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自动控制理论论

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第二章控制系统的数学模型2.1 绪言 2.2 线性元件的微分方程及求解2.3 控制系统复域数学模型2.4 典型环节及其传递函数2.5 控制系统的方块图2.6 信号流图与梅逊公式本章小结、重点和习题

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2.1 绪言１．本章主要内容　　　本章主要讨论系统微分方程、传递函数和结构图，信号流图、梅逊公式及其应用。２．数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式

数学模型微分方程传递函数方框图和信号流图状态空间模型

图 2-1

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3 ．物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。4 ．数学建模：从实际系统中抽象出系统数学模型的过程5. 建立控制系统数学模型的方法有：

a. 机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。b. 实验辩识法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。

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实验法：基于系统辨识的建模方法

已知知识和辨识目的实验设计 -- 选择实验条件模型阶次 -- 适合于应用的适当的阶次参数估计 -- 最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近

黑匣子输入（已知）输出（已知）图 2-2

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分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。

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2.2 线性元件的微分方程及其求解一．微分方程：是一种输入 ---- 输出描述，给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统的输出 .

（ 1 ）确定系统的输入量和输出量（ 2 ）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。

（ 3 ）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。

二．列写线性系统微分方程的主要步骤

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三．举例说明线性元件微分方程的建立例 2-1: 图 2-1 为由一 RC组成的四端无源网络。试列写以U1 （ t ）为输入量， U2(t) 为输出量的网络微分方程。

U1

R1 R2

U2C1 C2

图 2-3 RC 组成的四端网络

解：设回路电流 i1 、 i2 ，根据基尔霍夫定律，列写方程组如下：

22 cUU (5)

dtiC

U c 22

21

(4)

2221 cc UiRU (3)

dtiiC

U c )(121

11 (2)

1111 cUiRU (1)

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dtdU

CdtdU

Ci c 22

222

由②导出：

dtdU

CdtdU

CidtdU

Ci cc 22

112

111

将 i1 、 i2 代入①、③，则得

1 1 1 2 2 2cU R i R i U

22

222

21

11 )( UdtdU

CRdtdU

CdtdU

CR c

由④、⑤得：22 cUU (5) dti

CU c 2

22

1(4)

dtiiC

U c )(121

11 (2)

2221 cc UiRU (3)

1111 cUiRU (1)

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22

222

222211 ])([ UdtdU

CRdtdU

CUiRdtdCR

22

222

212

1122

2

2211 UdtdU

CRdtdU

CRdtdU

CRdtUd

CRCR

122

22211122

2

2121 )( UUdtdU

CRCRCRdtUd

CCRR

这就是 RC 组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。

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例 2-2 试证明图 2-4 示 (a) 、 (b) 所示的机、电系统是相似系统 ( 即两系统具有相同的数学模型 ) 。图 2-4 电机相似系统

B1

B2

K1

K2

Xr

Xc

（ a ）系机械统

R2 C2

R1C1

Ur Uc

(b) 气电系统

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r c c1 r c 1 2 c 2K (X -X ) B ( X -X ) K X B X

c1 2 1 2 1 1( ) X ( ) Xrc rB B K K X B K X

解：对机械网络：输入为 Xr ，输出为 Xc ，根据力平衡，可列出其运动方程式

B1

B2

K1

K2

Xr

Xc

（ a ）系机械统

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对电气网络 (b) ，列写电路方程如下：

1 c1 2 c2 CU C U ②

c 1 c1iU R U ③

1 2 c1 c2 r(R )i U U UR ④

2 12 1

1 1rR i idt R i idt U

C C 1

R2 C2

R1C1

Ur Uc

(b) 气电系统

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利用②、③、④求出

代入①将①两边微分得1)

211(21

)211(

RCCRR

UcCCUr

i

1 2 11 2 1

1 1 1( ) ( )c c r rR R U U R U UC C C

c1 2 1 2 1 1( ) X ( ) Xrc rB B K K X B K X

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力 - 电压相似

机系统（ a ）和电系统（ b ）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统 ......

