آمار و احتمال

دانشگاه صنعت آب و برق 1

آمار و احتمال

موسوی ندوشنی1383زمستان

مشخصات درسآمار و احتمال مهندسینام :3: تعداد واحد1: ریاضی پیش نیازاهداف درس :

آشنایی با مبانی احتمال•آشنایی با متغیرهای تصادفی•آشنایی با مفاهیم تابع احتمال و تابع توزیع •آشنایی با توزیع های خاص•آشنایی با گشتاورها )میانگین، واریانس، توابع مولد گشتاور(•آشنایی با توابع احتمال دو متغیره و گشتاورهای ضربی و •

کواریانس و ضریب همبستگیآشنایی با استباط آماری•آشنایی با توزیع های نمونه ای•


نحوه ارزيابي درس .ارزیابی درس به صورت زیر انجام خواهد شد

امتحان میان ترم:•30درصد :1388/8/28تاریخ

امتحان پایان ترم•60درصد :1388/10/30 تاریخ

تمرین•10درصد

: کسانی می توانند از امتیاز تمرین استفاده تذکر بسیار مهم•کنند که دارای شرایط زیر باشند.

تحویل داده باشند.مهلت مقرر تمرین ها را در درصد )امتحانات میان ترم و پایان ترم( را 90 درصد از 45حداقل

کسب نمایند.


مراجع و ماخذ آمار و احتماالت کاربردی، مسعود نیکوکار و

بهمن عرب زاده، ویرایش جدید

،آمار کاربردی، علی عمیدی، جلد اول و دوممرکز نشر دانشگاهی

،نظریه احتمال و نتیجه گیری آماریغالمحسین همدانی مؤسسه انتشارات علمی

۱۳۵۶دانشگاه صنعتی شریف،



ها انواع پدیدههای معین پدیده

هایی که نتایج آنها با توجه به روابط و پدیده•معادالت حاکم به دقت قابل شناسایی است.

های تصادفی پدیدههایی که نتایج آنها از قبل بطور دقیق قابل پدیده•

شناسایی نیست.


تعاریف اولیهتجربه یا آزمایش

تکرارپذیر•همگانی•

فضای نمونهمجموعه تمام نتایج یک آزمایش را گویند.•

پیشامدهای فضای نمونه را پیشامد گویند. زیر مجموعه


مثال:یک سکه را دوبار پرتاب می کنیم

فضای نمونه•

پیشامد روی دادن یک شیر•پیشامد روی دادن حداقل یک شیر•

{ },A TH HT S= Ì

{ }, , ,S TT TH HT HH=

{ }, ,B TH HT HH S= Ì


تعریف احتمال اگرA یک پیشامد باشد، احتمال آن به صورت زیر

خواهد بود.

در مثال قبل احتمال اینکه یک شیر بیاید چیست؟

در مثال قبل احتمال اینکه حداقل یک شیر بیایدچیست؟

( )( )

( )n A

P An S

=

2 1( )

4 2P A = =

3( )

4P B =


اصول احتمال کلمگروف اصول احتمال را به شرح زیر ارایه

داد:

،اگر فصل مشترک دو پیشامد تهی باشدخواهیم داشت.

( ) 1P S =

0 ( ) 1i i

P A A S£ £ " Ì

1 1

( ) if ( )i i i ji i

P A P A A A i j¥¥

= =

æ öç ÷= Ç = Æ ¹ç ÷ç ÷è ø åU

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A BÈ = + - Ç


پیشامدهای مستقل دو پیشامدA و B مستقل هستند اگر و فقط اگر

داشته باشیم:

مثال: احتمال حل مساله ریاضی توسط علی ¾ وای را برای حل به هر دو نفر احمد ½ باشد. مساله

می دهیم، احتمال اینکه مساله حل شود، چقدر است.

