كنيد 29مثال %

% سه فرزند كه احتمال دختر يا 30 فرزند و 2% 35فرزند، متغير تصادفي تعداد Gپسر بودن آنها نيز يكسان است.

B و G پسران است. تابع توزيع توأم Bدختران يك خانواده و چيست؟

پاسخ: اگرNمتغير تصادفي تعداد فرزندان خانواده باشد R]G,B[={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)}P](0,0)[=P(G=0,B=0)=P(N=0)=0.15P](1,0)[=P(G=1,B=0)=P(G=1,N=1)=P(N=1)P(G=1/N=1)=0.2*1/2=0.1P](2,0)[=P(G=2,B=0)=P(G=2,N=2)=P(N=2)P(G=2/N=1)=0.35*(1/2)2=0.0875

)g,b()0,0(

)0,1(

)0,2(

)0,3(

)1,0(

)1,1(

)1,2(

)2,0(

)2,1(

)3,0(

f(g,b)0.150.100.0875

0.0375

0.100.1750.1125

0.0875

0.1125

0.0375


جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمoتوابع توزيع تجمعي توأم

:متغيرهاي تصادفي تابع توزيع احتمال تجمعي توأمتعريف X به صورت زير تعريف مي گردد:Yو

كه بهFX(x) و FY(y) توزيع تجمعي كناري يا حاشيه اي توابع مي گويند

),(),()(

),(),()),((

)),((),()()(

,);,(),(

limlimlim

lim

yFyxFy

xFyxFyYxXP

yYxXPYxXPxXPx

yxyYxXPyxF

xY

yy

yX

F

F


جلسه چهارم


31مثال :P(X>x,Y>y)چيست؟ :پاسخ

و در حالت كلي به ازاي مقادير مختلفx1<x2 و y1<y2 داريم:

),()()(1

)],()()([1

)}(){(1

}{1

}{1),(

)()(

),(

yxFyFxF

yYxXPyYPxXP

yYxXP

P

PyYxXP

yYxX

yYxXcc

c

),(),(),(),(),(122111222121 yxyxyxyxyyxx FFFFYXP


جلسه چهارم


:توابع توزيع تجمعي توأم داراي خواص زيرند

0),(),(),(),(

,|)3

1),()2

0),(),(),()1

12211122

2121

yxyxyxyx

yyxxFFFF

F

xFyFF


جلسه چهارم


توابع توزيع تجمعي توأم گسسته با Y و Xتعريف: متغيرهاي تصادفي گسسته –

مفروض اند تابع f(x,y)تابع توزيع احتمال توأم به صورت Y، F(x,y) و Xتوزيع تجمعي توأم

زير تعريف مي گردد:

xX yY

yxyxfyYxXPyxF ,;),(),(),(



oتوابع توزيع تجمعي توأمتوابع توزيع تجمعي توأم گسسته

جدول زير باشد Y و X: اگر تابع توزيع توأم 32مثال –آنگاه تابع توزيع تجمعي توأم انها چيست؟

پاسخ:–

f(x,y)x

Y012

03/289/283/28

16/286/280

21/2800

F(x,y)x

Y012

03/2812/2815/28

19/2824/2827/28

21/2825/281


جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمoتوزيعهاي پيوسته دومتغيره

:متغيرهاي تصادفي پيوسته چگالي احتمال توأم تعريفX و Y با نماد f(x,y) نمايش داده مي شود و داراي خواص زير

است:

در فضاي دوبعديRبراي هر ناحيه

R

YX

dxdyyxfRYXP

dxdyyxf

yxfyx R

),(}),{()3

1),()2

0),(;),()1],[


جلسه چهارم


اگر چگالي توأم متغيرهاي تصادفي 37مثال :X و Y به صورت زير باشد

f(x,y)=2e-xe-2y;x,y>0P(X<a) و P(X>1,Y<1)، P(X<Y)مطلوب است تعيين

:پاسخ

eeee

ee

eeee

eeee

eeee

aa xxa y

yy

y

y

y

x

xy

YX

x

y

xyyx

dxdydxaXP

dy

dxdydxdyYXP

dy

dydxdyYXP

12)(

3

1

3

21)1(2

22)(

)1(2

)(22)1,1(

00 0

2

0

2

2

0 0

2

211

0

21

1 1

221

0 1]