因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。

1/C21/C1电阻R2

电阻R1

电气

弹性系数K2

弹性系数K1

阻尼B2

阻尼B1

机械

图 2-5

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四线性微分方程的求解

2. 数学工具－拉普拉斯变换与反变换

(.1. 经典解法 :ω(t) = ωp(t) + ωh(t) 特解通解还可分为 ω(t) = ω∞(t) + ωt(t)

稳态解暂态解a2[s2 (s) – sω(0)- ]+a1[s (s) – ω(0)]+a0 (s) = b1[sUg(s) – ug(0)]+b0Ug(s)整理，得 (s) = 1(s) + 2(s) = Ug(s)+

∴ ω(t) = ω1(t) + ω2(t) 零状态解零输入解（自由响应）

(0)

1 02

2 1 0

b s ba s a s a

2 2 1 12

2 1 0

0 0 0 0ga s a a bua s a s a

2 1 0 1 0g ga a a bu b u

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1 。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换

0( ) stf t e dt

0

( ) [ ( )] ( ) stF s L f t f t e dt

⑴ 拉氏变换定义设函数 f(t) 满足 ① t<0 时 f(t)=0 ② t>0 时， f(t) 分段连续则 f(t) 的拉氏变换存在，其表达式记作：⑵拉氏变换基本定理

1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( )] ( ) ( )L a f t a f t a F s a F s 线性定理 [ ( )] ( )atL e f t F s a 位移定理

[ ( )] ( )sL f t e F s 延迟定理

0lim ( ) lim ( )

t sf t sF s

终值定理

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0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

( )[ ] ( ) (0)df tL sF s fdt

2

2 '2

( )[ ] ( ) (0) (0)d f tL s F s sf fdt

1( ) (0)[ ( ) ] F s fL f t dts s

1 2

2 2

( ) (0) (0)[ ( ) ] F s f fL f t dts s s

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

m

n

k s z s z s zB sF sA s s p s p s p

1 2

1 2

( ) n

n

aa aF ss p s p s p

( )[ ( )]( ) kk k s pB sa s pA s

初值定理微分定理积分定理⑶ 拉氏反变换：

F(s) 化成下列因式分解形式：

a ． F(s) 中具有不同的极点时，可展开为

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31 2

1 2 3

( )( )( )

n

n

a aa s aF ss p s p s p s p

1 11 2 1 2( )[ ] [ ( )( )]( )s p s pB sa s a s p s pA s

c.F(s) 含有多重极点时，可展开为 1 1 1

11 1 1 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nr r rr r

r n

ab b b aF ss p s p s p s p s p

11( )[ ( ) ]( )

rr s p

B sb s pA s

1 1 1( ){ [ ( ) ]}( )

rr s p

d B sb s pds A s

1 11 ( ){ [ ( ) ]}! ( )

jr

r j s pj

d B sb s pj ds A s

1

1

1 11

1 ( ){ [ ( ) ]}( 1)! ( )

rr

s pr

d B sb s pr ds A s

其余各极点的留数确定方法与上同。

b.F(s) 含有共扼复数极点时，可展开为

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2.3 控制系统的复域数学模型一．传递函数１．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

)()(sRsC

零初始条件输入信号的拉氏变换

输出信号的拉氏变换传递函数

系统微分方程的一般形式为：1

1 11

1

0 1 1 11

( ) ( ) ( )...... ( )

( ) ( ) ( )...... ( )

n n

n nn n

n n

n n

d c t d c t dc ta a a c tdt dt dtd r t d r t dr tb b a a r tdt dt dt

设 R(s) = L[r(t)], C(s) = L[c(t)], 当初始条件均为 0 时 , 有 (sn+a1sn-1 +…+ an-1s+an)C(s) = (b0sm+b1sm-1+…+bm-

1s+bm)R(s) 10 1 1

11 1

( )( )

m mm m

n nn n

b s b s b s bC SR S s a s a s a

即传递函数 :

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（５）与微分方程的区别及联系微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。

二．几点结论：（ 1 ）传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的

（ 2 ）如果已知系统的传递函数和输入信号 , 则可根据式（ 2-36 ）求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式 C （ S ） , 再求 C （ S ）的拉氏反变换可得到系统的响应 c(t) 。所以传递函数和微分方程、传递函数与时域响应之间都具有密切联系（ 3 ）传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式（ 4 ）同一系统的输出对不同的输入量有不同的传递函数，但特征多项式相同

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-- 》机械系统传递函数

( )( )c

r

X sX s

( )( )c

r

U sU s

1 2 1 2 1 1( ) ( )c c c rB B X K K X B X K X

1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c r rB B SX s K K X s B SX s K X s

