利率期限结构：动态模型

利率期限结构：动态模型厦门大学金融系陈蓉

2011/11/1

>> 利率期限结构：动态模型动态利率模型概述仿射利率期限结构模型HJM 分析框架与无套利模型动态利率模型参数的估计与校准

3 © 版权所有：厦门大学金融系陈蓉郑振龙

为何需要动态模型？普通的债券、利率远期、利率期货和利率互换，由当前静态利率期限结构的信息即可定价

利率期权产品：还需要利率波动的信息

动态模型： DTSMs

>> 动态利率模型概述动态利率模型的基本框架动态利率模型的评价标准动态利率模型的分类与演进


动态利率模型的建模对象无风险的瞬时即期利率

instantaneous spot rate or short rate

瞬时远期利率Instantaneous forward rate

Why ？只要瞬时利率的变化规律已知，就可以推知任意到期期限的即期利率的动态过程


利率期限结构与瞬时利率贴现因子（零息票债券）与瞬时利率

即期利率与瞬时利率

,,T

tr s dsR t T T t

tB tT e E e

1, ln

T

tr s ds

tR t T E eT t


利率期限结构与瞬时远期利率贴现因子（零息票债券）与瞬时远期利率

即期利率与瞬时远期利率

,,,

ln ,,

T

tf t s dsR t T T tB t T e e

B t Tf t T

T

,

,

T

tf t s ds

R t TT t


动态利率模型的基本设定瞬时利率在现实测度下的 SDE

重要工具 I ：随机过程、 SDE 、漂移率、波动率、布朗运动

不同动态利率模型的差异主要在于对漂移率和波动率设定的不同

, ,r rdr t r t t dt r t t dz t


瞬时利率动态过程模拟 0.03 0.01dr t dt dz t


动态利率模型的分析框架重要工具 II ： Itô-Doeblin 引理根据 Itô-Doeblin 引理，当瞬时利率服从伊藤过程时，无风险零息债券和即期利率的随机过程可以用瞬时利率的漂移率、波动率参数和随机源dz(t) 表示

2

22

( , , ) ( , , )

1 1( , , )

2

1( , , ) ( , )

B B

B r r

B r

dBr t T dt r t T dz t

B

B B Br t T

B t r r

Br t T r t

B r


偏微分方程方法 I

Partial Differential Equation （ PDE ）方法，也称无套利（ no arbitrage ）方法

通过构造无风险组合，而无风险组合在无套利条件下只能获得无风险利率推导得到结论


偏微分方程方法 II

用两个无风险债券构造组合 W

选择权重 W1 、 W2 使得

1 1

2 2

1

1

2

2

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

B B

B B


B


B

21 2

1

, ,

, ,B

B

r t TW W

r t T


偏微分方程方法 III

无套利思想

整理可得

由于债券是任意选取的，因此对于任意债券有

我们称之为瞬时利率的市场风险价格

2 2 1 1, , , ,B BdW t W r t T W r t T dt r t W t dt

21

1 2

( , , )( , , )

( , , ) ( , , )BB t

B B

r t T r tr t T rr t T r t T

( , , ),

( , , )B i

B i

r t T r tr t

r t T


偏微分方程方法 IV

PDE

对于任意其价格仅取决于瞬时利率和时间的可交易证券，都满足上述风险价格公式和 PDE

给定不同的边界条件，即可求解证券价格。解析解数值解：随机过程复杂或是产品设计复杂的情形

必须以无套利为前提

2

22

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0

2r r r

B B Br t r t r t r t r t B t T

t r r


等价鞅测度法 I

重要工具 III ：测度转换、等价测度、鞅、 Girsanov theorem 、资产定价基本定理在无套利条件下，存在一个市场风险价格值使得不同测度下的的风险源满足

则风险中性测度下的利率产品价格满足

( , )dz t dz t r t dt

( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) , ( , )

P P

P P P

dPr t dt r t dz t r t dt

Pr t r t r t dt r t dz t


等价鞅测度法 II

如果该产品是可交易资产，则

新测度的特点无论实际风险多大，利率产品价格对数的漂移率均为无风险利率：风险中性测度只要波动率不是随机的，转换测度时波动率不变

2

( , )

1ln ( ) , ( , )