جلسه چهارم


اگر 38مثال :X نسبتي از ظرفيت مخزن يك پمپ بنزين معرف نسبتي از Yباشد كه در شروع هر هفته پر است و

ظرفيت مخزن باشد كه در طول هفته به فروش مي رسد و به صورت زير Y و Xاگر چگالي توأم متغيرهاي تصادفي

باشدf(x,y)=3x ; 0<=y<=x<=1

مطلوب است تعيين احتمال اينكه در ابتداي هفته كمتر از % حجم 25نصف مخزن پر باشد و در همان هفته بيش از

مخزن به فروش رفته باشد.:پاسخ

5.0

25.0

5.0

25.0 25.0

5.0

25.0 25.0

128

5)3

1(3

[33)25.0,5.00( ]

x

x

x

x

x

y

dxxx

dxyxxdydxYXP


جلسه چهارم


توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته با چگالي Y و Xتعريف: براي متغيرهاي تصادفي پيوسته –

F(x,y) تابع توزيع احتمال تجمعي توأم f(x,y)احتمال توأم به صورت زير تعريف مي شود:

),()),((),(

,;),(),(),(

22

yxfdudvvufyx

yxFyx

yxdudvvufyYxXPyxF

y x

y x



oتوزيعهاي پيوسته دومتغيرهتوابع توزيع تجمعي توأم پيوسته

; Y f(x,y)=1 وX: اگر چگالي توأم 39مثال –0<=x,y<=1 باشد و متغير تصادفي Z=X+Y تعريف

گردد چگالي احتمال آن چيست؟پاسخ:–

2,0;0)(

21;2)(

10;)(

2;1)(

21;2

111)(

10;2

1)(

0;0)(

1

1

1

2

0 0

2

)2(

zzzg

zzzg

zzzg

zzG

zdydxzG

zdydxzG

zzG

zx xzy

z

x

xz

y

z

z


جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمoتوابع توزيع احتمال كناري

تعريف:توابع توزيع كناري متغيرهاي تصادفيX و Y عبارتند از:f(x,y)با تابع توزيع توأم

در حالت گسسته

در حالت پيوسته

dxyxfyhdyyxfxg

yxfyhyxfxgxy

),()(,),()(

),()(),,()(



oتوابع توزيع احتمال كناري 32: در جدول زير كه مربوط به مثال 40مثال

است نشان دهيد كه مجموع رديفها و ستونها Y و Xمعرف توزيع كناري متعيرهاي تصادفي

است.

:پاسخ

Y X012h(y)

03/289/283/2815/28

16/286/28012/28

21/28001/28

g(x)10/2815/283/28

2

0

2

0

2

0

28

3

28

003)2,2()1,2()0,2(),2()2()2(

28

15

28

069)2,1()1,1()0,1(),1()1()1(

28

10

28

163)2,0()1,0()0,0(),0()0()0(

y

y

y

fffyfgXP

fffyfgXP

fffyfgXP



oتوابع توزيع احتمال كناري چگالي توأم متغيرهاي تصادفي 42مثال :X و Y به

است. نشان f(x,y)=e-(x+y) ; x,y>0صورت يك چگالي توآم است و توزيعهاي f(x,y)دهيد

را به دست آوريد. Y و Xكناري پاسخ: بديهي است كهf(x,y)>=0 و در خصوص

خاصست دوم داريم:

0;][),()(

0;][),()(

1)1)(1())((

00

)(

0

00

)(

0

00000 0

)( ]]

ydxdxdxyxfyh

xdydydyyxfxg

dydxdxdy

eeee

eeee

eeeee

yxyyx

xyxyx

yxyxyx


جلسه چهارم

توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأمoتوزيعهاي احتمال شرطي

اگرX و Y تابع باشند آنگاه گسسته متغيرهاي تصادفي در صورتي كه متغير X توزيع جرمي احتمال شرطي

نمايش f(x|y) را بگيرد با نماد y مقدار Yتصادفي داده شده و به صورت زير تعريف مي گردد:.