1 1

1 2 1 2

( )( ) ( )c

r

X s B s KX s B B s K K

1 2 11 2 1

1 1 1( ) ( )c rc rR R U U R U UC C C

例 2-5 求例 2-2 机械系统与电路系统的传递函数和解：

1 2 11 2 1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c r rR R SU s U s R SU s U sC C C

-- 》电系统的传递函数11

1 21 2

1( )

1 1( ) ( ) ( )

c

r

R SU s CU s R R S

C C

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性质 1 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数， m≤n ，且所具有复变量函数的所有性质。三．传递函数的几点性质

性质 2 G(s) 取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质 3 G(s) 虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。性质 4 如果G(s) 已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。

性质 5 如果系统的 G(s) 未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s) 可以给出该系统动态特性的完整描述。性质 6 传递函数与微分方程之间有关系。

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性质 7 传递函数 G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应 g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数） g(t) 是系统在单位脉冲输入时的输出响应。

例 2-6 在例 2-1 中，设当输入为单位阶跃函数 , 即　时 , 求输出解：根据例 1 得到的微分方程。

( ) [ ( )] 1R s L t

1 1

0 0( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

t tc t L C s L C s R s r t g t d r t g d

21 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R C C S U s RC RC R C SU s U s U sS

2 21 2 1 2 1 1 1 2 2 2

1( )[ ( ) 1]

U sS R R C C S RC RC R C S

4 2

1(1.2 10 0.462 1)S S S

4101.2 ( 2.166)( 3847.85) 2.166 3847.85

a b cS S S S S S

1 2 1 220 , 3 , 0.1 , 20R K R K C F C F

1( )U t 1( ) 1( )U t t 2 ( )U t

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2 0( ) 1sa U s S 4

2.16610 1.000043

1.2 ( 3847.85) sbS S

44

3847.8510 5.63 10

1.2 ( 2.166) scS S

2.166 4 3847.852 ( ) 1 1.00043 5.63 10t tU t e e

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四．传递函数的极点和零点对输出的影响

极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。

* 1

1

( )( )( )( ) ( )

m

iin

jj

S ZM sG s KN s S P

( 1,2, , )i m

( 1,2, , )j n

iZ

jP

为传递函数的零点为传递函数的极点

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零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

- 0. 5- 1. 33

- 1- 2 z1z2

Í¼2- 7 ´«µÝº¯ ÊýµÄÁã¼«µãÍ¼

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2.4 典型环节及其传递函数由微分方程直接得出的传递函数是复变量 s 的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次 n 不低于分子多项式的阶次 m ，分母多项式阶次为 n 的传递函数称为 n 阶传递函数，相应的系统称为 n 阶系统。传递函数可表示成复变量 s 的有理分式 :

传递函数可表示成零、极点表示：* 1

1

( )( )( )( ) ( )

m

iin

jj

S ZM sG s KN s S P

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　　系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点 , 并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况 ,则传递函数的后两种表示的一般形式为：

　　可见，系统传递函数是由一些常见基本因子 , 如式上中的 (js+1) 、 1/(Tis+1) 等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。

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1. 比例环节比例环节又称放大环节，其输出与输入成比例关系

K ：比例系数或放大系数，增益其传递函数：

( ) ( )c t Kr t

( )( )( )

C sG s KR s

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2 ．惯性环节　　惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：

式中 T—— 惯性环节的时间常数　　 K—— 比例系数。

( )1

KG sTs

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3 ．积分环节

输出量与输入量的积分成比例，系数为 K 。积分环节的传递函数为：

积分环节的动态方程为：

　　积分环节具有一个零值极点，即极点位于 S 平面上的坐标原点处。 T 称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为：　　　　　　　　　　　 C （ t ） =Kt

　　上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。

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4 ．振荡环节振荡环节的微分方程是：

相应的传递函数为：

式中 T—— 时间常数； ——阻尼系数（阻尼比），且 0 ＜＜ 1 。振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点 , 在复平面 S 上的位置见右图所示 , 传递函数可改写为：n=1/T—— 无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：

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5 ．微分环节　　微分是积分的逆运算 ,按传递函数的不同 , 微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为：

相应的传递函数为：

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6 ．延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入信号，即：

　式中 ——纯延迟时间。单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示．根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：

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一．方框图的基本概念１．控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。

2.5 控制系统的方块图

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前述几种典型环节的方框图如下图所示：

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（ 1 ）方块（ Block Diagram ） : 表示输入到输出单向传输间的函数关系。

G( s )R( s ) C( s )

图 2-12 方块图中的方块

信号线方块

r(t) c(t)