2

P

P P

dPr t dt r t dz t

P

d P t r t r t dt r t dz t


等价鞅测度法 III

新测度的另一个重要特点：鞅测度

可交易资产当前的价格等于该产品 T 时刻的价值在风险中性测度下按无风险利率贴现至 t 时刻的期望值。

0 01

, ,

,

t tr s ds r s ds

P

P

M t e D t e dD t r t D t dtM t

d D t P t D t dP t P t dD t D t P t r t dt dz t

d D t P t D t P t dz t

T

t

t

r s ds

t

D t P t E D T P T

P t E e P T


PDE 方法 VS 鞅方法PDE 方法：运用无套利条件构建 PDE 方程，求解后用瞬时利率的参数来表示利率产品的价格鞅方法：在市场风险价格存在的前提下，通过市场风险价格实现风险中性测度的转换，利率产品的定价通过求风险中性期望实现一致性：

无套利＝市场风险价格存在＝风险中性测度存在discounted Feynman-Kac theorem


Discount Feynman-Kac Theorem

如果随机变量 X(t) 满足伊藤过程

给定满足条件

的函数 h(X) 。定义

则 f(x,t) 满足以下偏微分方程

其边界条件为

dX t t dt t dW t

, ,x t E h X T

,T

tb s d

t

sf x t E e h X T

F

21

2x x xxf t f t f b t f

, ,x f x T h x


动态利率模型与静态利率模型建模目的建模重点

静态：高拟合度、曲线的平滑、拟合灵活度和稳定度动态：经济意义

复杂性和信息含量估计参数需要的数据



实用主义标准名义利率是否非负收益率曲线的静态特征：形状、长端水平等利率动态特征：

均值回归分布特征：肥尾、非对称利率期限结构长短端变动不一致利率波动率特征：

利率的波动率与利率水平有关利率波动率期限结构形状

简单快捷



传统分类均衡模型与无套利模型

均衡模型：参数的非时变性Merton 模型Vasicek 模型CIR 模型等

无套利模型：无套利条件下得到的时变参数Ho-Lee 模型Hull-White 模型等

从单因子到多因子Hull-White双因子模型Longstaff-Schwartz 模型


两个重要的动态利率模型框架仿射模型把收益率曲线表示成状态变量的线性函数，能获得债券和期权价格的解析解，易于在实务中进行校准，应用价值高

HJM 模型无套利模型的基本框架：从瞬时远期利率的随机过程出发，推导出利率期限结构所必须满足的无套利条件LIBOR 市场模型：应用最广泛


>> 仿射利率期限结构模型Merton 模型Vasicek 模型CIR 模型仿射模型的一般形式


Merton 模型 I

基本形式

Merton模型下的资产价格与利率期限结构

T

t

dr t dt dz t

r T r t T t dz s

2

1, ,2

2 2 3

2 2

1( ) ( ) ( )

2

( , )

1 1, ( ) ( ) , ,

2 61 1

, ( ) ( )2 6

T TTt t

t tt

T T

t t

E r s ds var r s dsr s ds t T t T r tt

r sds r t T t T t T udz u

B t T E e e e

t T T t T t t T T t

R t T r t T t T t


Merton 模型 II

λ 为常数时，现实测度下瞬时利率仍然服从Merton 模型，

基本性质可能出现负利率Merton 模型无法刻画利率期限结构的基本静态特征长期利率趋于负无穷只能刻画开口向下的抛物线形状

,T

t

dr t dt dz t

r T r t T t dz s


Merton 模型 III

基本性质（续）动态特征的缺陷

不存在均值回归特征，当 T趋于无穷时，利率的均值和方差都将趋于无穷大利率波动率特征不符合现实

单因子意味着利率期限结构的平移

21 1,

2 3

dR t T T t dt dz t



Vasicek 模型 I

基本形式：均值回归模型

现实测度：

1TT t T t T s

t

dr t r t dt dz t

r T e r t e e dz s

, ( )

1TT t T t T s

t

r t a br t

dr t r t dt dz t

r T e r t e e dz s


Vasicek 模型 II

Vasicek模型下的资产价格与利率期限结构

, ,

( )

,

( , )

( , ) ( ) ( ) ( , )

( , )

, ,,

2

2

22

11

2

4

t T t T r t

T t

B t T e

t T e

t T T t t T

t T

t T t TR t T r t

T t T t

*, , *

*

**

*

( )* *

, , ,

,ln , ,

( , , ) ( , )

, ,

, , ( , )