( ) ( ) ( )P A B P A P BÇ = ´

( ) ( ) ( ) ( )

3 1 3 14 2 4 278

P A B P A P B P A BÈ = + - Ç

= + - ´

=


پیشامدهای ناسازگار دو پیشامدA و B را ناسازگار گوییم اگر

امکان وقوع این دو پیشامد به طور هم زمان وجود نداشته باشد.

مهره 6 مهره قرمز، 5مثال: از ظرفی که مهره را تصادفی و بطور 3آبی دارد.

همزمان خارج می کنیم. مطلوبست احتمال مهره قرمز باشد، چیست؟2اینکه حداقل

A مهره قرمز باشد.3 مهره از 2 : پیشامد B مهره قرمز باشد.3 : پیشامد هر

( ) 0A B P A BÇ = ÆÞ Ç =

( ) ( ) ( )

5 6 5 6

2 1 3 0

11 11

3 3

P A B P A P BÈ = +

æöæö æöæöç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è øè ø è øè ø= +

æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø


احتمال متمم یا مکمل اگرA پیشامد متمم ′A:باشد، خواهیم داشت

( ) ( )

1

P A A P S¢È =

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

P A A P A P A P A A

P A P A P

P A P A

¢ ¢ ¢È = + - Ç

¢= + - Æ

¢= +

=

( ) 1 ( )P A P A¢ = -


احتمال پیشامدهای غیر مستقل یا شرطی

:مطابق تعریف، احتمال شرطی بصورت زیر است

:بنابراین داریم

:یا می توان داشت

:بنابراین داریم

( )( | ) ( ) 0

( )P A B

P A B P BP B

= ¹I

( ) ( | ) ( )P A B P A B P B=I

( )( | ) ( ) 0

( )P B A

P B A P AP A

= ¹I

( ) ( | ) ( )P B A P B A P A=I


مثال های احتمال شرطی 2 مهره آبی دارد، 6 مهره قرمز و 5از ظرفی که

مهره را به طور تصادفی و متوالی و بدون جایگذاری اختیار می کنیم. مطلوبست احتمال آنکه

هر دو مهره قرمز باشند.A.پیشامد اینکه مهره اول قرمز باشد :B.پیشامد آنکه مهره دوم قرمز باشد : ،در مثال باال اگر دو مهره هم زمان برداشت شوند

احتمال تغییر نمی کند.

( ) ( ) ( )

5 4 211 10 11

P A B P A P B A=

= ´ =

I

5

2( ) 2( )

11( ) 11

2

n cP C

n s

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø= = =

æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø

احتمال کل


فرض کنید که فضاینمونه افراز شود، یعنی

داشته باشیم:

پیشامدB با افراز مذکور دارای فصل

مشترک است. بنابراین احتمال کل

عبارتست از:

B

1

n

i i ji

S A A A i j=

= = Æ" ¹IU

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

i ii

P B P B A P A P B A P A P B A P A

P B A P A=

= + + +

= å

L

Ai


)Bay’sقضیه بیز ( اگر شرایط احتمال کل برقرار باشد، قضیه

بیز احتمال زیر را محاسبه می کند.( ) ( )( )

( )( ) ( )

k kkk

P B A P AP A BP A B

P B P B= =

I

1

( ) ( )( )

( ) ( )

k knk

i ii

P B A P AP A B

P B A P A=

=å


مثال قضیه بیز 50در یک کارخانه سه خط تولید وجود دارد. اولی

محصوالت آنرا 20 درصد و سومی 30درصد، دومی تولید می کند. اگر ضایعات هر خط تولید به ترتیب

درصد باشد.30 درصد و 20 درصد، 10برابر محصولی را به تصادف اختیار می کنیم، احتمال آنکه •

خراب باشد، چیست؟محصول انتخاب شده خراب است، احتمال آنکه محصول •

از خط دوم تولید شده باشد، چیست؟1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.5 0.1 0.3 0.2 0.2 0.3

0.17

P F P F L P L P F L P L P F L P L= + +

= ´ + ´ + ´

=

2 22

( ) ( ) 0.06 6( )

( ) 0.17 17P F L P L

P L FP F

= = =


تابع متغیر تصادفی تابعی که از فضای نمونه یک آزمایش تصادفی

به مجموعه اعداد حقیقی تعریف شود را تابع Y و Xمتغیر تصادفی می گویند و با عالمت

و ... )یکی از حروف بزرگ التین( نشان می دهند.