二．方块图元素

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（ 2 ）比较点（合成点、综合点） Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+” 表示相加，“ -” 表示相减。“ +” 号可省略不写。

+Υ1 Υ1+Υ2

Υ2

+ -

)()( 21 sRsR )(1 sR

)(2 sR

Υ1 Υ1- Υ2+Υ3

Υ2

-

Υ3 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。图 2-13

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(3) 分支点（引出点、测量点） Branch Point表示信号测量或引出的位置

(4) 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。

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1 2( ) ( ) ( ) ( )( )

C s G s G s G sE s

( ) ( )( )B s H sC s

(1) 前向通道传递函数 -- 假设 N(s)=0 , 打开反馈后，输出 C(s)与 R(s) 之比。等价于 C(s) 与误差 E(s) 之比 (2) 反馈回路传递函数假设 N(s)=0, 主反馈信号 B(s) 与输出信号 C(s) 之比。

+ +

H(s)

-+

R(s)E(s)

B(s)

N(s)

打开反馈

)(1 sG )(2 sGC(s)

图 2-15 反馈控制系统方块图

三．几个基本概念及术语

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(3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设 N(s)=0 主反馈信号 B(s) 与误差信号 E(s) 之比。1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )B s G s G s H s G s H sE s

+ +

H(s)

-+

R(s)E(s)

B(s)

N(s)

)(1 sG )(2 sGC(s)


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(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设 N(s)=0 输出信号 C(s)与输入信号 R(s)之比。1 2( ) ( )( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )G s G sC s G s

R s H s G s H s G s

推导：因为 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )C s E s G s R s C s H s G s

右边移过来整理得 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

C s G sR s H s G s

( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 1

C s G sR s H s G s

前向通路传递函数开环传递函数

即

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(5) 误差传递函数假设 N(s)=0 误差信号 E(s) 与输入信号 R(s) 之比。( ) 1 1( ) 1 ( ) ( ) 1E sR s H s G s

开环传递函数

( ) ( ) ( )C s E s G s 代入上式，消去 G(s) 即得：将

)()(1)(

)()(

sGsHsG

sRsC

**

+ +

H(s)

-+

R(s)E(s)

B(s)

N(s)

)(1 sG )(2 sGC(s)


23/4/2423/4/24 4545电气与新能源学院


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电子笔

-N(s) C(s)

H(s)

)(2 sG

)(1 sG图 2-16 输出对扰动的结构

利用公式 **，直接可得：2 ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( )NG sC sM s

N s G s H s

(6) 输出对扰动的传递函数假设 R(s)=0)()(1

)()()(

sGsHsG

sRsC

**

+ +

H(s)

-+

R(s)E(s)

B(s)

N(s)

)(1 sG )(2 sGC(s)


23/4/2423/4/24 4646电气与新能源学院


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（ 7 ）误差对扰动的传递函数假设 R(s)=0

H(s)N(s) E(s)＋)(1 sG

)(2 sG -1

图 2-17 误差对扰动的结构图 2 ( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( )NEG s H sE sM s

N s G s H s

利用公式 ** ，直接可得：

)()(1)(

)()(

sGsHsG

sRsC

**

+ +

H(s)

-+

R(s)E(s)

B(s)

N(s)

)(1 sG )(2 sGC(s)


23/4/2423/4/24 4747电气与新能源学院


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电子笔

　　线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ ( Ｓ ) 与扰动Ｎ ( Ｓ )同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：2 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )r NG sG sC s C s C s R s N s

G s H s G s H s

21 ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

G s H sE s R s N s

G s H s G s H s

注意：由于 N(s) 极性的随机性，因而在求 E(s) 时，不能认为利用 N(s) 产生的误差可抵消 R(s) 产生的误差。

23/4/2423/4/24 4848电气与新能源学院


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（ 1 ）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（ 2 ）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。系统方块图 - 也是系统数学模型的一种。

四．方块图的绘制

23/4/2423/4/24 4949电气与新能源学院


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R

Ci

（a）iu ou

图 2-18 一阶 RC 网络

解：由图 2-20 ，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：i o

o

u ui

Ridt

uc

对其进行零初始条件下的拉氏变换得： ( ) ( )

( ) (1)

( )( ) (2)

i o

o

U s U sI s

RI sU ssC

例１：画出下列 RC 电路的方块图。

23/4/2423/4/24 5050电气与新能源学院


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将图（ b）和 (c) 组合起来即得到图 (d) ，图(d) 为该一阶 RC网络的方块图。