X T T

T t

c r t B t T N d XB t T N d

B t Td v t T T

v t T T XB t T

d d v t T T

ev t T T T T

1 2

1

2 1

2

1 12

12


Vasicek 模型 III

改善均值回归

T趋于无穷时，长期利率收敛于参数取值不同，得到不同的即期利率期限结构形状短期利率波动率大于长期利率波动率

( )

221

2, ,

,

T tt

T tt

E r T r t e

Var r T e

t T t TR t T r t

T t T t

2

22

1

0

T tR

R

eT t

T t


Vasicek 模型 IV

缺点仍有可能出现负利率长期利率应该是时变的，而非一个常数利率期限结构形状不够丰富无法刻画驼峰状的利率波动率；利率波动率与利率水平无关单因子模型导致模型导出的债券价格相关性过高。


Vasicek 模型拓展： Hull-White 单因子模型 I

基本形式

2

22

(0, )1(0, ) (1 )

2t

dr t t r t dt dz t

f tt f t e

t


Vasicek 模型拓展： Hull-White 单因子模型 II

H-W模型下的资产价格与利率期限结构

, ,

( )

2 22

2

2( ) 2

20

,

1( , ) [1 ]

( , ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ( )]4 2

ln 0, (0, ) (0, )0, 0

e [2 1] 02

( , ) ln 0,

t T t T r t

T t

T

t

T T s T T T

B t T e

t T e

t T s sT ds t T t T T t

B T T Tf T r

T T T

s ds e e e r

t T B t

2

2 23

ln (0, ) ( , ) (0, ) ( ) ( 1)4

T t tB T t T f t e e e


Vasicek 模型拓展： Hull-White 单因子模型 III

基本性质无套利简单但并未改善 Vasicek 模型的缺陷


Vasicek 模型拓展： Hull-White 双因子模型 I

基本形式

可以证明

1 1

2

1

2

2( ) )

0 0

(

dr t t t r t dt dz t

d t b t dt dz

dz t dz t dt

t

0,(0, )(0, ) 0,

tf tt f t t

t t


Vasicek 模型拓展： Hull-White 双因子模型 II

基本性质引入两个具有相关性的风险源：分别影响短期利率和长期利率波动率期限结构形状更为复杂多变参数估计与校准困难



CIR 模型 I

基本形式：均值回归模型

现实测度：

1TT t T t T s

t

dr t r t dt r t dz t

r T e r t e e r s dz s

, ( )

,

1TT t T t T s

t

r t b r t

dr t r t dt dz t

bb

r T e r t e e r s dz s


CIR 模型 II

CIR 模型下的零息债价格与利率期限结构

, ,

( )

( )

( )

,

( )( , )

( )( )

( , ) ln ( )( ) ln[( )( ) ]

, ,,

t T t T r t

T t

T t

T t

B t T e

et T

e

t T T t e

t T t TR t T r t

T t T t

2

2 2

2 11 2

2 12 1 2

2

2


CIR 模型 III

CIR 模型下的零息债期权价格

*2 ( )

, , * 2 *2 *

2 ( )2

2

24( , ) ( , ) 2 [ ( , )]; ,

,

24( , ) 2 ( ); ,

T tX T T

T t

r t ec r t B t T T T

T T

r t eXB t T

*

2 ( ) 2 *

2 ( , ) ln

( 1) ( , )T t

T T X

e T T


CIR 模型 IV

均值回归

T趋于无穷时，长期利率收敛于利率非负即期利率波动率为

仍然是单因子模型

( ) ( )

2 2( ) 2 ( ) ( ) 2

[1 ]

[ ] [1 ]2t

t t T tt

T t T t T t

E r T r t e e

Var r T r t e e e

,

0, 0

R

R R

t T r t

T t

T t R

2

( )


Longstaff-Schwartz模型 I

状态变量所服从的随机过程

利率与波动率与状态变量的关系

1 1 1 1

2 2 2 2

dx t bx t dt x t dz t

dx t ex t dt x t dz t

1 2

2 21 2

( )

