{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка - общее решение линейного однородного дифференциального уравнения - формула Остроградского – Лиувилля - теорема о понижении порядка - структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения - метод Лагранжа вариации произвольных постоянных – пример }

Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка имеет вид y(n)+p1(x)y(n-1)+….+ pn-1(x)y’+pn(x)y = f(x) , где y – искомая функция, а pk(x) и f(x) – заданные функции, определенные и непрерывные на некотором отрезке [a,b].

Частное решение получается при закреплении постоянных C1 , C2 , … ,Cn , получаемое с использованием начальных условий.

При уравнение называется неоднородным, при f(x) = 0 – однородным.

0xf )(

Общим решением уравнения является функция y = (x, C1, C2, ……, Cn ) , зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

Если функция f - правая часть дифференциального уравнения

y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1))

является непрерывной в некоторой замкнутой (n+1) - мерной области D пространства: oxyy’,…,y(n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по каждому из аргументов функции f , то каждой внутренней точке P0 (x0,y0,y’0,….,y0

(n-1)) области D соответствует, и притом

единственное, решение y = (x), удовлетворяющее заданным начальным условиям

y = y0, y’ = y’0 , ….. , y(n-1)0 при x = x0

т.е. (n)(x)= f(x, (x), ’(x), ….., (n-1)(x) ); (x0) = y0, ……., (n-1)(x0) = y(n-1)0

Однородное линейное уравнение допускает нулевое решение. Это (тривиальное) решение соответствует нулевым начальным условиям.

Введем линейный дифференциальный оператор

Дифференциальные уравнения запишутся как или .

Если y1 (x) является решением неоднородного уравнения, то

Оператор L обладает свойствами линейности и линейной комбинации

Тривиальное решение однородного уравнения:

)()()( xPdxd

xPdxd

xPdxd

L n1n1n

1n

1n

n

yxPdxdy

xPdx

ydxP

dxyd

yL n1n1n

1n

1n

n

)()()()(

)()( xfyL 0yL )(

00yL 0y )(

)()( xfyL 1

)()()( vLuLvuL )()( uLuL )()()( kk11kk11 uLuLuuL

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух функций и если известны частные решения уравнений с каждым из слагаемых в правой части, то сумма этих частных решений есть частное решение исходного дифференциального уравнения

Теорема - о частных решениях однородного линейного уравненияЛюбая линейная комбинация частных решений линейного однородного дифференциального уравнения также является частным решением этого уравнения Доказательство

000yyL 0yL 0yL kk11k1 )(,)(,,)( Теорема - о частных решениях неоднородного линейного уравнения

Доказательство

)()(),()()()()()()( xfyL xfyL xfxfxf xfyL 221121

)()()()()()( xfxfxfyLyL yyL 212121

Теорема - о связи частных решений неоднородного и однородного линейных уравнений

Доказательство

0xfxfyLyLyyL 1212 )()()()()(

Разность любых двух частных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения есть частное решение соответствующего(с той же левой частью) однородного линейного уравнения

Понятие линейной независимости частных решений рассмотрим на примере однородного дифференциального уравнения второго порядка

)()( xqdxd

xpdxd

L 2

2

0yL )(

Две функции y1 и y2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их линейная комбинация не обращается в ноль ни каких значениях коэффициентов (не обращающихся одновременно в ноль), т.е. если )00( 0yy 21

В противном случае функции называются линейно зависимыми.

Две функции y1 и y2 и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным constyy 21 /

В противном случае функции называются линейно зависимыми.

@@ Решить дифференциальное уравнение второго порядка:

0ydx

yd2

2

xy1 sin xy2 cos

constxx

cossin

0xx cossin

xCxCY 21 cossin

Решение

Две функции y1 и y2 и являются линейно независимыми на некотором интервале, если их вронскиан на этом интервале нигде не обращается в ноль т.е. если:

В противном случае функции называются линейно зависимыми.

21

2121 yy

yyyyW

),( 212121 yyyyyyW ),(

Определителем Вронского называется функциональный определитель

0yy

yyyyW

21

2121

),(

то общее решение однородного линейного уравнения есть комбинация линейно независимых частных решений

)()()(

),,,(

1nn

1n2

1n1

n21

n21

n21

n21

yyy

yyy

yyy

yyy

yyyW

Для линейного однородного дифференциального уравнения n- го порядка вронскиан запишется в виде

Если 0yyyW n21 ),,,(

nn2211 yCyCyCY

@@ Решить ЛОДУ 2 с заданными начальными условиями :

0x

ydxdy

x1

dx

yd22

2

x1

y xy 21 , xC

xCY 21 0

x2

x

11

x1

x

x1

xW

2

),(

01xx

CxC 2

1

x21

2x

Y

Решение

1(1)y 01y ,)(

11xx

CC 2

21

21

C 21

C1CC

0CC21

21

21 ,

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых частных решения y1 и y2 .

0yxqdxdy

xpdx

yd2

2

)()(

Если известно одно из частных решений – y1 , то второе можно найти по формуле Остроградского - Лиувилля

x

0xdxxp

21

12

ey

dxyy

)(

~2211 yCyCY ~

@@ Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка :

0x

ydxdy

x1

dx

yd22

2

xy1

xC

xCY 21

Решение

x21

x21

xxdx

xex

dxx

ex

dxxy 23x2

dxx1

22

ln

~