（b）

I (s))(sUi

)(sUo

I(s)

（c）)(sUo

1R

1SC

图 2-19

（d）－

I (s ) )(sUo

)(sUo

)(sUi

图 2-20

1R

1sC

23/4/2423/4/24 5151电气与新能源学院


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电子笔

例２：画出下列 R-C 网络的方块图

分析：由图 2-21 清楚地看到，后一级 R2-C2 网络作为前级R1-C1 网络的负载，对前级 R1-C1 网络的输出电压　　产生影响，这就是负载效应。 1cu

23/4/2423/4/24 5252电气与新能源学院


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解：（ 1 ）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图 (b) ；（ 2 ）根据列出的 4 个式子作出对应的框图；（ 3 ）根据信号的流向将各方框依次连接起来。 1

1

1

11

1 2

1

22

2

2

( ) ( )( ) (1)

( ) ( )( ) (2)

( ) ( )( ) (3)

( )( ) (4)

r C

C

C c

c

U s U sI s

RI s I s

U ssC

U s U sI s

RI s

U ssC

例２

23/4/2423/4/24 5353电气与新能源学院


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电子笔

1

1

1

11

1 2

1

22

2

2

( ) ( )( ) (1)

( ) ( )( ) (2)

( ) ( )( ) (3)

( )( ) (4)

r C

C

C c

c

U s U sI s

RI s I s

U ssC

U s U sI s

RI s

U ssC

23/4/2423/4/24 5454电气与新能源学院


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如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22 所示。则此电路的方块图如图 (b) 所示。

23/4/2423/4/24 5555电气与新能源学院


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方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方程的运算。常用的方框图等效变换方法可归纳为两类。环节的合并 ; 信号分支点或相加点的等效移动。方框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数学关系保持不变，因此方框图变换是一种等效变换，同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以方框图变换是一些简单的代数运算。

（－）环节的合并环节之间互相连接有三种基本形式：串联、并联和反馈连接。

五 . 方框图的等效变换

23/4/2423/4/24 5656电气与新能源学院


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1．环节的串联特点 : 前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号，下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：

要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时

23/4/2423/4/24 5757电气与新能源学院


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上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有 n 个环节串联则等效传递函数可表示为：

23/4/2423/4/24 5858电气与新能源学院


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2. 环节的并联环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减），下图所示为三个环节的并联，图中含有信号相加点。从图中可见 :

等效传递函数为：

23/4/2423/4/24 5959电气与新能源学院


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电子笔

以上结论可推广到一般情况，当有 n 个环节并联时，其输出信号相加则有等效传递函数

23/4/2423/4/24 6060电气与新能源学院


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3 ．反馈连接将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。

负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。

正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。

23/4/2423/4/24 6161电气与新能源学院


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上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复的系统 , 例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时 ,仅靠这三种方法是不够的。（二）信号相加点和信号分支点的等效变换

对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。

23/4/2423/4/24 6262电气与新能源学院


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电子笔

C( s)R( s)£«

G (s )

Q( s)±È½ÏµãÇ°ÒÆ

G (s )C( s)R( s)

G (s )£«

Q( s)

( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )( )

Q sC s R s G s Q s R s G sG s

信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

23/4/2423/4/24 6363电气与新能源学院


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电子笔

±È½ÏµãºóÒÆ

C( s)R( s)G (s )

£«

Q( s)

C( s)R( s)

G (s )

G (s )£«

Q( s)

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C s R s Q s G s R s G s Q s G s

23/4/2423/4/24 6464电气与新能源学院


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信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。R( s)

·ÖÖ§µã£¨Òý³öµã£©Ç°ÒÆ

G (s )

C( s)C( s) C( s)

C( s)

R( s)G (s )

G (s )

)()()( sGsRsC

·ÖÖ§µã£¨Òý³öµã£©ºóÒÆ

R( s) G (s )

R( s)

C( s)R( s)

G (s )

R( s)

)()(

1)()()( sRsG

sGsRsR

23/4/2423/4/24 6565电气与新能源学院


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此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。

23/4/2423/4/24 6666电气与新能源学院


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下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。