( )

r t x t x t

V t x t x t


L-S 模型 II

利率与波动率的动态过程

1

2

2 2 21

22

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

b e e b r t V tdr t r t V t dt dz t

V t r tdz t

b e e b r t V tdV t r t V t dt dz t

V t r tdz t



仿射模型的基本形式瞬时利率

风险中性测度下状态向量所服从的过程

瞬时利率是状态向量的仿射函数；状态向量的漂移率和方差率也是状态向量的仿射函数

'0 0

1

N

i ii

r t Y t t

yδ Y

'i

Y K μ Y Σ S z

S b Y

iii

d t t dt t d t

t a t


仿射模型下的零息债价格与利率期限结构

仿射模型下零息票债券的价格

参数满足

2' ' '0

1

2' '

1

( , ) 1

2

1

2

, 0

i y

μK β t,T Σβ t,T

β t,TK β t,T Σβ t,T b δ

β t, t 0

，

N

iii

N

ii

d t Ta

d T t

d

d T t

t t

( , )( , )

, ,

'β(t,T) Y

'β t,T Y

t T tB t T e

R t T t T t


仿射模型讨论优势

给定瞬时利率的随机过程，不需要求解偏微分方程或公式，可以直接得到债券价格的解析解

不足仿射模型采用线性形式，而对仿射模型定价误差的研究表明，仿射模型定价误差的存在可能是由于忽略了一些非线性因素。拓展：二次模型 /更多的风险源 /跳跃模型



HJM 建模对象：瞬时远期利率瞬时远期利率与零息债价格和即期利率

Hull-White单因子模型

,,

ln ,,

,,

T

tf t s ds

T

t

B t T e

B t Tf t T

T

f t s dsR t T

T t

2

22

(0, )1(0, ) (1 )

2t

dr t t r t dt dz t

f tt f t e

t


HJM 模型框架 I

瞬时远期利率所服从的随机过程

积分可得

即期利率所服从的随机过程

,1

, , , , ,

n

f f i ii

df t T t T dt t T dz t

,0 01

, 0, , ,

nt t

f f i ii

f t T f T v T dv v T dz v

,0 01

, 0, , ,nt t

f f i ii

r t f t t f t v t dv v t dz v


HJM 模型框架 II

零息债价格所服从的随机过程

,0 01

2

0 0 01 1

,

2

1

ln , 0, , ,

1ln 0, , , ,

2

, ,

1, , ,

2

,,

,

nT T t T t

f f i it t ti

n nt t t

i i ii i

T

i f it

nT

f iti

B t T f s ds v s dv ds v s dz v ds

B T r v b v T dv a v T dv a v T dz v

a v T v s ds

b v T v s ds a v T

dB t Tr t b t T

B t T

1

,

n

i ii

dt a t T dz t


HJM 模型框架 III

风险中性测度下的零息债价格

1

2

1 1

2

1 1

2

, ,1 1

, ,

,, ,

,

1, , , ,

2

1, , ,

2

1, ,

2

, , ,

n

i ii

n nT

f i i iti i

n nT

f i i iti i

n nT T

f i f i it ti i

f f i f i

dB t Tr t b t T dt a t T dz t

B t T

b t T t s ds a t T a t T t

t s ds a t T a t T t

t s ds t s ds t

t T t T t s ds 1

n T

iti

t


HJM 模型框架 IV

风险中性测度下的瞬时远期利率与瞬时利率

,1

, ,1

,0 01

,

0 01

,01

, , ,

, , ,

, 0, , ,

, ,0,,

,

n

f f i ii

n T

f f i f iti

nt t

f f i ii

nt tf f if i

i

n t

f i ii

df t T t T dt t T dz t

t T t T t s ds

r t f t t f t v t dv v t dz v

v t v tf tdr t t t dv dz v dt

t t t

t t dz t


HJM 模型特征在无套利条件下，风险中性测度下瞬时远期利率的漂移率是波动项的函数，波动率完全决定了瞬时远期利率的风险中性过程，而在 HJM 分析框架下，风险中性测度和现实测度下的波动项是相同的。无套利属性：只要给定波动率，同时运用当前 0 时刻的利率期限结构信息（ f(0,t) ），就可以为利率产品定价非马尔可夫过程仅是一个分析框架


连续无套利模型： Ho-Lee 模型单一风险源且波动率为常数

2

2

( , ) ( )

(0, ) (0, )

(0, )

M

df t T T t dt dz t

f T f T

f tdr t t dt dz t

t

dr t t dt dz t


连续无套利模型： Hull-White 模型单一风险源且波动率为时间的函数

2( ) ( ) ( )

2

0 0

22

2

( , )