تابع توزيع احتمال تجمعي شرطيو X در صورتي كه Y=y:باشد عبارت است از

0)(;)(

),(

)(

),()|()|(

yhyh

yxf

yYP

yYxXPyYxXPyxf

xXyhyxfyYxXPyxF 0)();|()|()|(


جلسه چهارم


اگرX و Y باشند آنگاه پيوسته متغيرهاي تصادفي در صورتي كه متغير X چگالي احتمال شرطي

نمايش f(x|y) را بگيرد با نماد y مقدار Yتصادفي داده شده و به صورت زير تعريف مي گردد:.

تابع توزيع احتمال تجمعي شرطيو X در صورتي كه Y=y:باشد عبارت است از

)|()(

),(

)(

),()|(

)(

),()|(

dyyYydxxXxPdyyYyP

dyyYydxxXxP

dyyh

dxdyyxfdxyxf

yh

yxfyxf

xdtytfyYxXPyxF )|()|()|(


جلسه چهارم


توزيع شرطي متغير تصادفي 40: در مثال 44مثال X باشد را بدست آوريد و از آن Y=1را در صورتي كه

استفاده كنيد.P(X=0|Y=1)براي محاسبه :پاسخ

0)0)(3

7()1,2(

3

7)1|2(

2

1)

28

6)(3

7()1,1(

3

7)1|1(

2

1)

28

6)(3

7()1,0(

3

7)1|0(

2,1,0);1,(3

7)1|(

7

30

28

6

28

6)1,()1(,

)1(

)1,()1|(

ff

ff

ff

xxfxf

xfhh

xfxf

x


جلسه چهارم


چگالي توأم متغيرهاي تصادفي پيوسته 46مثال :X و Y عبارت است از

P(X<=1/2|Y=1)مطلوب است محاسبه :پاسخ

4

1

2

1)2|

2

1(

2

1

1

1)1|

2

1(

20;1

5.0

5.0

)(

),()|(

20;2

1

2

1),()(

2

1

0

2

1

0

0

dxYXP

dxYXP

yxyyyh

yxfyxf

yydxdxyxfyhy

20,0;2

1),( yyxyxf



oتوزيعهاي احتمال شرطي اگرX با چگالي پيوسته متغيرهاي تصادفي f(x) و N يك متغير

آنگاه: N=n اگر X باشد توزيع شرطي گسستهتصادفي

)(*)(

)|()|(

)(*)(

)|()|(

)(*

)(

)|()|(

)(

)()|(

)(

),()|(

lim 0

xfnNP

xXnNPnxf

xfnNP

dxxXxnNP

dx

nNdxxXxP

dx

dxxXxP

nNP

dxxXxnNP

dx

nNdxxXxP

nNP

dxxXxPdxxXxnNP

nNP

nNdxxXxPnNdxxXxP

dx



oتوزيعهاي احتمال شرطي فرض كنيد تعداد 48مثال :N=n+m آزمايش هر يك با احتمال

با چگالي Xموفقيت يكسان كه خد يك متغير تصادفي پيوسته f(x)=1 ; 0<x<1 است. چگالي شرطي X اگر بدانيم در

n+m آزمايش nموفقيت داشته ايم چيست؟ :پاسخ

10;)(

)|(

)|(

)(*)(

)|()|(

)1(

)1(

xnNP

nxf

xXnNP

xfnNP

xXnNPnxf

xxC

xxCmnnm

n

mnnm

n



oاستقالل دو متغير تصادفي دو متغير تصادفيX و Y:از هم مستقلند اگر

اگرX و Y:گسسته باشند آنگاه RFFF yXYXYX

yxyxyx

yYPxXPyYxXP

dYcPbXaPdYcbXaP

],[,,);(*)(),(

)(*)())(),(

)(*)())()((

)()()()(

)()()()(

),(),(),(

};{},;{|

,);()(),(

,

],[

yxBYPAXP

xgyhyhxg

yxfBYAXPyx

yYyBxXxA

yxyhxgyxf

FF

F

R

YX

AxByBy Ax

By AxYX

yX



oاستقالل دو متغير تصادفي:به تعبيري ديگر

:در حالت پيوسته داريم

توجه: اگر برد بردار تصادفي[X,Y] مستطيل در فضاي دوبعديمستقل از هم نخواهند بود Y و X آنگاه شكل نباشد