23/4/2423/4/24 6767电气与新能源学院


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例：求传递函数

分支点 A 后移，比较点 B 前移。

1 2

-

--

1R sC2

1

1R 2

1RsC1

1sC2

1)(sUc)(sUr

-

-

-CB

①②

A

（c）方块图

1

1sC 2

1sC

)(1sUC

)(sUr )(1 sI

)(sUc

)(sUc)(2 sI

1

1R 2

1R

)(1sUC

比较点 1 和 2 交换。

23/4/2423/4/24 6868电气与新能源学院


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电子笔

-

-sCR 11

1sCR 22

1

sCR 21

)(sUr )(sUc

-

-

sCR 21

)1)(1(1

2211 sCRsCR)(sUr)(sUc

1)(1

2122112

2121 sCRCRCRsCCRR)(sUr )(sUc

23/4/2423/4/24 6969电气与新能源学院


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例：用方块图的等效法则，求图 2-28 所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。

解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点 A 先前移至 B 点，化简后，再后移至 C 点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。

R( s) A

- BC( s)

1G 2G 3G

4G

1H2H

-C

23/4/2423/4/24 7070电气与新能源学院


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R( s)

- - -C( s)

1G

2H

5G

6G7G

21GH5

1G

4325 GGGG 25

56 1 HG

GG

21125

51

25

211

25

51

52161

617 1

11

111 GHGHG

GG

HGGHGHGGG

GGHGG

GGG

21121432

4321

5121125

51

7

7

))((1)(

11)(

)()(

GHGHGGGGGGGG

GGGHGHGGG

GG

sGsRsC

23/4/2423/4/24 7171电气与新能源学院


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2.6 信号流图与梅逊公式

信号流图和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。－）基本概念

信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法。例如：

一 . 信号流图及其等效变换

23/4/2423/4/24 7272电气与新能源学院


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信号流图中，用小圆圈“ O” 表示变量，并称其为节点。节点之间用加权的有向线段连接，称为支路。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的权又称为传输或者增益。

Òò ¹ûÔöÒæ

½Úµã Êä ³ö ·½ Ïò2x1x 1122 xax

12a

23/4/2423/4/24 7373电气与新能源学院


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（二）常用术语；信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。（ 1 ）出支路：离开节点的支路。（ 2 ）入支路：进入节点的支路。（ 3 ）源节点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输人，因此也称为输入节点。（ 4 ）汇节点 (阱，坑 ) ：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。（ 5 ）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。

1

M ixe d no de

input no de(s o urc e )

1x 2x 3x 4x 5x 6x23a

32a

34a45a

25a

44a

24a

12a43a

12 3 5

4

53a

o utput no de (s ink )

23/4/2423/4/24 7474电气与新能源学院


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（ 6 ）通道：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方向相继经过多个节点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。（ 7 ）开通道：如果通道从某个节点出发，终止于另一个节点上，并且通道中每个节点只经过一次，则称这样的通道为开通道。

1

M ixe d no de


1x 2x 3x 4x 5x 6x23a

32a

34a45a

25a

44a

24a

12a43a

12 3 5

4

53a


23/4/2423/4/24 7575电气与新能源学院


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（ 8 ）闭通道：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为闭通道或回路、回环等。如果一个通道从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。（ 9 ）前向通道：从源节点出发到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道。前向通道可以有多个。

1

M ixe d no de


1x 2x 3x 4x 5x 6x23a

32a

34a45a

25a

44a

24a

12a43a

12 3 5

4

53a


54321 xxxxx 5421 xxxx 521 xxx

23/4/2423/4/24 7676电气与新能源学院


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（ 10 ）互不接触回环：如果一些回路没有任何公共节点和回路，就称它们为互不接触回环。（ 11 ）通道传输：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。（ 12 ）回环传输：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。

1

M ixe d no de


1x 2x 3x 4x 5x 6x23a

32a

34a45a

25a

44a

24a

12a43a

12 3 5

4

53a


145342312 paaaa 2452412 paaa 32512 paa

23/4/2423/4/24 7777电气与新能源学院


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（三）信号流图的基本性质（ 1 ）用节点表示变量，源节点代表输入量，汇节点代表输出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，所有出支路的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信号的代数和。（ 2 ）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。（ 3 ）增加一个具有单位传输的支路，可把混合节点为汇节点。（ 4 ）对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。（四）信号流图的绘制①用小圆圈表示各变量对应的节点

23/4/2423/4/24 7878电气与新能源学院


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②在比较点之后的引出点，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。③在比较点之前的引出点 B ，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 e1， e2 。

Í¼ 2 -3 1 Ïµ Í³ ·½ ¿é Í¼

G 1 G 3

G 4

H

G 2

R (s )