تابع متغیر تصادفی نوعی کدگذاری است. درواقع پیشامد را به یک عدد تبدیل می کند.

ای تعریف می شود تابع متغیر تصادفی به گونهکه نشان دهنده هدف آزمایش نیز می باشد.

:X S ® ¡


مثال متغیر تصادفیای را دو مرتبه پرتاب می کنیم در سکه

صورتی که هدف از این آزمایش شمارش تعداد خط باشد، متغیر تصادفی تعریف کنید

که این هدف را نشان دهد.

:برد تابع عبارتست از

{ , , , }

:

S TT TH HT HH

X S

=

® ¡

( ) 0 ( ) 1

( ) 1 ( ) 2

X HH X HT

X TH X TT

= =

= =

{0,1,2}


مثال متغیر تصادفی مهره آبی دارد، سه 6 مهره قرمز و 5از ظرفی که

مهره بطور هم زمان خارج می کنیم. در صورتی که هدف از این آزمایش شمارش تعداد مهره قرمز

باشد. متغیر تصادفی تعریف کنید که این هدف را نشان دهد.

.فضای نمونه به دو دسته تقسیم می شودگسسته: اگرتعداد عضوهای فضای نمونه متناهی و یا •

نامتناهی قابل شمارش باشد.پیوسته: اگر تعداد عضوهای فضای نمونه نامتناهی •

غیرقابل شمارش باشد.

:

0,1,2,3

X S

X

®

=

¡


انواع متغیر تصادفی گسسته: اگر فضای نمونه متغیر تصادفی

گسسته باشد. پیوسته: اگر فضای نمونه متغیر تصادفی

پیوسته باشد.تابع احتمالمتغیر تصادفی گسسته و

یک متغیر تصادفی گسسته هر کدام از مقادیر •خود را با احتمالی اختیار می کند. چون هر

مشاهده نماینده یک پیشامد است و هر پیشامد دارای یک احتمال است.

تعریف تابع احتمال: جدول یا فرمولی که مقادیر •یک متغیر را همراه با احتمال های مربوط به آن

نشان دهد. تابع احتمال یا توزیع احتمال گویند و با و... نشان می دهیم.fY(y) و fX(x)عالمت تابعی


مثال تابع توزیع احتمالای را سه مرتبه پرتاب می کنیم در سکه

نشان دهنده Xصورتی که متغیر تصادفی تعداد خط باشد. تابع احتمال این متغیر

تصادفی را به دو صورت جدول و فرمول تعیین کنید.

{ , , , , , , , }

0,1,2,3

S HHH HHT HTH THH TTH THT HTT TTT

X

=

=

( )

( )

3

3

3

01( 0) { }

8 23

13( 1) { , , }

8 2

P X P HHH

P X P HHT HTH THH

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø= = = =

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø= = = =


بقیه مثال

( )

( )

3

3

3

23( 2) { , , }

8 23

31( 3) { }

8 2

P X P HTT THT TTH

P X P TTT

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø= = = =

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø= = = =

X 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

3

3

( ) 0,1,2,32X

xf x x

æöç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø= =


خصوصیات تابع احتمال تابع توزیع احتمال یا تابع احتمال

P(X=x)=fX(x):دارای دو ویژگی است

متغیر تصادفیX دارای تابع احتمالی به را kصورت زیر می باشد. مقدار ثابت

محاسبه کنید.