)()(

)()(

)(

),()|(

)()(

)()(

)(

),()|(

yhxg

yhxg

xg

yxfxyf

xgyh

yhxg

yh

yxfyxf

)()(),()|()()|(

)()|(),()(

yhxgyxfyxfdyyhyxf

dyyhyxfdyyxfxg



oاستقالل دو متغير تصادفي مستقل 30: نشان دهيد متغيرهاي تصادفي مثال 51مثال

نيستند:پاسخ

چگالي توأم متغيرهاي تصادفي 52مثال :X و Y به صورت f(x,y)=x+y ; 0<x<1 , 0<y<1 است آيا X و Yمستقلند؟

:پاسخ

)1(*)0()1,0(7

30

28

6

28

6)1,()1(

14

5

28

1

28

6

28

3),0()0(

2

0

2

0

hgfxfh

yfg

x

y

)()(),(

10;2

1)(),()(

10;2

1)(),()(

1

0

1

0

yhxgyxf

yydxyxdxyxfyh

xxdyyxdyyxfxg



oاستقالل دو متغير تصادفي قضيه: فرض كنيد كهf(x,y) چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و

Y بر روي ناحيه مستطيل شكل از فضاي دوبعدي باشد آنگاه X را بتوان به صورت f(x,y) اگر و تنها اگر مستقلند Yو

و يك تابع غيرمنفي xحاصلضرب يك تابع غيرمنفي به تنهايي از به f(x,y)=f1(x)*f2(y) نوشت. به عبارت ديگر yبه تنهايي از f2(y)>0 و f1(x)>0طورب كه

:اثبات

)()()()()()()()(),(

1),()(*)(])(][)([

)()()()()(),()(

)()()()()(),()(

)()(),(

2211212121

211221

221221

112121

21

yhxgyxyxyxyxf

dxdyyxfdxdyyxdxxdyy

ydxxydxyxdxyxfyh

xdyyxdyyxdyyxfxg

yxyxf

fCfCffCCffffffCC

fCffff

fCffff

ff



oاستقالل دو متغير تصادفي چگالي توأم متغيرهاي تصادفي 53مثال :X و Y به

مستقلند؟Y و Xصورت زير مفروض است. آيا f(x,y)=8xy 0<x<y<1

پاسخ: تابع را مي توان به صورت دو تابع مجزا و غير نوشت ولي فضا مستطيل شكل Y وXمنفي از

نيست بنابراين متغيرها مستقل نيستند.



oبردارهاي تصادفي چند بعدي

)(

),...,,()|,...,,(

),,,,,(),,(6

...),...,,(...)(

),...,,(...

),...,,(

),...,,(...),...,,(

...),...,,(...),...,,(

),...,,(),...,,(

11

21132

631654321542

212111

2121

21

),...,,( 2121

21),...,,( 2121

221121

21

21

xfxxxxxxx

dxdxdxxxxxxxxxx

dxdxdxxxxxf

xxxxxxxxx

xxxXXX

dxdxdxxxxXXXxXxXxXxxx

nn

nn

nn

n

n

A nn

nA nn

nnn

ff

ffn

f

Ff

xxxfAP

xxxfAP

PF

n

n



oبردارهاي تصادفي چند بعدي فرض كنيد متغيرهاي تصادفي 59مثال :X1 و X2 و X3 مستقل

; f(xi)=2xi ; 0<xi<1اند و هر يك داراي چگالي احتمال i=1,2,3 در اينصورت اگر متغير تصادفي Y به عنوان بزرگترين

، تابع توزيع P(Y<=1/2)متغير تصادفي از ميان آنها باشد رابيابيد.Yتجمعي و چگالي

:پاسخ

10;6)(

1;1)(

10;0)(

0;0)()(

64

1)2

1,2

1,2

1()2(

3,2,1;10;)()()(),,(

5

6

6

321

5.0

0

5.0

0

5.0

0 321321

321332211321

)21(8

8

yy

yy

yy

yyYPy

PYP

if

yfF

yFF

dxdxdxxxxXXX

xxxxxfxfxfxxx

Y

Y

Y

Y

i

Documents

تئوري احتمال و كاربردآن