A 1 A 2BC (s ))(sUB

)(1 sUA

)(2 sUA

R 1

e1

-H

2G

1G 3G

4G

1e 2e

23/4/2423/4/24 7979电气与新能源学院


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（五）信号流图的简化（ l ）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。（ 2 ）并联支路的总传输等于各支路传输之和。（ 3 ）混合节点可以用移动支路的方法消去。（ 4 ）回环可以用方框图中反馈连接的规则化为等效支路。

23/4/2423/4/24 8080电气与新能源学院


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下表列出了信号流图的等效变换规则 :

23/4/2423/4/24 8181电气与新能源学院


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例题试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。解（ a ）所示的方框图可化为图 (b) 所示的信号流图，注意：方框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图 2-31 表示了信号流图的简化过程。

23/4/2423/4/24 8282电气与新能源学院


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求出系统的闭环传递函数（总传输）为 :

23/4/2423/4/24 8383电气与新能源学院


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二、梅逊公式及其应用－Mason’s Gain Formula

式中 G(s) 为从源节点到汇节点之间的总传输， n 为从源节点到汇节点之间前向通道的总数， P k 为第 K 条前向通道的传输。为信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数行列式 , k 为第 K 条前向通道的信号流图特征式的余子式，即从中除去与第 K 条前向通道相接触的回环后余下的部分。的计算公式为：

式中 L1—— 信号流图中所有不同回环的传输之和； L2—— 所有两个互不接触回环传输的乘积之和； L3—— 所有三个互不接触回环传输的乘积之和； ……………

Lm—— 所有 m 个互不接触回环传输的乘积之和；

信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式，即梅逊公式为：

23/4/2423/4/24 8484电气与新能源学院


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利用梅逊公式求系统总传输时 , 只要求出信号流图中的n 、 Pk 、和 K, 代入公式计算即可。例题 2 ：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。

例题 2

23/4/2423/4/24 8585电气与新能源学院


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=1- L1 =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三个回环均与前向通道 P1 接触，所以 1=1

根据梅逊公式，系统总传输为：

解源节点 R(s) 和汇节点 C(s) 之间只有一条前向通道 n=1。通道传输为： P1=G1G2G3G4 三个回环的传输之和为： L1 =-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7

三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：

23/4/2423/4/24 8686电气与新能源学院


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例题 3 ：试利用梅逊公式求图 2-33 所示信号流的总传输。

例题 3

23/4/2423/4/24 8787电气与新能源学院


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L3=abefij =1-L1+L2-L3 第一条前向通道与所有回环均有接触，所以 1=1

第二条前向通道与回环 cd 不接触，所以 2=1-cd

解首先确定信号流图中由源节点到汇节点间的前向通道数 ,从图中可知 n= 2,第一条前向通道的传输为 P1=acegi 。第二条前向通道的传输为 P2=kgi 。 L1=ah＋ cd＋ ef＋ gh＋ ij＋ kfdb

L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij

23/4/2423/4/24 8888电气与新能源学院


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本章重点：传递函数的建立（求取）方框图的化简用信号流图求总传输

23/4/2423/4/24 8989电气与新能源学院


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Matlab中控制系统模型的建立• Transfer functions (TF), for example,1)

num=[1,2]; den=[1,1,10];G=tf(num,den)Org=tf([1,2],[1,1,10])

2

2( )10

SG SS S

23/4/2423/4/24 9090电气与新能源学院


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2)

num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));G=tf(num,den)

2 2

3 3 2

4( 2)( 6 6)( )( 1) ( 3 2 5)

s s sG ss s s s s

23/4/2423/4/24 9191电气与新能源学院


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• Zero-pole-gain (ZPK) models, for example,

>> z=[0 -6 -5]'>> p=[-1,-2,-3+4*j,-3-4*j]'>> k=1Sys2=zpk(z,p,k)

( 6)( 5)( )( 1)( 2)( 3 4 )( 3 4 )

s s sG ss s s j s j

23/4/2423/4/24 9292电气与新能源学院


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Converting Between Mode Representationstf2zp ： transfer function model to Zero-pole-gain (ZPK) models

zp2tf ： Zero-pole-gain (ZPK) models to transfer function model

6( 3)( )( 1)( 2)( 5)

sG ss s s

z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;

》 [num,den]=zp2tf(z,p,k)

》 num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10

printsys(num,den,'s')

