Уравнения высших

степеней.

Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x))

уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод можно применять только в том случае,

когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

Решить уравнение(3x + 2)²³ = (5x – 9)²³

y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения (3x + 2)²³ = (5x – 9)²³ можно перейти к уравнению 3x + 2 = 5x – 9, откуда находим x = 5,5.

Ответ: 5,5.

Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить

совокупностью уравнений

f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0.

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Решить уравнение x³ – 7x + 6 = 0 Представив слагаемое 7x в виде x + 6x,

получим последовательно:x³ – x –6x + 6 = 0

x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0

(x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению

совокупности уравнений x –1 = 0; x² + x – 6 = 0.

Ответ: 1, 2, – 3.

Введение новой переменной.

Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений

g(x) = u1; g(x) = u2; … ; g(x) = un ,

где u1, u2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.

Решить уравнение

Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными.

Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x² получаем

02332 234 xxxx

023

1322

2 xx

xx

011

31

22

2

xx

xx

Введем новую переменную

Тогда

Получаем квадратное уравнение

Так как корень y1 = – 1 можно не рассматривать. Получим

Ответ: 2, 0,5.

xxy

1

.21

è21 2

22

222 y

xx

xxy

.5,2,1

0532,01322

21

22

yy

yyyy

,21

x

xy

5,0,2

015,2,5,21

21

2

xx

xxx

x

Решите уравнение6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное.

Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7x +12=0 решениями не являются).

Теперь обозначим

Имеем

Отсюда

Ответ:

.127

42

2

txx

x

.3

1,

2

1,0156 21

2 tttt

3

1

127

4è

2

1

127

42

2

2

2

xx

x

xx

x

.3

11,1,

4

31,0 4321 xxxx

Функционально – графический метод.

Если одна из функций у = f(x),y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

Решить уравнение

Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень.

Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только

один корень. Ответ: 2.

04255 xx

.5425 xx 5xy

xy 542

Подбор корней Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми

коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет

дробных корней. Теорема 3:

0...110

nnn axaxa

,0 q

px

q

p

Пусть

– уравнение с целыми

коэффициентами. где p и q – целые числа

несократима, является корнем уравнения,

то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель коэффициента при старшем члене a0 .

Если число

и дробь

Теорема Безу.Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a.

Следствия теоремы Безу Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность

этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как

на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму

этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих

чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на

сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность

этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда

число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его

степень.

Решить уравнение x³ – 5x² – x + 21 = 0

Многочлен x³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21.

Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем.

По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3).

Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7).

Ответ: 221,3 3,21 xx

Решить уравнение 2x³ – 5x² – x + 1 = 0

По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями.

Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4:

8x³ – 20x² – 4x + 4 = 0 Сделав подстановку 2x = t, получим t³ – 5t² – 2t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны

быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно

По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ – 5x² – x + 1 делится на (x + 0,5): 2x³ – 5x² – x + 1 = (x + 0,5)(2x² – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2x² – 6x + 2 = 0, находим остальные

корни: Ответ:

.5,01 x

.2

533,2

x

.2

53,5,0 3,21

xx

Решить уравнение 6x³ + x² – 11x – 6 = 0

По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел

Подставляя их поочередно в уравнение,

найдем, что

уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения.

Ответ:

.6

1,

3

2,

3

1,

2

3,

2

1,6,3,2,1

3

2,

2

3,1 321 xxx

.3

2;

2

3;1

удовлетворяют

Формулы Виета. Для корней

имеют место формулы:

0...110

nnn axaxa

.)1(...

.............................................................................................

,......

,......

,...

0321

0

31243221421321

0

213213121

0

121

a

axxxx

a

axxxxxxxxxxxxxxx

a

axxxxxxxxxx

a

axxx

nnn

nnnn

nnn

n

nxxx ...,,, 21 уравнения

Найти сумму квадратов корней уравнения x³ + 3x² – 7x +1 = 0 По теореме Виета

Заметим, что

откуда

.1

7

3

321

323121

321

xxx

xxxxxx

xxx

,222 32312123

22

21

2321 xxxxxxxxxxxx

.23723

22

3231212

32123

22

21

xxxxxxxxxxxx

Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.

.0233.0184540152

.0231624.020072006

.Íàéäèòåêîðíÿ.íûõîòðèöàòåëüöåëûõðàçëè÷íûõ

3èìååò,ãäå,06óðàâíåíèå÷òî,Èçâåñòíî

.067672.433372

.013328.0121212

.159.0242

.111

:Íàéäèòå

.01156óðàâíåíèÿêîðíè,,Ïóñòü

.10.0254

.01625.9522

.065.31210654

23234

343

23

23422

232222

9923

323121

23321

323

2355

72

xxxxxxx

xxxxx

a

acxbxax

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxx

yyyxx

xxxxxxx

18.17.

16.15.

14.

13.12.

11.10.

9.8.

7.

6.5.

4.3.

2.1.

Ответы и указания:1. Введение новой переменной.2. Функционально – графический метод.3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).4. Разложение на множители.5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод.7. Применение формул Виета.8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).10. Введение новой переменной.11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной.13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета.15. Функционально – графический метод.16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной.18. Разложение на множители.

1. Указание. Запишите уравнение в виде

4(x²+17x+60)(x+16x+60)=3x²,

Разделите обе его части на x². Введите переменную

Ответ: x1 = – 8; x2 = – 7,5.

4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и

– 6y и запишите его в виде

(y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8).

Ответ:

.60

16x

xó

.2

413,

2

413,1

14. Указание. По теореме Виета

Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3.

Ответ:

15. Ответ: –1.

17. Указание. Разделите обе части уравнения на x²

и запишите его в виде

Введите переменную

Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

.0403

159

22

2

xx

xx

.3

xxy

axxx ,,, 321

.1a

.6

321 axxx

Самостоятельная работа.

Решите уравнения:

Вариант 1. Вариант 2.

01110).4

0153232).3

061312136).2

0863).1

3

23

234

23

xx

xxx

xxxx

xxx

043).4

014156).3

062512256).2

048163).1

5

23

234

23

xx

xxx

xxxx

xxx

Ответы.

Вариант 1. Вариант 2.

.1).4

.5;5,0;3).3

.2

11;

3

2).2

.2;1;4).1

.1).4

.2).3

.3;2;3

1;

2

1).2

.4;3;4).1

Библиография. Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993). Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.:

Просвещение, 2000). Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9»

(М.: Просвещение, 1997). Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.:

Просвещение, 1999). Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.:

Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение,

1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994). Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к

газете «Первое сентября», №2, 3, 2003). Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика,

приложение к газете «Первое сентября», №3, 2005).