( , ) 1

(0, ) (0, )

, 0,

1 (0, )[ (0, ) (1 ) ]

2

T tf

T t T t T t

M

t tt v t v

t

t T e

df t T e e dt e dz t

f T f T

r t f t t f t e dv e dz v

f tdr t f t e r t dt dz t

t


离散无套利模型：树图方法用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动，得到未来的利率分布树图，从而为利率产品定价

用市场信息来确定树图上每个节点的值，以保证不存在套利机会


Ho-Lee 的离散模型 I

单期利率树图

其中

0

0

u

d

r r t

r r t


Ho-Lee 的离散模型 II

σ外生给定。Ho-Lee 模型对应的债券

0, 2 0.5 0.5 ru dB t t B B e

,

d

u

ru

rd

B e

B e


Ho-Lee 的离散模型 III

0

0

0

0

2

2

uu u

ud u

du d

dd d

r r t r t t

r r t r t t

r r t r t t

r r t r t t


BDT 模型（ Black, Derman and Toy, 1990 ）

BDT 模型的基本假设是利率服从对数正态分布，以保证利率始终为正，相应的离散形式同样是上升下降概率均为 0.5 的二值运动。

BDT 模型最重要的特征就是不仅漂移率、而且波动率都是时变的，以同时拟合每个时刻市场的利率期限结构和波动率期限结构。


BDT 模型树图 I


BDT 模型树图 II

d ur r

t u d

t u t

d t

u

d

u

d

u

d

B e e e

E y y y

Var y y E y

y E y

yy

yy

rr

10%

2

2

2

0,2 0.5 0.5 0.8025

ln 1,2 0.5ln 1,2 0.5ln 1,2

ln 1,2 0.5 ln 1,2 ln 1,2

0.5 ln 1,2 ln 1,2

1,21ln

4 1,2

1,21ln 19%

2 1,2

1ln 19%

2


BDT 模型树图 III

多期模型

dd ud uu

uu du

ud dd

uu dd ud

r r ruu ud dd

u uu ud d dd ud

u d

u

d

r rr r

r r r

B e B e B e

B B B e B B B e

B B B e

yy

B

2

9.79% 14.32%

10%

1 1ln ln

2 2

2,3 , 2,3 , 2,3

1,3 0.5 2,3 0.5 2,3 , 1,3 0.5 2,3 0.5 2,3

0,3 0.5 1,3 0.5 1,3

1,31ln 18%

2 1,3

d uy yu de B e 1,3 2 1,3 21,3 , 1,3


BDT 模型的连续形式Hull and White (1990)

BDT 模型实际上是假设瞬时利率对数服从参数时变的 Vasicek 模型，是一个无套利的均值回归模型。模型只有两个待估参数： σ 同时决定了瞬时利率对数的波动率和均值回归速度；瞬时利率对数的长期均值则由 σ 和 μ共同决定。这两个时变的参数都由时刻的市场数据校准得到。

'

ln ln

t t

d r t t r t dt t dz tt


BDT 模型特点与 Hull-White单因子模型相比， BDT 模型不仅可以完全拟合当前市场上的利率期限结构，还可以完全拟合当前利率波动率的期限结构。此外，由于 BDT 模型使用利率的对数建模，还避免了模型生成负利率的可能。


B-K 模型（ Black and Karasinski , 1991 ）

BDT 模型的一般化

时变的均值回归速度灵活性提高，样本内拟合效果提高但同时也意味着拟合该模型所需的市场信息也将增加，且样本外的定价和预测结果并不必然优于BDT 模型

ln ln ln d r t t t r t dt t dz t


B-K 模型的离散形式离散树图

节点重合（ 1 ）

（ 2 ）

（ 3 ）三叉树图

0

0

( )(ln ( ) ln ) ( )

( )(ln ( ) ln ) ( )

t t r tu

t t r td

r re

r re

t tt

t

1t t

t tt

t


LIBOR Market Model

在 HJM 分析框架下，瞬时远期利率不可观测模型相对不易理解较难用市场价格校准模型参数

Brace, Gatarek and Musiela (1997) 、 Jamshidian(1997) 和 Miltersen, Sandman and Sondermann(1997) 等人在HJM 框架下提出了一套对市场利率的建模方法

BGM 模型LIBOR 市场模型（ LIBOR market models ， LMM)