( ) 0

( ) 1

i i

i

P X x x

P X x

= ³ "

= =å

1( ) 0,1,2,

3

x

Xf x k xæöç ÷= =ç ÷ç ÷è ø

L

0 0

1( ) 1 1

31 2

11 3

13

x

Xx x

f x k

k k

¥ ¥

= =

æöç ÷= Þ =ç ÷ç ÷ç ÷è ø

= Þ =-

å å


ای نمودار میلهزوج ( های مرتبx,P(X=x) را در صفحه )

مختصات مشخص کرده و از این نقاط بر X ها عمود می کنیم.xمحور 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

0 1 2 3

1/8

x

P)X=x(

3/8


تابع توزیع تجمعی اگرX یک متغیر تصادفی با تابع احتمال fX(x)

باشد، تابع توزیع تجمعی این متغیر که با نشان داده می شود را FX(x)عالمت تابعی

به صورت زیر تعریف می کنیم:( ) ( ) ( )

( ) :

Xt x

X

F x P X x f t

F x£

= £ =

®

å¡ ¡


مثال تابع توزیع تجمعی در صورتی که متغیر تصادفیX دارای تابع احتمالی

به صورت زیر باشد، تابع توزیع تجمعی این متغیر را Xتعیین کنید. 0 1 2 3

fX(x) 1/5

2/5 1/5 1/50 0

1(0) 0 1

53

( ) (0) (1) 1 25

4(0) (1) (2) 2 3

5(0) (1) (2) (3) 1 3

X

x

f x

F x ff x

ff f x

ff ff x

ì <ïïïïï = £ <ïïïïïï= + = £ <íïïïïï + + = £ <ïïïï + + + = ³ïïî

نمایش هندسی تابع توزیع تجمعی

.تابع توزیع تجمعی مثال قبل را رسم کنید


0 1 2 3

1/5

X

2/5

3/5

4/5

5/5

F)x(


خصوصیات تابع توزیع تجمعی

.تابع غیر نزولی است اگرX پیوسته باشد، تابع احتمال X را تابع

probability density functionچگالی احتمال )(pdf)نامند و با ( میfX(x).نشان می دهند

0 ( ) 1

lim ( ) 0 lim ( ) 1X

X Xx x

F x

F x F x®- ¥ ®¥

£ £

= =


تابع چگالی احتمال (حالت پیوسته)

خصوصیات تابع چگالی احتمال

a b

Rf(x)

( ) Area of R= ( )b

X

a

P a X b f x dx< < = ò

( ) 0

( ) 1

X

X

f x x

f x dx¥

- ¥

³ "

=ò


)1مثال تابع چگالی احتمال (آیا تابع زیر یک تابع چگالی احتمال است؟

:حل

1100 0

100( )0 otherwise

xf x

ìï < <ïï= íïïïî

1100

0

( ) 0

( ) 100 1

f x

f x dx dx¥

- ¥

³

= =ò ò

)2مثال تابع چگالی احتمال ( اگرX متغیری با تابع چگالی احتمال زیر

را بیابید.kباشد، مقدار ثابت

:حل


2( )

1X

kf x x

x= Î

+¡

2

11

1

kdx k

x p

¥

- ¥

= Þ =+ò


تابع توزیع تجمعی در حالت پیوسته

اگرX متغیری پیوسته با تابع چگالی احتمال fX(x) باشد. تابع نشان می دهیم و به FX(x)توزیع تجمعی این متغیر را با صورت زیر تعریف می کنیم:

( ) ( ) ( )x

XF x P X x f t dt- ¥

= £ = ò

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

b

X X X Xaa

P a X b f x dx F x F b F a< < = = = -ò

ارتباط بین تابع چگالی احتمال و تابع توزیع احتمال


( ) Pr( ) ( )x

XF x X x f t dt- ¥

= £ = ò

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.4

0.8

F(x)

( ) ( ( ))X

df x F x

dx=

f(x)

Documents

آمار و احتمال