23/4/2423/4/24 9393电气与新能源学院


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2

4 3 2

( ) 4 16 12( ) 12 44 48B s s sA s s s s s

0 0 4 16 12

1 12 44 48 0

, , 2 ( , )

num

den

z p K tf zp num den

23/4/2423/4/24 9494电气与新能源学院


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Convert between partial fraction expansion and transfer functions

Residue考虑下列传递函数

将求出多项式 B(S) 和 A(S) 之比的部分分式展开式中的留数、极点和余项。B(S)/A(S) 的部分分式展开式由下式给出：

10 1

11

( )( )

n nn

n nn

B s num b s b s bA s den s a s a

0 1

11n

n

num b b b

den a a

, , ( , )r p k residue num den

( ) (1) (2) ( ) ( )( ) (1) (2) ( )B s r r r n k sA s s p s p s p n

23/4/2423/4/24 9595电气与新能源学院


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电子笔

3 2

3 2

( ) 2 5 3 6( ) 6 11 6B s s s sA s s s s

2 5 3 6

1 6 11 6

num

den

, , ( , )r p k residue num den

, , ( , )

6.00004.0000

3.0000

3.00002.00001.0000

2

r p k residue num den

r

p

k

3 2

3 2

( ) 2 5 3 6( ) 6 11 6

6 4 3 23 2 1

B s s s sA s s s s

s s s

23/4/2423/4/24 9696电气与新能源学院


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利用留数命令，由部分分式展开式构成其多项式（分子和分母）：可以将部分分式展开式返回到多项式之比 B(S)/A(S) ，即得到：

, ( , , )num den residue r p k

3 2

3 2

, ( , , )

Printsy ( , , ' ')/

2 5 3 66 11 6

num den residue r p k

num den snum den

s s ss s s

23/4/2423/4/24 9797电气与新能源学院


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有重极点的情况： 2 2

3 3 2

( ) 2 3 2 3( ) ( 1) 3 3 1B s s s s sA s s s s s

0 1 2 3

1 3 3 1

, , ( , )

1.00000.00002.0000

1.00001.00001.0000

[]

num

den

r p k residue num den

r

p

k

2 3

( ) 1 0 2( ) 1 ( 1) ( 1)B sA s s s s

23/4/2423/4/24 9898电气与新能源学院


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Interconnecting Linear Models1. Parallel ---- Parallel interconnection of two

models[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)2. Series ---- series interconnection of two models[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)3. Feedback --- Feedback connection of two

models[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)

23/4/2423/4/24 9999电气与新能源学院


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1 22

10 num1 5 num2( ) ( )2 10 den1 5 den2

G s G ss s s

，

R(s) C(s)G1(s) G2(s)

3 2

num1 0 0 10 ;

den1 1 2 10 ;

num2 0 5 ;

den2 1 5 ;

num,den series(num1,den1,num2,den2);

printsys (num,den)num/den

507 20 50s s s

23/4/2423/4/24 100100电气与新能源学院


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C(s)R(s)G1(s)

G2(s)

2

3 2

num,den parallel(num1,den1,num2,den2);


5 20 1007 20 50s s

s s s

1 22

10 num1 5 num2( ) ( )2 10 den1 5 den2

G s G ss s s

，

23/4/2423/4/24 101101电气与新能源学院


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电子笔

C(s)R(s) G1(s)

G2(s)

3 2

num,den feedback(num1,den1,num2,den2);


10 507 20 50s

s s s

1 22

10 num1 5 num2( ) ( )2 10 den1 5 den2

G s G ss s s

，

23/4/2423/4/24 102102电气与新能源学院


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Adding Delays to Models You can add time delays to models by specifying an inp

ut or output delay when building a model. For example, sys_tfdelay = tf(1.5, [1 14 40.02],'inputdelay',0.05)Transfer function: 1.5exp(-0.05*s) * ---------------------- s^2 + 14 s + 40.02

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Model Characteristics The Control System Toolbox contains commands to que

ry model characteristics such as the I/O dimensions, poles, zeros. These commands apply to both continuous- and discrete-time model.

size(model_name) --- Number of inputs and outputsisct(model_name) --- Returns 1 for continuous systemsisdt(model_name) --- Returns 1 for discrete systemshasdelay(model_name) --- True if system has delayspole(model_name) --- System poleszero(model_name) --- System (transmission) zeros

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欢迎各位 来到 《 自动控制原理 》 课堂 ！

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