测度转换设两种资产在风险中性测度下分别服从如下过程

则其中

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

σ(t) dz(t)

v(t) dz(t)

dP t r t P t dt P t

dN t r t N t dt N t

( ) ( )

( ) ( )

N

t

P t P TE

N t N T

2

0 0

'

1exp

2

N

v(s)dz(s) v(s)

dz (t) dz(t) v(t)

N t tdQds

dQ

dt


风险中性测度以货币市场账户作为计价单位，风险价格为 0 ，即风险中性测度

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

T

t

t

t

r s ds

t

P t P TE

M t M T

D t P t E D T P T

P t E e P T


远期测度以 B(t,T)作为计价单位的测度称为远期测度

远期测度的重要性质

( ) ( )

( , ) ( , )

,

T Tt t

Tt

P t P TE E P T

B t T B T T

P t B t T E P T

Tt

T Tt t

B t T B t TR t T T

T T B t T

P t P TE

B t T B T T

B T T B T TE E R T T

T T B T T

*

* *

**

* *

* *

**

* *

, ,1, ,

,

, ,

, ,1,

,


互换测度以 t 时刻的年金现值因子为计价单位的测度称为互换测度

t 时刻的（远期）互换利率

1

1 10

( ) ( ) ( , )

N

i i ii

At

A t T T B t T

P t P TE

A t A T

0, , NB tT B t Ts t

A t


LFM 模型（ BGM 模型）Lognormal forward-LIBOR model, LFM

远期利率在 B(t, T*) 远期测度下服从对数正态分布

其中为时间的确定性函数。

TRdR t T T t R t T T dz t

** *, , , ,

R t


LSM 模型Lognormal swap model, LSM

互换利率在对应的互换测度下服从对数正态分布

其中为时间的确定性函数。

Asds t t s t dz t

s t


比较 LFM 和 LSM

都是 HJM 分析框架的特例，都服从对数正态分布LFM考察的是远期测度下的远期利率过程，适用于利率顶和利率底等产品； LSM考察的是互换测度下的互换利率过程，适用于互换期权互换利率和远期利率不可能同时满足对数正态分布的假设。



动态模型的参数估计用过去某段时间内的利率历史数据直接对利率模型进行拟合，求出模型的参数，并通过均方根误差、残差平方和、似然比等统计指标对模型的优劣进行检验。参数估计的模型风险很大，往往存在定价误差估计得到的往往是现实测度下的参数，而定价时需要的往往是风险中性测度下的参数。用历史时间序列估计得到的参数常常主要用来研究一段时间内利率期限结构的变化情况，较少用于衍生品的定价。


极大似然估计1. 离散化瞬时利率动态过程，得到待估模型的离散

形式；

2. 写出待估模型的对数似然函数；

3. 将样本期的短期利率时间序列数据代入，极大化似然函数，估计出离散化模型的参数。

1 1

r t r t a br t r t t

2

1

1ln ln 2 1

2

11

θT

t

L t

r t r t a br tt

r t


GMM 估计 I

1. 离散化瞬时利率动态过程

2. 写出待估模型的矩条件；

3. 构造样本矩并估计参数

1 1

r t r t a br t r t t

2 22

2 22

1

10

1

1

θt

t

t r tE f E

t r t

t r t r t

1

1ˆ ( )

g θ θ θT

T t ttE f f

T


GMM 估计 II

常用的权重函数为样本矩的方差－协方差矩阵

GMM 的目标函数为

( ) 'T t tE f f W θ θ θ

( ) ' ( ) ( ) ( )T T T TJ θ g θ W θ g θ


动态模型的参数校准“校准”是利用市场的价格数据，通过令模型定价结果与市场价格的误差最小倒推出参数的最优取值。校准得到的参数反映了市场的实际信息，因而成为目前国际金融市场为利率产品定价时主要使用的参数提取方法。校准对数据的要求比较高，常常需要衍生品价格来进行校准，当市场中交易的资产品种缺乏时，就难以使用这一方法。


参数校准方法校准函数

校准过程是一个最小化过程。参数校准是一个非常灵活的过程：权重设定和函数的设定都可灵活设定。过去多采用横截面数据或是可观测变量进行校准；现在已经拓展至更复杂的方法。

1 2

1 2, ,..., 1

, ,..., arg minn i

n

n i i i i ii

w g l model l market

θ

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利率 期限结构：动态模型

利率期限结构：动态模型